第9章：統(tǒng)計(jì) 重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)（解析版）

第9章：統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系辨識(shí)【例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列兩個(gè)變量間的關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系的是（）A．任意實(shí)數(shù)和它的平方B．圓半徑和圓的周長(zhǎng)C．正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D．天空中的云量和下雨【答案】D【解析】對(duì)于ABC，兩個(gè)變量之間為確定性關(guān)系，即兩個(gè)變量之間均為函數(shù)關(guān)系，ABC錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，天空中的云量和下雨之間不是確定性關(guān)系，雖然有云不一定下雨，但是如果沒(méi)有云一定不下雨，說(shuō)明它們之間是相關(guān)關(guān)系，D正確.故選：D.【變式1-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（）A．正方體的表面積與體積B．光照時(shí)間與果樹的產(chǎn)量C．勻速行駛車輛的行駛距離與時(shí)間D．某運(yùn)動(dòng)會(huì)中某代表團(tuán)的足球隊(duì)的比賽成績(jī)與乒乓球隊(duì)的比賽成績(jī)【答案】B【解析】對(duì)于A，正方體的體積確定，則表面積隨之確定，是一種確定性關(guān)系，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，光照時(shí)間越長(zhǎng)，果樹的產(chǎn)量相對(duì)越大，是一種線性相關(guān)關(guān)系，B正確；對(duì)于C，行駛速度與時(shí)間是一種確定的函數(shù)關(guān)系，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，足球比賽成績(jī)與乒乓球比賽成績(jī)沒(méi)有關(guān)系，不具有相關(guān)關(guān)系，D錯(cuò)誤.故選：B【變式1-2】（2022春·浙江·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知變量與近似滿足關(guān)系，變量與負(fù)相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)D．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)【答案】C【解析】因?yàn)樽兞颗c近似滿足關(guān)系，又，所以與負(fù)相關(guān)，又因?yàn)樽兞颗c負(fù)相關(guān)，所以與正相關(guān).故選：C.【變式1-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷如圖所示的圖形中具有相關(guān)關(guān)系的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)圖象可得A,B為連續(xù)曲線，變量間的關(guān)系是確定的，不是相關(guān)關(guān)系，C中散點(diǎn)分布在一條直線附近，可得其線性相關(guān)，D中散點(diǎn)分布在一個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域，即非線性相關(guān)，故選：C【變式1-4】（2022春·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）成語(yǔ)“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大”，即教師的名聲與學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián)．下列能描述出生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語(yǔ)是（）A．登高望遠(yuǎn)B．亡羊補(bǔ)牢C．目瞪口呆D．袖手旁觀【答案】A【解析】成語(yǔ)“名師出高徒”的意思說(shuō)有名的教師一定能教出高明的徒弟，通常情況下，高水平的教師有很大的趨勢(shì)教出高水平的學(xué)生，所以教師的水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系，四個(gè)選項(xiàng)中只有“登高望遠(yuǎn)”滿足題意，即登高有很大的趨勢(shì)可以看更遠(yuǎn)，登高和望遠(yuǎn)之間成正相關(guān)關(guān)系.故選：A.題型二相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用【例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A．B．0C．1D．【答案】A【解析】這組樣本數(shù)據(jù)的所有樣本點(diǎn)都在直線上，這組樣本數(shù)據(jù)完全相關(guān)，即說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的樣本完全負(fù)相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)是故選：A.【變式2-1】（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎慕M不同數(shù)據(jù)的兩變量的線性相關(guān)系數(shù)如下：數(shù)據(jù)組①的相關(guān)系數(shù)；數(shù)據(jù)組②的相關(guān)系數(shù)；數(shù)據(jù)組③的相關(guān)系數(shù)；數(shù)據(jù)組④的相關(guān)系數(shù).則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)組①對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)都在同一直線上B．?dāng)?shù)據(jù)組②中的兩變量線性相關(guān)性最強(qiáng)C．?dāng)?shù)據(jù)組③中的兩變量線性相關(guān)性最強(qiáng)D．?dāng)?shù)據(jù)組④中的兩變量線性相關(guān)性最弱【答案】B【解析】對(duì)A，數(shù)據(jù)組①的相關(guān)系數(shù)，故數(shù)據(jù)組①對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)無(wú)線性關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對(duì)BC，數(shù)據(jù)組②的相關(guān)系數(shù)為4組中絕對(duì)值的最大值，故數(shù)據(jù)組②中的兩變量線性相關(guān)性最強(qiáng)，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)D，數(shù)據(jù)組①的相關(guān)系數(shù)為4組中絕對(duì)值最小，故數(shù)據(jù)組①中的兩變量線性相關(guān)性最弱，故D錯(cuò)誤故選：B【變式2-2】（2023春·遼寧大連·高二大連二十四中校考期中）某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖可知：所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故，所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知,因此，故選：C【變式2-3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）某中學(xué)統(tǒng)計(jì)了2011~2021這11年本校學(xué)生參加高考數(shù)學(xué)均分、英語(yǔ)均分、總分均分，得到如表所示的表格：年份20112012201320142015201620172018201920202021數(shù)學(xué)x（分）7577797480817783808281英語(yǔ)m（分）959810010110210310198107106100總分y（分）473481479485490487478492488493489從表中可知，數(shù)學(xué)和英語(yǔ)這兩科中與總分相關(guān)性較高的是______.【答案】數(shù)學(xué)【解析】設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科和英語(yǔ)學(xué)科的相關(guān)系數(shù)分別為，，，，，；；，∴，∴.；，∴，∴.∵，∴從相關(guān)系數(shù)角度來(lái)考慮，數(shù)學(xué)學(xué)科與總分的相關(guān)性較高，故答案為：數(shù)學(xué).題型三樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用【例3】（2023春·天津和平·高二天津市第二南開中學(xué)校考期中）如果記錄了，的幾組數(shù)據(jù)分別為，，，，那么y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過(guò)點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，，所以回歸直線必過(guò)點(diǎn)．故選：D．【變式3-1】（2023春·江西·高二江西師大附中校考階段練習(xí)）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位：小時(shí))與成績(jī)(單位:分)近似于線性相關(guān)關(guān)系.對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如下:151618192210298115115120由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為，則點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在直線左側(cè)B．點(diǎn)在直線右側(cè)C．點(diǎn)在直線上D．無(wú)法確定【答案】C【解析】由題得，，代入回歸方程得，∴點(diǎn)在直線上.故選：C【變式3-2】（2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為25，據(jù)此估計(jì)其身高為（）A．167B．174C．176D．180【答案】B【解析】由題設(shè)，，且，所以，故回歸直線為，當(dāng)厘米，則厘米.故選：B【變式3-3】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谥校傍Q叫是大自然優(yōu)美和諧的音樂(lè)，蟋蟀鳴叫的頻率（單位：次/分鐘）與氣溫（單位：℃）有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某同學(xué)在當(dāng)?shù)赝ㄟ^(guò)觀測(cè)，得到如下數(shù)據(jù)，并建立了關(guān)于的線性回歸方程．當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫52次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為_______________．（次/分鐘）24364060（℃）2628.63035.4【答案】33【解析】依題意可得，，又關(guān)于的線性回歸方程，所以，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為.故答案為：【變式3-4】（2023·北京·高三專題練習(xí)）“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為______．【答案】【解析】，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為．故答案為：.題型四線性回歸分析【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某專營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了近五年來(lái)該店的創(chuàng)收利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與時(shí)間（單位：年）的相關(guān)數(shù)據(jù)，列表如下：123452.42.74.16.47.9依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01，若，則認(rèn)為y與t高度相關(guān)，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系）．【答案】，y與t高度相關(guān)，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.【解析】由題知，，，，，，則，，y與t高度相關(guān)，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過(guò)程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^(guò)程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（1）某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過(guò)，有1000名數(shù)學(xué)愛(ài)好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2），465【解析】（1）由題知，的取值可能為1，2，3，所以；

；所以的分布列為：

123所以數(shù)學(xué)期望為（2）令，，，則，由題知：，，，所以，所以，，故所求的回歸方程為：，所以，估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)為.【變式4-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第個(gè)家庭的月收入（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得.（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.附：線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.【答案】（1）；（2）正相關(guān)；（3）（千元）.【解析】（1）由題意知，，則，.所以所求回歸方程為.（2）因?yàn)?，所以變量的值隨的值增加而增加，故與之間是正相關(guān).（3）將代入回歸方程，得，則可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為（千元）.【變式4-3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）市場(chǎng)研究機(jī)構(gòu)Counterpoint發(fā)布了最新全球電動(dòng)汽車市場(chǎng)報(bào)告，2022年總計(jì)銷量超1020萬(wàn)輛，比亞迪、特斯拉和大眾集團(tuán)位列排行榜前三.某電動(dòng)汽車公司調(diào)研統(tǒng)計(jì)了之前5年（2018年到2022年）自己品牌電動(dòng)汽車年銷售量y（單位：萬(wàn)輛），并制作了如下表格.年份（年）20182019202020212022年銷售量y（單位：萬(wàn)輛）916.52946.569（1）請(qǐng)根據(jù)表格中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖：（2）記年份代碼為x，2018年到2022年分別對(duì)應(yīng)x=1，2，3，4，5，請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①y=a+bx；②；③，哪一個(gè)更適合作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（3）根據(jù)（2）的判斷結(jié)果，求出年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程，并預(yù)測(cè)今年（2023年）該公司電動(dòng)汽車的年銷售量.參考數(shù)據(jù)：34559796602805參考公式：最小二乘估計(jì)公式：，.【答案】（1）散點(diǎn)圖見(jiàn)解析；（2）②更適合；（3），96.5萬(wàn)輛【解析】（1）如圖，（2）根據(jù)散點(diǎn)圖可知②更適合；（3）令，則，，，，對(duì)于回歸方程，可得：，，∴回歸方程為，即，令x=6，得，預(yù)測(cè)2023年該公司電動(dòng)汽車的年銷售量為96.5萬(wàn)輛.題型五非線性回歸分析【例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一種高產(chǎn)新品種水稻單株穗粒數(shù)和土壤鋅含量有關(guān)，現(xiàn)整理并收集了6組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，（單位：粒）與土壤鋅含量（單位：）得到樣本數(shù)據(jù)，令，并將繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖.若用方程對(duì)與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，令，則與的回歸方程為，根據(jù)散點(diǎn)圖可知與正相關(guān)，因此，又回歸直線的縱截距小于0，即，得，所以，.故詵：C【變式5-1】（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中；設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（）A．B．70C．D．35【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，，即，所?故選：C【變式5-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知變量的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下．由上表可得線性回歸方程，則（）x12345z2451014A．B．C．D．【答案】B【解析】由表格數(shù)據(jù)知，．即樣本中心點(diǎn)為，由，得，即，所以，即，可得，故選：B．【變式5-3】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著全球新能源汽車市場(chǎng)蓬勃增長(zhǎng)，在政策推動(dòng)下，中國(guó)新能源汽車企業(yè)在10余年間實(shí)現(xiàn)了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強(qiáng)國(guó)．某新能源汽車企業(yè)基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，改進(jìn)并生產(chǎn)純電動(dòng)車、插電混合式電動(dòng)車、氫燃料電池車三種車型，生產(chǎn)效益在短期內(nèi)逐月攀升，該企業(yè)在1月份至6月份的生產(chǎn)利潤(rùn)y（單位，百萬(wàn)元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．月份123456收入（百萬(wàn)元）6.88.616.119.628.140.0（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（，，，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為利潤(rùn)關(guān)于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于的回歸方程；（3）該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國(guó)汽車技術(shù)研究中心進(jìn)行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗(yàn)項(xiàng)目，其中在實(shí)驗(yàn)場(chǎng)進(jìn)行了一項(xiàng)甲、乙、丙三車同時(shí)去碰撞實(shí)驗(yàn)車的多車碰撞實(shí)驗(yàn)，測(cè)得實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.188，并且當(dāng)只有一車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生，實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.1，當(dāng)有兩車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生，實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.2，由于各種因素，實(shí)驗(yàn)中甲乙丙三車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當(dāng)三車同時(shí)碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生時(shí)實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率．參考數(shù)據(jù)：19.872.8017.50113.756.30其中，設(shè)，．參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】（1）選用作為利潤(rùn)關(guān)于月份的回歸方程更合適；（2）；（3）【解析】（1）散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布不是一條直線，相鄰兩點(diǎn)在軸上的差距是增大的趨勢(shì)．故選用作為利潤(rùn)關(guān)于月份的回歸方程更合適．（2）由，取對(duì)數(shù)可得，設(shè)，所以，，，，，所以，，所以，，即．（3）設(shè)事件為“實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢”，事件為“只有一車碰撞實(shí)驗(yàn)車”，事件為“恰有兩車碰撞實(shí)驗(yàn)車”，事件為“三車碰撞實(shí)驗(yàn)車”，則由已知得，利用全概率公式得解得所以當(dāng)三車同時(shí)碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生時(shí)實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.5．題型六獨(dú)立檢驗(yàn)性的概念理解【例6】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠（可用小白鼠模擬人體受損程度）．在照射后14天內(nèi)的結(jié)果如表所示：死亡存活合計(jì)第一種劑量141125第二種劑量61925合計(jì)203050進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是______．【答案】電離輻射的劑量與人體受損程度無(wú)關(guān)【解析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)知，應(yīng)假設(shè)“電離輻射的劑量與人體受損程度無(wú)關(guān)”．【變式6-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若由一個(gè)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得，則（）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．能有的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量有關(guān)系B．能有的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系C．能有的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量有關(guān)系D．能有的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系【答案】A【解析】因?yàn)椋阅苡械陌盐照J(rèn)為這兩個(gè)變量有關(guān)系．故選：A【變式6-2】（2022·四川南充·高三統(tǒng)考期中）當(dāng)前新冠病毒仍然肆虐，已經(jīng)成為全球性威脅．為了檢測(cè)某種新冠病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表：則下列說(shuō)法一定正確的是（）感染未感染總計(jì)注射104050未注射203050總計(jì)3070100附：（其中）．臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99.5%的把握認(rèn)為“小白鼠有無(wú)被感染與是否注射疫苗有關(guān)”B．有99.5%的把握認(rèn)為“小白鼠有無(wú)被感染與是否注射疫苗無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠有無(wú)被感染與是否注射疫苗無(wú)關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠有無(wú)被感染與是否注射疫苗有關(guān)”【答案】D【解析】根據(jù)列聯(lián)表，，，所以有的把握認(rèn)為“小白鼠有無(wú)感染與是否注射疫苗有關(guān)”，故選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.【變式6-3】（2023春·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知兩個(gè)分類變量X，Y的可能取值分別為和，通過(guò)隨機(jī)調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，再整理成如下的2×2列聯(lián)表：10ab30若樣本容量為75，且，則當(dāng)判斷X與Y有關(guān)系的把握最小時(shí)，a的值為（）A．5B．10C．15D．17【答案】C【解析】在兩個(gè)分類變量的列聯(lián)表中，當(dāng)?shù)闹翟叫r(shí)，認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)的可能性越小.令，得，又樣本容量為75，，則，，化簡(jiǎn)得，解得：，，又，.故選：C.題型七獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用【例7】（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期中）甲、乙兩地到某高校實(shí)施“優(yōu)才計(jì)劃”，即通過(guò)筆試，面試，模擬技能這3項(xiàng)考核程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)考核組獨(dú)立依次考核，當(dāng)3項(xiàng)考核程序均通過(guò)后即可簽約．2022年，該校數(shù)學(xué)系100名畢業(yè)生參加甲地“優(yōu)才計(jì)劃”的具體情況如下表（不存在通過(guò)3項(xiàng)程序考核放棄簽約的情況）：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生3515女生4010今年，該校數(shù)學(xué)系畢業(yè)生小明準(zhǔn)備參加兩地的“優(yōu)才計(jì)劃”，假定他參加各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計(jì)：小明通過(guò)甲地的每項(xiàng)程序的概率均為，通過(guò)乙地的各項(xiàng)程序的概率依次為，，．（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計(jì)劃”能否簽約與性別是否有關(guān)聯(lián)？（2）若小明通過(guò)甲、乙兩地的程序的項(xiàng)數(shù)分別記為X，Y，分別求出X與Y的數(shù)學(xué)期望．參考公式與臨界值表：，．0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）認(rèn)為這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計(jì)劃”能否簽約與性別無(wú)關(guān)（2），【解析】（1）列聯(lián)表：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計(jì)男生351550女生401050合計(jì)7525100，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可認(rèn)為這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計(jì)劃”能否簽約與性別無(wú)關(guān)；（2）由已知，小明通過(guò)甲地的每項(xiàng)程序的概率均為，所以X服從二項(xiàng)分布，即，∴，由題意：Y的可能取值為0，1，2，3，，，，．所以Y的數(shù)學(xué)期望．【變式7-1】（2023春·遼寧大連·高二大連二十四中?？计谥校┰谀甏汗?jié)期間，為了進(jìn)一步發(fā)揮電子商務(wù)在活躍消費(fèi)市場(chǎng)方面的積極作用，保障人民群眾度過(guò)一個(gè)平安健康快樂(lè)祥和的新春佳節(jié)，甲公司和乙公司在某購(gòu)物平臺(tái)上同時(shí)開啟了打折促銷、直播帶年貨活動(dòng)，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系．（1）現(xiàn)對(duì)某時(shí)間段名觀看直播后選擇這兩個(gè)公司直播間購(gòu)物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司直播間購(gòu)物選擇乙公司直播間購(gòu)物合計(jì)用戶年齡段歲用戶年齡段歲合計(jì)請(qǐng)將表格補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購(gòu)物與用戶的年齡有關(guān)？（2）若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個(gè)直播間進(jìn)行購(gòu)物，第一天等可能地從甲、乙兩家中選一家直播間購(gòu)物，如果第一天去甲直播間購(gòu)物，那么第二天去甲直播間購(gòu)物的概率為；如果第一天去乙直播間購(gòu)物，那么第二天去甲直播間購(gòu)物的概率為，求小李第二天去乙直播間購(gòu)物的概率．參考公式：，其中．臨界值表：【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）列聯(lián)表如下：選擇甲公司直播間購(gòu)物選擇乙公司直播間購(gòu)物合計(jì)用戶年齡段歲用戶年齡段歲合計(jì)所以，，所以，有的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購(gòu)物與用戶的年齡有關(guān).（2）記事件小李第一天去甲直播間，事件小李第二天去乙直播間，則，，，由全概率公式可得.因此，小李第二天去乙直播間購(gòu)物的概率為.【變式7-2】（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某市閱讀研究小組為了解該城市中學(xué)生閱讀與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，在參加市中學(xué)生語(yǔ)文綜合能力競(jìng)賽的各校學(xué)生中隨機(jī)抽取了500人進(jìn)行調(diào)查，并按學(xué)生成績(jī)是否高于75分（滿分100分）及周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)，將調(diào)查結(jié)果整理成列聯(lián)表.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出成績(jī)不低于75分的樣本占樣本總數(shù)的，周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的一半，而不低于75分且周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)的樣本有100人.周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)合計(jì)75分以下不低于75分100合計(jì)500（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)與閱讀時(shí)間是否有關(guān)；（2）先從成績(jī)不低于75分的樣本中按周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)分層抽樣抽取9人進(jìn)一步做問(wèn)卷調(diào)查，然后從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取3人中周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列與均值.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.010.0050