《4.3.3 余角和補(bǔ)角》教案、同步練習(xí)、導(dǎo)學(xué)案（3篇）

《4．3.3余角和補(bǔ)角》教案【教學(xué)目標(biāo)】1．在具體情境中認(rèn)識(shí)余角和補(bǔ)角，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)；(重點(diǎn))2．能利用余角和補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和簡(jiǎn)單的推理．(重點(diǎn))【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入讓學(xué)生觀察意大利著名建筑比薩斜塔．比薩斜塔建于1173年，工程曾間斷了兩次很長(zhǎng)的時(shí)間，歷經(jīng)約二百年才完工．設(shè)計(jì)為垂直建造，但是在工程開始后不久便由于地基不均勻和土層松軟而傾斜．二、合作探究探究點(diǎn)一：余角和補(bǔ)角及其性質(zhì)【類型一】余角和補(bǔ)角的概念如果α與β互為余角，則()A．α＋β＝180°B．α－β＝180°C．α－β＝90°D．α＋β＝90°解析：如果α與β互為余角，則α＋β＝90°.故選D.方法總結(jié)：正確記憶互為余角的定義是解決問題的關(guān)鍵．【類型二】利用余角和補(bǔ)角計(jì)算求值已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，求∠B的度數(shù)．解析：根據(jù)∠A與∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，從而得到∠A＝3∠B＋30°，再把兩個(gè)算式聯(lián)立即可求出∠2的值．解：∵∠A與∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度數(shù)為15°.方法總結(jié)：此題把角的關(guān)系結(jié)合方程問題一起解決，即把相等關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程組來解決．【類型三】余角、補(bǔ)角和角平分線的綜合計(jì)算如圖，已知∠AOB在∠AOC內(nèi)部，∠BOC＝90°，OM、ON分別是∠AOB，∠AOC的平分線，∠AOB與∠COM互補(bǔ)，求∠BON的度數(shù)．解析：根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根據(jù)角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠BOM＝eq\f(1,2)∠AOB，根據(jù)解方程，可得∠AOB的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．解：由∠AOB與∠COM互補(bǔ)，得∠AOB＋∠COM＝180°.由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.由OM是∠AOB的平分線，得∠BOM＝eq\f(1,2)∠AOB，即∠AOB＋eq\f(1,2)∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°.由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.由ON平分∠AOC得∠AON＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.方法總結(jié)：本題考查了余角與補(bǔ)角及角平分線的相關(guān)知識(shí)，利用了補(bǔ)角的性質(zhì)，角的和差，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解決問題一定要結(jié)合圖形認(rèn)真分析，做到數(shù)形結(jié)合．探究點(diǎn)二：方位角【類型一】利用方位角確定方向M地是海上觀測(cè)站，從M地發(fā)現(xiàn)兩艘船A、B的方位如圖所示，下列說法中正確的是()A．船A在M的南偏東30°方向B．船A在M的南偏西30°方向C．船B在M的北偏東40°方向D．船B在M的北偏東50°方向解析：船A在M的南偏西90°－30°＝60°方向，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；船B在M的北偏東90°－50°＝40°方向，故C正確，D錯(cuò)誤．故選C.方法總結(jié)：用方位角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)象所處的射線為終邊，故描述方位角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．【類型二】方位角的有關(guān)計(jì)算如圖所示，甲、乙、丙三艘輪船從港口O出發(fā)，當(dāng)分別行駛到A、B、C處時(shí)，經(jīng)測(cè)量得甲船位于港口的北偏東44°方向，乙船位于港口的北偏東76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向．(1)求∠BOC的度數(shù)；(2)求∠AOB的度數(shù)．解析：(1)根據(jù)方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案；(2)根據(jù)方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．解：如圖，(1)由乙船位于港口的北偏東76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°；(2)由甲船位于港口的北偏東44°方向，乙船位于港口的北偏東76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°.方法總結(jié)：解決本題主要是理解方向角的表示方法，結(jié)合圖形找到相應(yīng)的角，然后進(jìn)行計(jì)算．三、板書設(shè)計(jì)1．互余、互補(bǔ)(1)和為90°的兩個(gè)角互余；(2)和為180°的兩個(gè)角互補(bǔ)．2．方位角【教學(xué)反思】通過比薩斜塔這一學(xué)生熟知的著名建筑激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再運(yùn)用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，把圖形的“靜”變成“動(dòng)”，在動(dòng)態(tài)課件演示中引出概念，增強(qiáng)了趣味性，并且可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，一下子把學(xué)生吸引到課堂上來．這樣也把書本上原本呆板的概念激活了，使數(shù)學(xué)知識(shí)充滿新鮮感，實(shí)現(xiàn)了書本知識(shí)和學(xué)生發(fā)現(xiàn)的一種溝通，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何圖形的敏感性．《4.3.3余角和補(bǔ)角》同步練習(xí)能力提升1.如圖,A,O,B三點(diǎn)在一條直線上,已知∠AOD=25°,∠COD=90°,則∠BOC的度數(shù)為()A.25° B.85°C.115° D.155°2.如果∠AOB+∠BOC=90°,∠BOC+∠COD=90°,那么∠AOB與∠COD的關(guān)系是()A.互余 B.互補(bǔ)C.相等 D.不能確定3.如圖,點(diǎn)O在直線AB上,∠COB=∠DOE=90°,則圖中相等的角的對(duì)數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.74.如圖,小明從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處,又沿北偏西20°方向行走至C處,此時(shí)需把方向調(diào)整到與出發(fā)時(shí)一致,則方向的調(diào)整應(yīng)是()A.右轉(zhuǎn)80° B.左轉(zhuǎn)80°C.右轉(zhuǎn)100° D.左轉(zhuǎn)100°5.在直線AB上任取一點(diǎn)O,過點(diǎn)O作射線OC,OD,使∠COD=90°,當(dāng)∠AOC=30°時(shí),∠BOD的大小是()A.60° B.120°C.60°或90°D.60°或120°6.如圖,將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合后疊放在一起,若∠1=40°,則∠2=.

7.如圖,射線OP表示的方向是.

8.如圖,桌面上平放著一塊三角板和一把直尺,小明將三角板的直角頂點(diǎn)緊靠直尺的邊緣,他發(fā)現(xiàn)無論是將三角板繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn),還是將三角板沿直尺平移,∠1與∠2的和總是保持不變,則∠1與∠2的和是度.

9.學(xué)校、電影院、公園在平面圖上的標(biāo)點(diǎn)分別為A,B,C,如果電影院在學(xué)校的正東方向上,公園在學(xué)校的南偏西25°的方向上,那么平面圖上的∠CAB=度.

10.互余的兩個(gè)角的度數(shù)之比為3∶7,則這兩個(gè)角的度數(shù)分別是多少?11.如圖,一只螞蟻從點(diǎn)O出發(fā),沿北偏東45°的方向爬行2.5cm,碰到障礙物(記作B)后折向北偏西60°的方向爬行3cm(此時(shí)位置記作點(diǎn)C).(1)畫出螞蟻的爬行路線;(2)求出∠OBC的度數(shù).

注:如圖,,∠1=∠2

★12.如圖所示,已知O是直線AB上一點(diǎn),∠AOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD,圖中與∠DOE互余的角有哪些?與∠DOE互補(bǔ)的角有哪些?并說明理由.創(chuàng)新應(yīng)用★13.按如圖所示的方法折紙,然后回答問題:(1)∠2是多少度的角?為什么?(2)∠1與∠3有何關(guān)系?(3)∠1與∠AEC,∠3和∠BEF分別有何關(guān)系?★14.根據(jù)互余和互補(bǔ)的定義知,20°角的補(bǔ)角為160°,余角為70°,160°-70°=90°;25°角的補(bǔ)角為155°,余角為65°,155°-65°=90°;50°角的補(bǔ)角為130°,余角為40°,130°-40°=90°;75°角的補(bǔ)角為105°,余角為15°,105°-15°=90°……觀察以上幾組數(shù)據(jù),你能得到什么結(jié)論?寫出你的結(jié)論.參考答案能力提升1.C因?yàn)椤螦OC=∠COD-∠AOD=90°-25°=65°,所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-65°=115°.2.C3.C因?yàn)椤螩OB=90°,所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-90°=90°,所以∠AOC=∠BOC=∠DOE;因?yàn)椤螧OD+∠COD=∠EOC+∠COD=90°,所以∠EOC=∠BOD;因?yàn)椤螦OE+∠EOC=∠COD+∠EOC=90°,所以∠AOE=∠COD,共5對(duì).4.A如圖,∠ECF=20°,∠FCD=60°,要從BC方向轉(zhuǎn)向CD方向,需轉(zhuǎn)過的角為∠ECD=∠ECF+∠FCD=20°+60°=80°,即右轉(zhuǎn)80°.5.D根據(jù)題意畫圖為如圖①和圖②,在圖①中∠BOD的度數(shù)是60°,在圖②中∠BOD的度數(shù)是120°,所以∠BOD的度數(shù)是60°或120°.6.40°7.南偏西62°8.90由圖形知∠1,∠2與直角三角板的直角形成一個(gè)平角,所以無論是將三角板繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn),還是將三角板沿直尺平移,形成的始終是一個(gè)平角.所以∠1與∠2的和是90度.9.11510.解:設(shè)這兩個(gè)角的度數(shù)分別為3x°,7x°,由題意,得3x°+7x°=90°,解得x°=9°,3x°=27°,7x°=63°.答:這兩個(gè)角的度數(shù)分別是27°,63°.11.解:(1)如圖.(2)∠OBC=90°-60°+90°-45°=75°.12.解:與∠DOE互余的角有∠EOF,∠BOD,∠BOC;與∠DOE互補(bǔ)的角有∠BOF,∠COE.理由:∠DOE+∠EOF=90°,∠DOE+∠BOD=∠BOE=180°-∠AOE=90°,∠DOE+∠BOC=∠DOE+∠BOD=90°,∠DOE+∠BOF=∠AOF+∠BOF=180°,∠DOE+∠COE=∠DOE+∠BOF=180°.創(chuàng)新應(yīng)用13.解:(1)∠2=90°.因?yàn)檎郫B,則∠1與∠3的和與∠2相等,而這三個(gè)角加起來,正好是平角∠BEC,所以∠2=12×180°=90°(2)因?yàn)椤?與∠3組成的大角和∠2相等,且三個(gè)角加起來恰好是一個(gè)平角,所以∠1+∠3=90°.所以∠1與∠3互余.(3)因?yàn)椤?與∠AEC的和為180°,∠3與∠BEF的和為180°,所以∠1與∠AEC互補(bǔ),∠3與∠BEF互補(bǔ).14.解:設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為x°,則補(bǔ)角為(180-x)°,它的余角為(90-x)°.因?yàn)?80-x-(90-x)=90,所以一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角大90°.第四章幾何圖形初步4.2直線、射線、線段《第1課時(shí)直線、射線、線段》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1.了解余角、補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能利用余角、補(bǔ)角的知識(shí)解決相關(guān)問題.2.了解方位角的概念，并能用方位角知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.【重點(diǎn)】：了解余角、補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，了解方位角的概念和表達(dá)方式.【難點(diǎn)】：運(yùn)用余角、補(bǔ)角和方位角的相關(guān)知識(shí)解題.【自主學(xué)習(xí)】一、知識(shí)鏈接如圖①，在長(zhǎng)方形中，∠1+∠2=°，∠3+∠4=°.二、新知預(yù)習(xí)1.如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說這兩個(gè)角互為______(簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角______).如圖①，可以說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2.如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為______(簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角______).如圖①，可以說∠3是∠4的補(bǔ)角，或∠4是∠3的補(bǔ)角，或∠3和∠4互補(bǔ).三、自學(xué)自測(cè)1.圖中給出的各角，哪些互為余角？2.圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________【課堂探究】要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：有關(guān)余角和補(bǔ)角的計(jì)算例1若一個(gè)角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù).方法總結(jié)：余補(bǔ)角問題中，若角之間有比較明顯的倍分關(guān)系，可嘗試將較小的角設(shè)為未知數(shù)，列方程解答.例2如圖，已知O為AD上一點(diǎn)，∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，OM，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，若∠MON=40°，試求∠AOC與∠AOB的度數(shù)．觀察與思考：∠α∠α的余角∠α的補(bǔ)角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)觀察可得結(jié)論：銳角的補(bǔ)角比它的余角大_____.針對(duì)訓(xùn)練如果∠a=36°，那么∠a的余角等于（）A．54°B．64°C．144°D．134°2.如圖，將一副直角三角板如圖放置，若∠AOD=18°，則∠BOC的度數(shù)為_____.第2題圖變式題圖【變式題】一副三角板按如圖方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大44°，則∠1=______.3.已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，求∠B的度數(shù).探究點(diǎn)2：余角和補(bǔ)角的性質(zhì)思考：∠1與∠2，∠3都互為補(bǔ)角，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系？例3如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分線嗎？請(qǐng)說明理由．針對(duì)訓(xùn)練如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，則與∠AOC互余的角有__________.探究點(diǎn)3：方位角八大方位正東：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：東北方向：東南方向：例4如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上.同時(shí)，在它北偏東40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B，貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法畫出表示客輪B，貨輪C和海島D方向的射線.針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，說出下列方位(1)射線OA表示的方向?yàn)?(2)射線OB表示的方向?yàn)?(3)射線OC表示的方向?yàn)?/p>