《計算物理學》課件 第六章 有限元方法

第六章有限元方法有限元方法是數(shù)值求解復雜微分方程的一種非常有效的方法，其基于變分原理。將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化成一個泛函求極值的變分問題。與有限差分法的規(guī)則網(wǎng)格劃分求解域不同，有限元方法采用剖分逼近的離散化方式，將求解域剖分為有限個基本塊，稱為“單元”，如三角形，然后統(tǒng)一編號并求解。有限元方法在處理具有復雜區(qū)域或復雜邊界條件下的數(shù)學物理問題更具優(yōu)勢，如飛行器的結(jié)構(gòu)設(shè)計、電磁場問題、建筑物的結(jié)構(gòu)受力分析等。有限元方法是傳統(tǒng)Rayliegh-Ritz變分方法的發(fā)展，并融合了差分法的優(yōu)點，在問題的處理上統(tǒng)一、適應能力強，已廣泛應用于科學研究和工程設(shè)計。發(fā)展歷史300年前，牛頓、萊布尼茨發(fā)明了積分法，積分運算為實現(xiàn)有限元技術(shù)準備了一個理論基礎(chǔ)。100多年前，高斯提出加權(quán)余值法和線性代數(shù)方程組的解法，前者被用來將微分方程改寫成積分表達式，后者被用來求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。18世紀，拉格朗日提出泛函分析，是將微分方程改寫成積分表達式的另一途徑。19世紀末20世紀初，瑞利和里茲提出可對全定義域運用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。1915年，Galerkin提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的Galerkin法，被廣泛用于有限元。1941年，加拿大工程師Hrennikoff在《應用力學學報》上發(fā)文介紹了膜和板模型，并將求解域離散化為一個格柵結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡。這篇論文被認為是有限元法誕生的起點。同年，Courant在美國數(shù)學學會上報告了關(guān)于用變分法數(shù)值求解圓柱體扭轉(zhuǎn)問題的二階偏微分方程的工作，首次提出了可在定義域內(nèi)利用三角形分片地使用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)的Rayleigh-Ritz方法，給出了有限元方法的數(shù)學基礎(chǔ)。論文發(fā)表于1943年。20世紀50年代，J.H.Argyris、M.J.Turner、R.W.Clough、H.C.Martin等提出了矩陣剛度法，也就是最早的有限元方法，用來研究航空、機械、土木工程中的實際問題。隨后，M.J.Turner、R.W.Clough、H.C.Martin和L.J.Topp等人首次將飛機的機翼離散為三角形板塊的集合來進行平面應力的分析，取得了成功。1960年，Clough首次將這種方法命名為有限元方法，準確地概括了該方法。1963年，J.F.Besseling、R.J.Melosh和R.E.Jones等證明變分原理是有限元方法的數(shù)學原理。20世紀60年代，馮康提出了基于離散化的變分原理的差分格式，來數(shù)值求解橢圓型偏微分方程，獨立提出了有限元分區(qū)域的思想。錢偉長以及胡海昌提出了廣義變分原理。第一個有限元開源軟件是由加州大學伯克利分校的E.L.Wilson于1958年開發(fā)的，是一個基于矩形平面應力有限元的自動化程序。有限元方法的基礎(chǔ)和原理早期的有限元方法是在變分原理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，以變分原理為基礎(chǔ)，把求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為一個泛函求極小值的變分問題。變分原理是表達物理基本定律的一種普遍形式，因此有限元方法能夠應用于各種物理問題，具有明確的物理意義和理論基礎(chǔ)。泛函和變分變分原理是有限元方法的理論基礎(chǔ)，而泛函分析是變分原理的數(shù)學基礎(chǔ)。簡單來說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)，其定義域是一個函數(shù)集，而值域是實數(shù)集，而泛函就是從函數(shù)空間到數(shù)域的映射。

將式（5.3）代入到式（5.2）中可得

變分原理求泛函的極值問題稱為變分問題，相應的方法稱為變分法或變分原理。

變分有限元方法基本思想許多物理和力學問題既可以化為微分方程的邊值問題，也可以轉(zhuǎn)化某個物理量求極值的變分問題，而變分原理表明二者是等價的。對于微分方程的邊值問題，有限元方法首先構(gòu)造合適的泛函形式，將微分方程的邊值問題轉(zhuǎn)化為變分問題，然后數(shù)值求解關(guān)于泛函的極值，得到微分方程邊值問題的近似解。因此，有限元方法首先要對所求解的問題構(gòu)造相應的泛函。接下來需要解決的是泛函求極值的問題。Rayliegh-Ritz方法是一種直接求解泛函極值的近似方法。以變分原理為基礎(chǔ)，采用一個試探函數(shù)，根據(jù)泛函極值方程確定試探函數(shù)中的待定參數(shù)，從而得到近似解。剖分逼近是有限元離散化的手段。采用特殊的結(jié)構(gòu)單元將求解域剖分為有限個單元域，然后在每個單元內(nèi)通過Rayliegh-Ritz方法計算相應的函數(shù)，通過單元上的插值逼近，得到一個結(jié)構(gòu)簡單的函數(shù)集，進而整合得到整個求解域的解。這里的離散單元一般采用具有規(guī)則形狀的幾何結(jié)構(gòu)，如三角形、四面體等。因此，有限元方法保持了Rayliegh-Ritz方法從變分原理出發(fā)的優(yōu)點，具有較高的概括性，保證了計算效率和精度。另一方面吸收了差分法剖分逼近的優(yōu)點，能靈活適應各種幾何形狀和間斷介質(zhì)等復雜情況。有限元方法除了解題效能高強外，還有牢靠的理論基礎(chǔ)，是計算數(shù)學理論的一大成就。有限元方法包括以下幾個主要步驟：（1）將微分方程的邊值問題轉(zhuǎn)化為求極值的變分問題，也就是推導出與微分方程等價的泛函形式。（2）對求解區(qū)域進行離散化，也就是針對不同維度的問題，采用相應的單元將求解區(qū)域分為有限個單元，然后對所有單元和節(jié)點進行編號。（3）利用公式計算出各個三角形元素的系數(shù)矩陣。

偏微分方程邊值問題的有限元解法

有限元方法與有限差分法的異同兩種方法處理問題的思路不同。

有限差分法需要列出所要研究問題的微分方程及定解條件，然后通過通過規(guī)則網(wǎng)格劃分將微分方程的求解離散化，得到差分方程組，再進行數(shù)值求解。

有限元方法是基于變分原理，將所要求解的微分方程轉(zhuǎn)化為對泛函求極值的變分問題。再將求解區(qū)域劃分為有限個單元的離散化方法，通過構(gòu)造單元的插值函數(shù)，將變分方程問題離散化為線性方程組，再進行數(shù)值求解。兩種方法對區(qū)域的離散化方式也大不相同。

有限差分法通常采用矩形網(wǎng)絡區(qū)域劃分，如果所求解區(qū)域不規(guī)則，有限差分法就很難實現(xiàn)網(wǎng)絡格點與邊界的良好逼近，這時需要對邊界采用一些近似方法來處理。

而有限元方法一般采用三角形劃分，這樣的劃分方式能夠?qū)崿F(xiàn)對節(jié)點在區(qū)域內(nèi)的任意配置，并且配置方式可以根據(jù)邊界條件的情況來進行選擇和優(yōu)化，靈活方便。對于求解區(qū)域具有復雜邊界形狀的問題，有限元方法可以選擇單元節(jié)點完全處