河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

鄭州市2023年高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測

文科數(shù)學(xué)試題卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

r“人人A=?[x+y∣x∈B,y∈=(0,1}.ΛR_/、

1.已知集合I川」＞tr1則A*—()

A{0,l}B.{0,l,2}C.{1}D.0

K答案DA

K解析H

K祥解Il求解集合A,進(jìn)而求出交集.

K詳析UA={(),l,2},A∩β={0,l}.

故選：A.

2.若z=l+2i+i3,則IZl=()

A.0B.1

C.√2D.2

K答案HC

R解析』

K樣解D先根據(jù)i2=—1將Z化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可求出.

K詳析U因?yàn)閦=l+2i+F=l+2i—i=1+i，所以IZI=J『=V2"

故選：C.

H點(diǎn)石成金JII本題主要考查復(fù)數(shù)的模的計算公式的應(yīng)用，屬于容易題.

3.設(shè)α,8∈R,則"lga+lg。=。"是S=1”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

K答案2A

K解析》

K祥解》根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.

K詳析》由lgα+Igb=O=Ig出?=O=aZ>=l且α>0且人>0,

故選：A.

4.記S“為等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和.若為一%=12,4-4=24,則S.5=(

A.32B.31C.63D.64

K答案HB

K解析》

K祥解H由已知等式解出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的求和公式計算即可.

K詳析》設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9,則見一4=12,4一/=3-4”=24,解得4=2

又4-43=444-4爐=12,解得q=l,則1==M1∑1J=31

5?-q1-2

故選：B

5.將2個1和3個。隨機(jī)排成一行，則2個1不相鄰的概率為()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

K答案』c

K解析U

K祥解』列舉出所有可能的結(jié)果，找到2個1不相鄰的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.

K詳析』2個1和3個。隨機(jī)排成一行，基本事件有：(XX)Il,00101.01001,IoOOI,1001(),10100,

Il(K)O,OlI(X),∞110,OlOlO,共10種；

其中2個1不相鄰的有：(X)l()l,Ol(X)I,l∞01,10010,10100，01010,共6種，

所以所求概率P=9=0.6.

10

故選：C.

6.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)/作直線交拋物線于A(%，M)、B(A2,%)兩點(diǎn)，若為+々=4,則IABl的

值為()

A.4B.6C.8D.10

K答案RB

K解析》

K祥解》利用拋物線的定義結(jié)合已知計算即可.

K詳析D拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為％=-1

由拋物線的定義可得，IABl=IA月+忸尸I=玉+Λ?+2=6

故選：B

7.已知函數(shù)/(x)=e'+eτ,g(x)=sinx,下圖可能是下列哪個函數(shù)圖像()

B-7(x)-g(x)+2

g(x)

Cf(X)?g(χ)D./(尤)

K答案1D

K解析H

K祥解》利用奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷.

K詳析》對于"x)=e'+eT,但定義域?yàn)镽,滿足/(—x)=e-x+e'=∕(x),為偶函數(shù).

同理可得：g(x)=sinx為奇函數(shù).

記〃(X)=/(x)+g⑺_2,則〃(T)=/(τ)+g(τ)-2=/⑴一g(力—2

所以〃(T)HMX)且人(τ)≠一方(X)，所以/(x)+g(x)-2為非奇非偶函數(shù);

同理可證：/(x)-g(x)+2為非奇非偶函數(shù);/(x)?g(x)和冗力為奇函數(shù).

由圖可知，圖像對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且O<∕(1)<L

顯然選項(xiàng)A,B對應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；

對C:y=∕(x)?g(x)=(e'+ef)sinx,為奇函數(shù).

e+1)sinl>e+"siT>[e+L]X也>ex也e

當(dāng)X=I時,>1,故錯誤;

ejej4lkej22

_g(x)SinX

對?D,為奇函數(shù).

?^∕ωev+eτ

sinl

------?<11

當(dāng)X=I時，7L+1].故正確.

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)=sin[s+2]3>0),下列說法正確的是()

A.若0=2,則函數(shù)/(x)在(0,上存在零點(diǎn)

B.若。=2,則將函數(shù)/(x)的圖象向左平移展個單位長度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.若函數(shù)/(x)在X=與上取到最大值，則3的最小值為:

D.若函數(shù)/(x)在(Ow)上存在兩個最值，則。的取值范圍是3<o≤5

K答案HC

K解析》

Tt

K祥解X對于選項(xiàng)A,由X的取值范圍求出2x+2的取值范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對于選項(xiàng)B,

3

由三角函數(shù)圖象的平移規(guī)則得到平移后的K解析》式，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對于選項(xiàng)c,由己知得

/(g)=sin[?+胃=1,求解即可判斷；對于選項(xiàng)D,要使函數(shù)/(力在?上存在兩個最值，則

3TLCOTZTC5兀IV∕-∏QM1*ItLL

—V—+—≤—，求解r即可判斷.

2232

K詳析》解：對于A:當(dāng)口=2時/(x)=sin(2x+T，

當(dāng)卜寸，2x+1e(1,g)，則SinI2x+?∣)e[;,1,所以函數(shù)/(x)在(0,5)上不存在零點(diǎn)，

故A錯誤；

對于B：當(dāng)口=2時/(x)=Sin(2尤+；],將函數(shù)/(x)的圖象向左平移展個單位長度得到

y=sin2x+-+—=sin2x+-=cos2x,

[I⑵3」I2)

y=Cos2x為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故B錯誤;

對于C:因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在x=g上取到最大值，所以/[g]=sin[當(dāng)G+1)=1,

即有:公+]=∕+2kπ(k∈Z),化簡得口=；+3攵(攵∈Z).

因?yàn)?>0,所以當(dāng)&=0時，。的最小值為L,所以C正確；

4

,「八兀、，π(itωππ^∣

對于D：當(dāng)x∈∣0,弓時，ω^+-∈T,^V+7,

?????J

<1?

要使函數(shù)/(χ)在(0,S上存在兩個最值，則g<乎+g≤解得'<0≤L,所以D不正確.

233

故選：C

.若/卜(IW'則/B)=()

9.設(shè)/(X)是定義城為R的奇函數(shù)，且/(l+x)=∕(l-x)

5115

A.—B.—C.一D.-

3333

K答案2c

K解析』

K祥解』先求出了(X)的周期，利用函數(shù)周期性即可求解.

詳析』由題知，/(—x)=—"χ),f(l+χ)=f(l-χ),則f(-x)=∕(2+x),

/(2+%)=-/(X),變形可得/(χ+4)=-∕U+2)=/(χ),

；?/(x)=∕(4+x),f(χ)的周期為：T=4,

M撲心Tkm,

故選：C.

10.在正方體ABCQ-A耳GA中，P為BQ的中點(diǎn),則直線OP與BC所成的角為()

兀兀一ππ

A.—B.—C.-D.-

2346

K答案DD

K解析H

K祥解》平移直線BC至4。，將直線Z)P與耳C所成的角轉(zhuǎn)化為DP與4。所成的角，解三角形即可

K詳析》如圖，連接AP,A。，DP,因?yàn)锳。//BC,

所以NPZMl或其補(bǔ)角為直線DP與BC所成的角，

因?yàn)槠矫?4G0,APU平面ABG2,所以8片，4P，又A/_LBa,

BBlCBR=4,BBl,B1D1?平面BDD1B1,所以APl平面BDD1B1,

又PZ）U平面所以AP_LPO,

設(shè)正方體的棱長為2,則4。=20,AP=叵,

在Rt.?4OP中，SinNAOP=霽=妻=g，所以NPOA=2，

故選：D.

2

11.設(shè)片，尸2為雙曲線C：《一丁=1的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)p（o,2）.當(dāng)∣Q6∣+∣PQ∣

取最小值時，|。閭的值為（）

A.√3-√2B.√3+√2c.√6-2D.√6+2

R答案HA

K解析》

K祥解11結(jié)合雙曲線定義數(shù)形結(jié)合判斷∣Q6∣+∣PQ∣取最小值時，P,Q,瑪三點(diǎn)共線，聯(lián)立直線及雙曲線方

程解出Q的坐標(biāo)為（3-半,乎一1）,即可求解|。閭的值.

K詳析》由雙曲線定義得I-IQ閭=24=2g,

故1明1+1Pq=IPa+1。瑪I+26

如圖示，當(dāng)P,Q,瑪三點(diǎn)共線，即。在M位置時，∣Q6∣+∣PQI取最小值,

居(2,0),P(0,2),故PB方程為N=-x+2，

聯(lián)立[■-：/=],解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3一日,手—1)(。為第一象限上的一點(diǎn))，

故|0gH—2)2+(乎-1)2=J回=√3-√2

故選：A

12.己知α<5且ɑe'=5e",b<4S.be4=4el?。<3且g3=3片'，則()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

K答案』D

K解析X

K祥解X

令/(X)=紀(jì),X>O,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得。,瓦C的大小.

K詳析》因?yàn)棣羋=5e",a<5,故α>0,同理b>O,c>O,

令/(χ)=J，x>。,則/'(χ)=J(ALi

當(dāng)O<x<l時，r(x)<0,當(dāng)x>l時，/^Λ)>0,

故/(x)在(0,1)為減函數(shù)，在(l,+∞)為增函數(shù)，

5a

因?yàn)椤癳5=5e",a<5,故一=一，即/(5)=∕(α),而0<α<5,

5a

i?o<α<ι,同理0<l<l,0<c<l,/(4)=∕(?),/(3)=/(c)

因?yàn)?(5)>∕(4)>”3),故f(a)>f(b)>/(c),

所以0<α<Z?<c<1.

故選：D.

K「點(diǎn)石成金曾思路『點(diǎn)石成金』：導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問題，應(yīng)根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利

用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，此類問題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若兩個非零向量α,匕滿足卜+可=卜一U=∣2α∣,則4-Z?與α的夾角為

JT

K答案?J##60

K解析》

K祥解》由向量和與差的模相等可確定向量4、〃相互垂直，且得到)2=3/,最后運(yùn)用向量夾角公式求

解即可.

K詳析》設(shè)向量a—力與0的夾角為6,因?yàn)椴?可=,一可=2回，則(a+耳=卜—耳=4〃，變形

^a2+h2+2a-h=a2+h2-2a-b-4a2，

所以a?b=0且)2=3/,則(a-。)?a=<?=同2,

2

(a-bYa?a??Jl

故COSe=η-----r—=Jj-j=—,又o≤e≤τr,則8=一.

卜-同同2∣<7∣×F∣<7∣23

故K答案可*.

e^"”%≤0

14.設(shè)函數(shù)/(X)=，一則滿足/(x+l)<∕(2x)的X的取值范圍是______.

l,x>0

R答案』(y,0)

K解析U

K祥解》作出/(χ)圖象，由數(shù)形結(jié)合結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.

“、e^',x≤O

K詳析H函數(shù)/(尤)=1；〉0圖象如圖所示，

滿足/(x+l)<∕(2x)可得2x<0<x+l或2x<x+l<0?

解得X∈(-8,0).

故K答案』為：(-∞,o).

15.已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為一的球。的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為

3

K答案』2π

K解析』

K祥解了先求出球的半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線的關(guān)系式，即可得到側(cè)面積表達(dá)式，然后用

重要不等式即可求解.

K詳析》解：設(shè)球的半徑為A,圓柱的底面半徑為「，母線為/,

則由題意知，V=皿="，解得R=I.

33

4JT

又圓柱的兩個底面的圓周在體積為7的球。的球面上，則圓柱的兩個底面圓的圓心關(guān)于球心對稱，且

,+0=R2=i?

則圓柱的側(cè)面積S=2πrl,/>0,

因?yàn)楫a(chǎn)+二22「*’=〃，當(dāng)且僅當(dāng)，=',即r=4Z,/=0時一，等號成立.

4222

所以r/≤1,S-2πr∕≤2π.

故K答案H為：2兀.

16.“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”.例如：取第一項(xiàng)

為1，將其外觀描述為“1個1”，則第二項(xiàng)為11；將描述為“2個1”，則第三項(xiàng)為21；將21描述為“I個2,1

個1”，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為力個1,1個2,2個1”，則第五項(xiàng)為1H221,…,這樣每次從左

到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng).則對于外觀數(shù)列{4},下列

說法正確的有.

①若q=3,則從明開始出現(xiàn)數(shù)字2；

②若4=左(JI=1,2,3,9),則a“(〃eN*)的最后一個數(shù)字均為k；

③{4}不可能為等差數(shù)列或等比數(shù)列；

④若q=123,則為(〃∈N*)均不包含數(shù)字4.

K答案H②④

K解析H

K祥解』對①，由外觀數(shù)列定義列舉判斷;

對②，由外觀數(shù)列定義判斷;

對③，取反例，如4=22；

對④，由反證法，結(jié)合外觀數(shù)列定義判斷.

K詳析』對①，q=3,4=13,%=1113,g=3113,①錯：

對②，由外觀數(shù)列的定義，每次都是從左到右描述，故一開始的Z（k=l,2,3,…，9）始終在最右邊，

即最后一個數(shù)字，②對；

對③，取4=22,則a?=%==22,此時既為等差數(shù)列，也為等比數(shù)列，③錯：

對④，ai=123,4=111213,4=31121113,%=1321123113,

設(shè)數(shù)列為（&€!<,Z25）首次出現(xiàn)數(shù)字4,則4τ必出現(xiàn)了4個連續(xù)的相同數(shù)字m（加=1,2,3,...?9）,

而4_2的描述必包含“1個〃?，1個機(jī)”，與《τ的描述矛盾，故4（〃WN*）均不包含數(shù)字4,④對.

故選：②④

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.自主創(chuàng)新是我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的核心動力，科技自立自強(qiáng)已被賦予國家發(fā)展戰(zhàn)略支點(diǎn)的功能.目前實(shí)現(xiàn)科技

自立自強(qiáng)我們?nèi)悦媾R巨大挑戰(zhàn)，越來越多的企業(yè)主動謀劃、加快發(fā)展，推動我國科技創(chuàng)新邁上新臺階.某

企業(yè)擬對某芯片進(jìn)行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入X（億元）與科技升級直接收益y

（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號1234567

X234681013

y13223142505658

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了y與X的兩個回歸模型：模型①：9=4.Ix+11.8；模型②：?=21.3√%-14.4.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型;

（2）根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測對芯片科技升級的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+11.8y=21.3√^-14.4

∑(x-λ)2182.479.2

/=I

Z(K-')2

(附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)改=1一g---------,√∏≈4.D

∑(x?->y)2

/=1

K答案Il(I)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，回歸模型②的擬合效果更好

(2)72.93億元

K解析』

K祥解』(1)根據(jù)相關(guān)指數(shù)公式，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得K答案》

(2)根據(jù)(1)選的模型，代入數(shù)據(jù)，可得K答案》.

K小問1詳析】

由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>79.2,

182.479.2182.4,79.2

.~>^^7-----------<ι------------

,2222

,∑(yi-y)∑(yi-y)∑(z?-y)------∑(x?-7)

/=IZ=I/=1/=1

???模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，

.?.回歸模型②的擬合效果更好

R小問2詳析］

當(dāng)x=17億時，科技升級直接收益的預(yù)測值為：

$=21.3√7-14.4a72.93(億元).

18.如圖，在四棱錐P-ABcD中，PAABCD,ADAB>ABDC,4)=Z5C=AP=2,AB=I,

點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明：平面PBCJ_平面PC￡)；

(2)求四棱錐E-ABCD的體積；

K答案F(I)證明見K解析】；

(2)1.

K解析』

K樣解IKl)作出輔助線，由線面垂直得到線線垂直，由勾股定理得到各邊長，得到BE，PC和

從而得到線面垂直，證明面面垂直；

(2)求出四棱錐P—ABCD的體積，進(jìn)而由E為棱PC的中點(diǎn)得到四棱錐E-ΛB8的體積.

K小問1詳析』

：在四棱錐P-ABcD中，PAJ_底面A5Cf>,AB,ACu平面ABCZZ

Λ∕?±AB,

?.?AP=2,AB=I,

PB=y∣PAr+AB2=√5，

ADA.AB,ABI/DC,且AO=OC=2,A8=1,

過點(diǎn)8作8例，8于點(diǎn)M,連接AE,則r>Λ∕=CΛ∕=l,BM=CD=2,

由勾股定理得：BC=y∣BM2+CM2=√5-

故PB=BC,

由勾股定理得AC=^AD2+DC2=2√2,PC=y∣AC2+PA2=2√3>

?.h∕?C為直角三角形，E為PC的中點(diǎn)，

.?,AE=-PC=yβ,

2

?.?BE=6,AB=l,

/.由AE2=BE2+AB?,得BElAB,

又ABMCD,CDRCP=C,

故BE，面PC。，又BEU面PBC,

所以平面PBC，平面Pa)；

K小問2詳析】

四邊形48Co的面積為g(A8+CD)?AD=gx(l+2)x2=3,

故匕

I~tA?DB?C-,uD=-3×3AP=-3×3×2=2,

?.?點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，

,?VE-ABCD=2VP-AjJCO=]X2=L

19.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是“，b,c>Scb+c=￠7cosB+?∣3asinB?

(1)求角A的大??；

(2)若。是BC邊上一點(diǎn)，且Co=2。8,若AT>=2,求AABC面積的最大值.

K答案』⑴A=^

2

R解析工

K祥解II(I)由正弦定理邊化角，∏ΓWsinB+sinC=sinAcosB+√3sinAsinB(結(jié)合Sinc=Sin(A+8)以

及三角恒等變換可得Sin(A-弓)=g,求得K答案》；

211,4.2

(2)根據(jù)平面向量共線定理可得，因?yàn)?=2E>8,AO=—A8+—AC,平方后得4=—〃+—￠2+-∕7c,

33999

結(jié)合基本不等式求出hc≤6,再利用三角形面積公式求得K答案加

K小問1詳揄

解：因?yàn)??+c=αcosB+?/?tzsinB，

所以SinB+sinC=sinAcosS+75sinAsinB?

又因?yàn)镾inC=Sin(A+B)=sinAcos3+cosAsin3,

所以sin3+cosAsinB=V3sinAsinB,

而JBW(O,兀),sinB≠0,

所以百SinA-CoSA=I，即SinIA-Z]=7，

又因?yàn)镺<A<71,所以一色<A—四<2,故A-二=工，解得A=J

666663

K小問2詳析》

解：如圖，

33

由4￡)=f—AB+—AC>l?所以4=-8~H—c~H—be,

U3J999

,1,,42,^4,2,2,

4=—Z?-+—c2+—be≥—be+—be=—?c,

999993

解得。c≤6,當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=2√5時取“=”，

所以.ABC的面積為S=L?AC?AB?sinBAC=Y3)c≤卞m,

242

當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=2百時，JIBC的面積有最大值為空.

2

20.已知函數(shù)/(x)=lnx+l.

(1)若y(x)≤x+c,求C的取值范圍；

(2)設(shè)α>0時，討論函數(shù)g(x)=/(X)--色)的單調(diào)性.

X-a

R答案D⑴[0,+8)；

(2)函數(shù)g(x)在區(qū)間(OM)和3,+∞)上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.

K解析』

K祥解力(1)由題意知InX-XWcT,用導(dǎo)數(shù)求〃(X)=InX-X的最大值即可；

,,、x-a-x?wx+x?na,、,

(2)對g(x)求導(dǎo)得g(x)=---------------?-------,設(shè)m{x}=X-a-x?nx+x?na,再用導(dǎo)數(shù)〃i(x)的正

x(x-a)

負(fù)，確定g'(χ)的正負(fù)，從而知g(x)的單調(diào)性.

K小問1詳析】

f(x)≤X+C等價于InX-X≤c-l.

I?—Y

設(shè)力(X)=Inx-x,則∕z'(χ)=——1=--.

XX

當(dāng)O<x<l時，h'(x)>O,所以〃(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>l時，h?x)<O,所以加上)在區(qū)間(L―)內(nèi)單調(diào)遞減.

故①O)]M=以D=-1，所以CTM-1,即c≥O,

所以C的取值范圍是［(),+8)；

K小問2詳析』

z?lnx+l-(ln<2+l)Inx-InaC工、

g(x)=---------------------L=------------(zx>0且Clx≠a),

x-ax-a

x-a-x?nx+x?na

因此g'(x)=

x(x-a)2

設(shè)m(x)=x-a-x?nx+x?na,

則有"z'(x)=Ina-InX,

當(dāng)x>α?xí)r，InX>Ina,所以/(x)<0,砥幻單調(diào)遞減，因此有機(jī)(X)<∕n(α)=0,

即g'(x)<O,所以g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)0<x<α?xí)r，InX<lnα,所以加(X)>0,砥χ)單調(diào)遞增，因此有ZM(X)<∕n(a)=0,

即g'(x)<O,所以g(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(OM)和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.

21.已知橢圓C：5+}=l(α>b>0)的離心率為等，直線4過橢圓C的兩個頂點(diǎn)，且原點(diǎn)O到直線4

的距離為拽.

5

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)過點(diǎn)P(0,2)的動直線/與橢圓C相交于兩個不同點(diǎn)A,8時，求局的取值范圍.

?PB?

r2

R答案』(1)—+/=1

4-

(2)[?1)∪(1,3]

K解析?

K祥解W(I)根據(jù)離心率得到α=2",設(shè)直線方程為日+B=l,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離得到力=1,得到橢

ab

圓方程.

(2)設(shè)AP=∕tPBQκ-l),得到方=4Λ2,y=2-〃必一2)，代入橢圓方程化簡得到M=，根據(jù)

MeI-IJ得到4G-3,-1,得至IJK答案』.

K小問1詳析』

'=rFI=τ,α-2+d,所以

不妨設(shè)直線4的方程為±+5=ι上+上=1,即x+2y—2b=0,

abIbb-

2b_2y/5

所以原點(diǎn)。到直線I的距離為d解得b=l,所以。=2,

1忑二r

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

K小問2詳析工

設(shè)A(XI,弘)、B(j?,y2),設(shè)4P=2PB(∕i≠-i),即(一42-乂)=；I(W，/-2)

.2(2

γ+√=ι手+X』？

整理得到玉=∕b?,χ=2-4(乂一2),于是J\,故J2，

j22222

^-+%=lΛ^-+λγ2=A

得(斗-〃2)(陽+*2)+(必_4%)(M+4%)=1_力，即(XTy2)(2+24)

=1—4,

41+2

)1-4%=與乙，又y∣+九%=2(1+X),得M=3幺；5,

11Ip?I1

又M故一￡一3,一彳上,且X≠-l,所以DEM=I4怕匕JX(1,3].

3JIΓDI5

(二)選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所寫的第一

題計分.

1

X=

COSaTi

22.在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為《r(。為參數(shù)，a≠kπ+-?以坐標(biāo)原點(diǎn)

j?sin02

y二，

CoSa

(八71

。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕COSe+可=1.

??)

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

B兩點(diǎn)'求向一面的值.

(2)已知點(diǎn)P(2,0),若直線/與曲線C交于A,

K答案2（DC：χ2-^-=l,直線/：X-百y-2=0

K解析』

X—夕COSe

K祥解Il(I)用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式《.八化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;

y—/7sinθ

(2)化直線方程為P點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解.

K小問1詳析卜

1

X二,

cose/I…,π

曲線C的參數(shù)方程為V（α為參數(shù)，a≠kπtλ—）,

√3sin6r2

y=---------，

COSa

所以V=-ζ-,d=理里，所以-H=1.即曲線C的普通方程為爐一二=1.

cos*^a3cosa33

直線/的極坐標(biāo)方程為夕COSe+T)=1,則p[cos9cOSl-SineSi吟=1,

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為X-百y-2=O.

K小問2詳析,

x=2+-t,

直線/過點(diǎn)P(2,0),直線/的參數(shù)方程為42C為參數(shù))令點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為：，弓，

x=2+