《直線與平面垂直的性質(zhì)》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《8.6.2直線與平面垂直》教案第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)【教材分析】在直線與平面的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容既是直線與直線垂直關(guān)系延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究平面與平面垂直的基礎(chǔ)，既鞏固了前面所學(xué)的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了知識上和方法上的準(zhǔn)備，在教材中起著承前啟后的作用?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理并能運用其解決相關(guān)問題.2．通過對空間距離的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的性質(zhì)定理，線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)化；2.數(shù)學(xué)運算：求空間點面、線面、面面距離.3.直觀想象：題中幾何體的點、線、面的位置關(guān)系.【教學(xué)重點和難點】重點：直線和平面垂直的性質(zhì)定理.難點：直線和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入問題1：長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間是有什么位置關(guān)系？問題2：已知直線a⊥α、b⊥α、那么直線a、b一定平行嗎？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本153-155頁，思考并完成以下問題1、垂直與同一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？2、與線面垂直有關(guān)的結(jié)論有哪些？3、怎樣定義直線與平面的距離、平面與平面的距離？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.a⊥α常用結(jié)論:(1)過一點有且僅有一條直線與已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直線b與直線a垂直，則b//α(3)已知a⊥α.β//α，2、距離(1)直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離.(2)平面與平面的距離：兩個平面平行時，其中一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離.四、典例分析、舉一反三題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一點,N是A1C的中點,MN⊥平面A1DC.求證：（1）MN∥AD1;（2）M是AB的中點.【答案】證明見解析【解析】（1）因為ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)設(shè)AD1∩A1D=O,連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.所以O(shè)NCDAB,即ON∥AM.又因為MN∥OA,所以四邊形AMNO為平行四邊形,所以O(shè)N=AM.因為ON=AB,所以AM=AB,即M是AB的中點.解題技巧（證明兩條直線平行的常見方法）(1)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行;(2)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線與一個平面平行,那么經(jīng)過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;(3)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行;(4)線面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行.跟蹤訓(xùn)練一1、如圖，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.【答案】證明見解析【解析】因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a.又因為a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因為α∩β=l，所以l?α，l?β.因為EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因為EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.題型二空間中的距離問題例2如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱錐E-BB1C1C的體積.【答案】18.【解析】由長方體ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因為BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由題設(shè)可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距離即為點A到平面BB1C1C的距離，AB=3，所以四棱錐E-BB1C1C的體積V=13解題技巧(空間中距離的轉(zhuǎn)化)（1）利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離.（2）利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離.（3）通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中點，M是PD的中點.(1)求證：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.【答案】(1)證明見解析，(2)【解析】解析(1)連接AC，因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，所以△ABC為正三角形，因為E是BC的中點，所以AE⊥BC，因為AD∥BC，所以AE⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因為PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因為AB=AP=2，則AD=2，AE=3，所以VP-ACM=VC-PAM=13

S△PAM五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計8.6.2直線與平面垂直第8.6.2直線與平面垂直第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì)定理例1例2常用結(jié)論空間距離線面距離面面距離七、作業(yè)課本155頁練習(xí)，162頁習(xí)題8.6的13、14、15、16題.【教學(xué)反思】通過本節(jié)課性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進一步了解線線垂直和線面垂直時刻相互轉(zhuǎn)化的，即空間問題和平面問題可以相互轉(zhuǎn)化.《8.6.2直線與平面垂直》教案第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理并能運用其解決相關(guān)問題.2．通過對空間距離的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．核心素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的性質(zhì)定理，線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)化；2.數(shù)學(xué)運算：求空間點面、線面、面面距離.3.直觀想象：題中幾何體的點、線、面的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點】：直線和平面垂直的性質(zhì)定理.【學(xué)習(xí)難點】：直線和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本153-155頁，填寫。1、直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言垂直于同一個平面的兩條直線_______.a⊥α常用結(jié)論:(1)過一點有且僅有一條直線與已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直線b與直線a垂直，則b//α(3)已知a⊥α.β//α，2、距離(1)直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條_____________.(2)平面與平面的距離：兩個平面平行時，其中一個_______________.小試牛刀1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l⊥平面A1C1(l與棱不重合),則()A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B與l異面 D.B1B與l相交2.已知a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,下列四個命題:①a∥b,a∥α?b∥α;②a⊥b,a⊥α?b∥α;③a∥α,β∥α?a∥β;④a⊥α,β⊥α?a∥β.其中不正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.如果直線l,m與平面α,β,γ之間滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么()A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ4.線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________.

【自主探究】題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一點,N是A1C的中點,MN⊥平面A1DC.求證：（1）MN∥AD1;（2）M是AB的中點.跟蹤訓(xùn)練一1、如圖，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.題型二空間中的距離問題例2如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱錐E-BB1C1C的體積.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中點，M是PD的中點.(1)求證：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.【達(dá)標(biāo)檢測】1．直角三角形的斜邊在平面內(nèi)，頂點在平面外，則△ABC的兩條直角邊在平面內(nèi)的射影與斜邊組成的圖形是（）．A．一條線段 B．一個銳角三角形C．一個鈍角三角形 D．一條線段或一個鈍角三角形2．已知正方體中，，則點到平面的距離為（）A．1 B． C． D．3．如圖所示，在斜三棱柱中，，則點在底面上的射影必在（）A．直線上 B．直線上C．直線上 D．內(nèi)部4．如圖，設(shè)正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，分別為棱的中點，則的長為_______.5．如圖所示，已知PA⊥圓O所在的平面，是圓O的直徑，，是圓O上一點，且，與圓O所在的平面成角，是的中點，是的中點；（1）求證：平面；（2）求三棱錐-的體積．答案小試牛刀1．B.2．D.3．A.4.4.自主探究例1【答案】證明見解析【解析】（1）因為ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)設(shè)AD1∩A1D=O,連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.所以O(shè)NCDAB,即ON∥AM.又因為MN∥OA,所以四邊形AMNO為平行四邊形,所以O(shè)N=AM.因為ON=AB,所以AM=AB,即M是AB的中點.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】證明見解析【解析】因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a.又因為a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因為α∩β=l，所以l?α，l?β.因為EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因為EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.例2【答案】18.【解析】由長方體ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因為BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由題設(shè)可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距離即為點A到平面BB1C1C的距離，AB=3，所以四棱錐E-BB1C1C的體積V=13跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】(1)證明見解析，(2)【解析】解析(1)連接AC，因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，所以△ABC為正三角形，因為E是BC的中點，所以AE⊥BC，因為AD∥BC，所以AE⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因為PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因為AB=AP=2，則AD=2，AE=3，所以VP-ACM=VC-PAM=13

S△PAM當(dāng)堂檢測 1-3.DBA4.17.5．【答案】（1）見解析；（2）23【解析】（1）證明：∵是圓O的直徑，是圓O上一點，∴．∵PA⊥圓∴．又分別是的中點，∴EF//BC，∴，．又，∴平面．（2）由（1）知，且，，∴．∵PA⊥圓∴為與圓O所在的平面所成的平面角，∴，∴．故．《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固1．已知直線平面，直線，則（）A． B．l∥C．異面 D．相交而不垂直2．如圖，點，點，點，，是內(nèi)異于和的動點，且，則動點在平面內(nèi)所組成的集合是（）A．一條線段，但要去掉兩個點 B．一個圓，但要去掉兩個點C．半圓 D．半圓，但要去掉兩個點3．在長方體中，M，N分別為，AB的中點，，則MN與平面的距離為（）A．4 B． C．2 D．4．如圖，，點，點，且，，那么直線l與直線的關(guān)系是（）A．異面 B．平行 C．垂直 D．不確定5．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直6．在長方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，，則平面ABCD與平面EFGH的距離為________.7．已知矩形的邊，平面.若邊上有且只有一點，使，則的值為______.8．如圖，平面，平面，，分別為，上的點，且.求證：.能力提升9．如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是()A．①② B．①②③ C．① D．②③10．如圖，在直角梯形中，，，、分別是、的中點，將三角形沿折起，則下列說法正確的是______________.（1）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有平面；（2）不論折至何位置，都有；（3）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有；（4）在折起過程中，一定存在某個位置，使.11．如圖所示，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，//，，.（1）求證：平面；（2）求證：.素養(yǎng)達(dá)成12．如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)答案解析第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固1．已知直線平面，直線，則（）A． B．C．異面 D．相交而不垂直【答案】A【解析】根據(jù)線面垂直的定義，若直線與平面垂直，則直線垂直與該平面內(nèi)的任意一條直線，因此，故選A2．如圖，點，點，點，，是內(nèi)異于和的動點，且，則動點在平面內(nèi)所組成的集合是（）A．一條線段，但要去掉兩個點 B．一個圓，但要去掉兩個點C．半圓 D．半圓，但要去掉兩個點【答案】B【解析】連接，，由于，，所以平面，平面所以，說明動點在以為直徑的圓上，但不與點重合.所以B正確故選：B3．在長方體中，M，N分別為，AB的中點，，則MN與平面的距離為（）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】如圖，BC1,又平面，平面.∴MN與平面的距離為N到面的距離.又N到平面的距離為.∴MN與平面的距離為2.故選：C4．如圖，，點，點，且，，那么直線l與直線的關(guān)系是（）A．異面 B．平行 C．垂直 D．不確定【答案】C【解析】，，，；同理；又，平面.平面，.故選：C.5．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直【答案】C【解析】∵BD是菱形ABCD的一條對角線，菱形對角線互相垂直，∴AC⊥BD.∵MC⊥平面ABCD，∴MC⊥BD，∵MC和AC相交于點C，∴BD⊥平面ACM，∵MA?平面AMC，∴MA⊥BD.又∵MA與BD是異面直線，∴MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交.故選C.6．在長方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，，則平面ABCD與平面EFGH的距離為________.【答案】2【解析】如圖平面ABCD//平面EFGH又平面.平面ABCD與平面EFGH的距離為.故答案為：27．已知矩形的邊，平面.若邊上有且只有一點，使，則的值為______.【答案】【解析】平面，平面，.邊上存在點，使，且，平面.平面，∴以為直徑的圓和有公共點.，∴圓的半徑為.∴點是唯一的，和半徑為的圓相切，，即.故答案為：．8．如圖，平面，平面，，分別為，上的點，且.求證：.【答案】證明見解析【解析】∵平面，平面，又平面，平面∴，，.又，平面∴平面.又，，平面∴平面，∴//，∴.能力提升9．如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是()A．①② B．①②③ C．① D．②③【答案】B【解析】對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC，對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC，對于③，由①知BC⊥