4.4.2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（解析版）

4.4.2《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》分層練習(xí)考查題型一對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合和集合，根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】，，，，.故選：C.2．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】由對(duì)數(shù)式與分式有意義建立不等式組求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，且，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：3．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】(1)；(2)偶函數(shù).【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由（1）可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)任意，則.因?yàn)?，所以由函?shù)奇偶性可知，函數(shù)為偶函數(shù).4．記函數(shù)的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?(1)求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）由題意得,解得或,即或.（2）根據(jù)題意,因?yàn)?，所?則,即,因?yàn)?所以或,解得或,又,所以或,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.考查題型二利用單調(diào)性比較代數(shù)式的大小1．已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，且，故.故選：A2．設(shè)，，，比較a，b，c大?。敬鸢浮俊驹斀狻恳?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，又，所以.故答案為：3．聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：）．若學(xué)校圖書規(guī)定：在閱覽室內(nèi)，聲強(qiáng)級(jí)不能超過，則最大聲強(qiáng)為（

）A．B．C． D．【答案】C【詳解】依題意，，則，則，故選：C．4.比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?1)，；(2)，；(3)，.【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，所以，.（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，且，所以，.（3）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，所以，；?dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以?綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(多選題)5．如果，那么下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由不等的性質(zhì)可得，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，得，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)樵谏线f增，，所以，所以D正確，故選：AD6．已知.(1)求的定義域和值域；(2)判斷并證明的單調(diào)性．【答案】(1)定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?2)在上為減函數(shù)，證明見解析.【詳解】（1）由，，即，得.故的定義域?yàn)?由，可知.故函數(shù)的值域?yàn)?（2）在上為減函數(shù)，證明如下：任取，又，，，，即，故在上為減函數(shù)．考查題型三對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象問題1．對(duì)數(shù)函數(shù)（，且）的大致圖象如圖所示，已知的取值為，，，，則曲線，，，對(duì)應(yīng)的的值依次是．【答案】，，，【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是上升的；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是下降的．對(duì)數(shù)的底數(shù)越大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象在軸上方的部分越遠(yuǎn)離y軸的正方向故曲線，，，對(duì)應(yīng)的的值依次是，，，．故答案為，，，．【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限按逆時(shí)針方向，函數(shù)的圖象按底數(shù)從大到小排列，是解答本題的關(guān)鍵．2．函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】的定義域?yàn)榍遥驗(yàn)?，所以為奇函?shù)，排除A，D，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤，故選：C.(多選題)3．函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且過定點(diǎn)，故函數(shù)的大致圖象不可能為BCD選項(xiàng).故選：BCD.4．已知函數(shù)圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，其中，則，由圖知，則的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故選：B.考查題型四解對(duì)數(shù)不等式問題1.若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是（

）A．(0，1)B．C． D．(0，1)∪(1，＋∞)【答案】C【詳解】由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同時(shí)2a>1，∴a>綜上，a∈.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2.已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于【答案】2【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，無解，綜上，a等于.故答案為：2.3．若關(guān)于的不等式且在上恒成立，則的取值范圍為．【答案】【詳解】解：不等式，在時(shí)恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意當(dāng)，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞減，，，，故答案為：．4．解關(guān)于的不等式：（，且）．【答案】當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．5．已知函數(shù)（且）在上的最大值為.(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，舍去；綜上可知，；（2）由（1）得，，當(dāng)時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造，和分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.考查題型五對(duì)數(shù)函數(shù)模型1.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……，這樣一個(gè)細(xì)胞分裂__________次以后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)是128個(gè).A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】由題意，次分裂后，共有個(gè)，所以有，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)用，考查由實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，屬于基礎(chǔ)題．2．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲迅速繁衍量指數(shù)增長(zhǎng)，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦，假設(shè)蝗蟲的日增長(zhǎng)率為6%，最初有只，則大約經(jīng)過（）天能達(dá)到最初的1600倍(參考數(shù)據(jù)：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995.A．126 B．150 C．197 D．199【答案】A【詳解】設(shè)經(jīng)過天能達(dá)到最初的1600倍，故，故故選：A3.技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)公式:.它表示:在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的可以忽略不計(jì).假設(shè)目前信噪比為若不改變帶寬，而將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴(kuò)大到原來的約（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】D.【詳解】由條件可知，設(shè)將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴(kuò)大到原來的倍，則，所以，即，所以，解得，故答案為：D4.20世紀(jì)30年代，里克特()制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為，這里是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).（1）若一次地震中，一個(gè)距離震中的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是，計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到0.1)；（2）計(jì)算里氏8級(jí)地震的最大振幅是里氏6級(jí)地震最大振幅的多少倍？(附：)【答案】（1）4.6級(jí)；（2）100倍.【詳解】（1）由題設(shè)可知：.因此，該次地震的震級(jí)約為里氏4.6級(jí).（2）設(shè)里氏8級(jí)和里氏6級(jí)地震的最大振幅分別為，.由題設(shè)可得：∴因此，里氏8級(jí)地震的最大振幅是里氏6級(jí)地震最大振幅的100倍.1．若點(diǎn)在的圖象上，且，則下列點(diǎn)也在此圖象上的是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】若點(diǎn)在的圖象上，則，當(dāng)時(shí)，易知，即在的圖象上，即A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，易知，即在的圖象上，即B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，易知，即在的圖象上，即C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，易知，即在的圖象上，即D正確；故選：D2．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D．【詳解】∵，，∴，，，，∴,∵，∴，即，∵，，∴.故選：D．(多選題)3．有下列幾個(gè)命題，其中正確的是（

）A．給定冪函數(shù)，則對(duì)任意，都有B．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)與互為反函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為D．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則【答案】ABD.【詳解】對(duì)于A，，由于所以，進(jìn)而可得，從而可得，即,故A正確，對(duì)于B，若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域滿足，所以，故其定義域?yàn)?，故B正確，對(duì)于C，由于函數(shù)與互為反函數(shù)，所以，則，定義域?yàn)椋捎诓辉诙x域范圍內(nèi)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，由于為奇函數(shù)，所以，故，D正確，故選：ABD4.十六、十七世紀(jì)之交，天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事快速發(fā)展，對(duì)大數(shù)的運(yùn)算提出了更高的要求，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，英格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550－1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對(duì)運(yùn)算體系的多年研究，最終找到了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》標(biāo)志著對(duì)數(shù)的誕生．對(duì)數(shù)的思想方法，即把乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法，在今天仍然具有生命力．以下幾組自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系中，最接近對(duì)數(shù)函數(shù)上述作用的函數(shù)是（

）A．x