《向量的加法運算》教學(xué)設(shè)計、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.2.1向量的加法運算》教學(xué)設(shè)計【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)課是本章第2課時，《向量的加法》是第六章平面向量的線性運算的第一節(jié)課。本節(jié)內(nèi)容有向量加法的平行四邊形法則、三角形法則及應(yīng)用,向量加法的運算律及應(yīng)用,大約需要1課時。向量的加法是向量的線性運算中最基本的一種運算，向量的加法為后面學(xué)習(xí)減法運算、向量的數(shù)乘運算及其幾何意義奠定了基礎(chǔ)；其中三角形法則適用于求任意多個向量的和,在空間向量與立體幾何中有很普遍的應(yīng)用。所以本課在平面向量及空間向量中有很重要的地位?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解向量加法的意義；B.掌握向量加法的幾何表示法，理解向量加法的另兩個運算法則；C.理解向量的運算律；D.理解和體驗實際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的過程和思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。1.數(shù)學(xué)抽象：向量的加法；2.邏輯推理：向量的加法法則；3.數(shù)學(xué)運算：求向量的和；4.直觀想象：向量加法的集合意義?！窘虒W(xué)重點】：兩個向量的和的概念及其幾何意義；【教學(xué)難點】：向量加法的運算律?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖復(fù)習(xí)回顧，溫故知新向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么？【答案】向量：既有方向又有大小的量。平行向量：方向相同或相反的向量。相等向量：方向相同并且長度相等的向量。用有向線段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和單位向量？【答案】向量的大?。河邢蚓€段的長度。向量的方向：有向線段的方向。零向量：長度為零的向量叫零向量；單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫單位向量。二、探索新知思考1：如圖，某質(zhì)點從點A經(jīng)過點B到點C，則這個質(zhì)點的位移怎么表示？【答案】從運算的角度看，可以認(rèn)為是與的和，即位移、可以看作向量的加法。1.已知向量和，如圖在平面內(nèi)任取一點O，作，則向量叫做和的和，記作．即。求兩個向量和的運算叫做向量的加法.根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．【口訣】首尾相連首尾連。思考2：某物體受到F1，F(xiàn)2作用，則該物體所受合力怎么求？【答案】從運算的角度看，可以認(rèn)為是與的和，即力的合成可以看作向量的加法。2.向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量和為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是和的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．【口訣】起點相同，對角線為和。思考3：向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？【答案】一致。平行四邊形法則中利用了相等向量的平移。注：向量的加法運算結(jié)果還是向量對于零向量與任一向量．我們規(guī)定。例1.如圖，已知向量和，求作向量。解：探究1：如果向量和共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能做出向量嗎？【答案】（1）當(dāng)和同向時，（2）當(dāng)和反向時，探究2：結(jié)合例1，探索之間的關(guān)系。【答案】由例1和探究1可得，當(dāng)和反向或不共線時，；當(dāng)和同向時，。所以，。結(jié)論：一般地，有。探究3：數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律呢？【答案】在平行四邊形ABCD中，，所以。在圖（2）中，，，所以，。結(jié)論：向量加法的交換律和結(jié)合律，例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾角來表示）。解：（1）如圖所示，表示船速，表示水速，以AD、AB為鄰邊作平行四邊形，則表示船實際航行的速度。在中，，所以，，因為，，所以。所以，船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為60o。通過復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過思考，由質(zhì)點的位移引入向量加法的三角形法則，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過口訣，讓學(xué)生更容易識記法則。通過思考，由力的合成引入向量加法的平行四邊形法則，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過思考，進(jìn)一步理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過例題講解，讓學(xué)生理解怎樣用向量的三角形法則與平行四邊形法則求向量的和，提高學(xué)生解決問題的能力。通過探究，求共線向量的和，進(jìn)一步理解向量的求和法則，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過探索之間的關(guān)系，進(jìn)一步理解向量的求和法則，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過探究，結(jié)合向量的求和法則推導(dǎo)加法運算律，進(jìn)一步理解向量的求和法則，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過例題進(jìn)一步理解的運算，用向量解決實際問題，提高學(xué)生用向量解決問題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測1．化簡eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的結(jié)果等于()A．eq\o(QP,\s\up6(→))B．eq\o(OQ,\s\up6(→))C．eq\o(SP,\s\up6(→))D．eq\o(SQ,\s\up6(→))【解析】eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).【答案】B2．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則一定有()A．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形C．四邊形ABCD是正方形D．四邊形ABCD是平行四邊形【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四邊形ABCD一組對邊平行且相等，故為平行四邊形．【答案】D3.（多選題）下列命題中正確的命題是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a；B.在平行四邊形ABCD中，必有eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；C.若eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則A，B，C，D為平行四邊形的四個頂點；D.若a，b均為非零向量，則|a＋b|≤|a|＋|b|.【解析】選項A，正確；選項B，在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，正確；選項C，A，B，C，D可能共線，所以錯誤；選項D，為向量的三角不等式，所以正確的命題為ABD．【答案】ABD4．若|a|＝|b|＝1，則|a＋b|的最大值為________．【解析】由|a＋b|≤|a|＋|b|知|a＋b|的最大值為2.【答案】25．已知向量a，b，c，如圖，求作a＋b＋c.【解】在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，如圖，則由向量加法的三角形法則，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(OC,\s\up6(→))即為所作向量．通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。四、小結(jié)1.向量加法的三角形和平行四邊形法則；2.；3.向量加法的運算律。五、作業(yè)習(xí)題3.16,7,9題通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。【教學(xué)反思】本節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn),學(xué)案課前預(yù)習(xí)一一課件動畫引入一一合作探究(三個探究問題)一一個體展示——例題精講一一課堂練習(xí)一課堂小結(jié)。在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中,合作討論讓整個課堂更活躍了,更增加了課堂趣味性。還有課后練習(xí)展示答案,可以很淸楚的掌握全班同學(xué)對本節(jié)課所學(xué)知識的掌握情況,從而調(diào)整課下和下一節(jié)的輔導(dǎo)和教學(xué)。總體說這節(jié)課比較成功,主要有以下幾個亮點：1.形式上,黑板與多媒體結(jié)合有效防止視覺疲勞,動手與思考結(jié)合形成主動學(xué)習(xí)，主動接受老師給予，與書本探究結(jié)合有利于課后復(fù)習(xí)和作業(yè)。2、教學(xué)方法采用多媒體教學(xué),動畫效果非常逼真,三角形法則和平行四邊形法則做和的幾何畫法讓學(xué)生得到了感性和理性的認(rèn)識3、培養(yǎng)目標(biāo)明確,除了學(xué)習(xí)物理中的數(shù)學(xué)外,還參透培養(yǎng)演繹思維,化歸轉(zhuǎn)化思想?！?.2.1向量的加法運算》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1..理解向量加法的意義；2.掌握向量加法的幾何表示法，理解向量加法的另兩個運算法則；3.理解向量的運算律；4.理解和體驗實際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的過程和思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識?！窘虒W(xué)重點】：兩個向量的和的概念及其幾何意義；【教學(xué)難點】：向量加法的運算律?！局R梳理】1．向量加法的定義定義：求的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量a，規(guī)定．2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝平行四邊形法則已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量＝a＋b.3.向量的運算律交換律結(jié)合律a＋b＝(a＋b)＋c＝【學(xué)習(xí)過程】一、探索新知思考1：如圖，某質(zhì)點從點A經(jīng)過點B到點C，則這個質(zhì)點的位移怎么表示？1.已知向量和，如圖在平面內(nèi)任取一點O，作，則向量叫做和的和，記作．即。求的運算叫做向量的加法.根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．口訣：。思考2：某物體受到F1，F(xiàn)2作用，則該物體所受合力怎么求？2.向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量和為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是和的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．【口訣】思考3：向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？注：向量的加法運算結(jié)果還是向量。對于零向量與任一向量．我們規(guī)定。例1.如圖，已知向量和，求作向量。探究1：如果向量和共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能做出向量嗎？探究2：結(jié)合例1，探索之間的關(guān)系。結(jié)論，一般地，有。探究3：數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律呢？結(jié)論：向量加法的交換律和結(jié)合律：。例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾角來表示）。【達(dá)標(biāo)檢測】1．化簡eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的結(jié)果等于()A．eq\o(QP,\s\up6(→))B．eq\o(OQ,\s\up6(→))C．eq\o(SP,\s\up6(→))D．eq\o(SQ,\s\up6(→))2．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則一定有()A．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形C．四邊形ABCD是正方形D．四邊形ABCD是平行四邊形3.（多選題）下列命題中正確的命題是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a；B.在平行四邊形ABCD中，必有eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；C.若eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則A，B，C，D為平行四邊形的四個頂點；D.若a，b均為非零向量，則|a＋b|≤|a|＋|b|.4．若|a|＝|b|＝1，則|a＋b|的最大值為________．5．已知向量a，b，c，如圖，求作a＋b＋c.參考答案：思考1.從運算的角度看，可以認(rèn)為是與的和，即位移、可以看作向量的加法。1.【口訣】首尾相連首尾連。思考2.從運算的角度看，可以認(rèn)為是與的和，即力的合成可以看作向量的加法。2.口訣：起點相同，對角線為和。思考3.一致。平行四邊形法則中利用了相等向量的平移。探究1.（1）當(dāng)和同向時，（2）當(dāng)和反向時，探究2.由例1和探究1可得，當(dāng)和反向或不共線時，；當(dāng)和同向時，。所以，。結(jié)論：探究3.在平行四邊形ABCD中，，所以。在圖（2）中，，，所以，。結(jié)論：向量加法的交換律和結(jié)合律，例2.解：（1）如圖所示，表示船速，表示水速，以AD、AB為鄰邊作平行四邊形，則表示船實際航行的速度。在中，，所以，，因為，，所以。所以，船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為60o。達(dá)標(biāo)檢測1.【解析】eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).【答案】B2.【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四邊形ABCD一組對邊平行且相等，故為平行四邊形．【答案】D3.【解析】選項A，正確；選項B，在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，正確；選項C，A，B，C，D可能共線，所以錯誤；選項D，為向量的三角不等式，所以正確的命題為ABD．【答案】ABD4.【解析】由|a＋b|≤|a|＋|b|知|a＋b|的最大值為2.【答案】25.【解】在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，如圖，則由向量加法的三角形法則，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(OC,\s\up6(→))即為所作向量．《6.2.1向量的加法運算》同步練習(xí)一、選擇題1．已知a，b，c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．22．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是（）.A． B． C． D．3．向量﹒化簡后等于（）A． B．0 C． D．4．已知有向線段不平行，則（）。A． B．≥C．≥ D．<5.（多選題）已知點D，E，F(xiàn)分別是的邊的中點，則下列等式中正確的是()A． B．C． D．6.（多選題）下列結(jié)論中，不正確結(jié)論的是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；B.在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點；D.若a，b均為非零向量，則a＋b的長度與a的長度加b的長度的和一定相等．二、填空題7．設(shè)是平面內(nèi)任意三點，計算：_______．8．給出下面四個結(jié)論：①若線段AC=AB+BC，則向量;②若向量,則線段AC=AB+BC;③若向量與共線，則線段AC=AB+BC;其中正確的結(jié)論有________.9.當(dāng)非零向量a，b滿足________時，a＋b平分以a與b為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)角．10.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解答題11.已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.12.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC、AC、AB的中點．求證：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.《6.2.1向量的加法運算》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．已知a，b，c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．2【答案】A【解析】依據(jù)向量加法的交換律及結(jié)合律，每個向量式均與a＋b＋c相等，故選A．2．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】畫出圖像如下圖所示.對于A選項，大小相等方向相反，，結(jié)論正確.對于B選項，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，，結(jié)論正確.對于C選項，由于，故結(jié)論錯誤.對于D選項，，大小相等方向相反，，結(jié)論正確.故選C.3．向量﹒化簡后等于（）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】,故選D.4．已知有向線段不平行，則（）。A． B．≥C．≥ D．<【答案】D【解析】由向量的不等式，，等號當(dāng)且僅當(dāng)平行的時候取到，所以本題中，<，故選D。5.（多選題）已知點D，E，F(xiàn)分別是的邊的中點，則下列等式中正確的是()A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由向量加法的平行四邊形法則可知，，故選ABC。6.（多選題）下列結(jié)論中，不正確結(jié)論的是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；B.在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點；D.若a，b均為非零向量，則a＋b的長度與a的長度加b的長度的和一定相等．【答案】ACD【解析】當(dāng)a＋b＝0時，知A不正確；由向量加法的三角形法則知B正確；當(dāng)A，B，C三點共線時知C不正確；當(dāng)向量a與向量b方向不相同時|a＋b|≠|(zhì)a|＋|b|，故D不正確．二、填空題7．設(shè)是平面內(nèi)任意三點，計算：_______．【答案】【解析】，故答案為.8．給出下面四個結(jié)論：①若線段AC=AB+BC，則向量;②若向量,則線段AC=AB+BC;③若向量與共線，則線段AC=AB+BC;其中正確的結(jié)論有________.【答案】①【解析】①由AC=AB+BC得點B在線段AC上，則，正確②三角形內(nèi)，但，錯誤③反向共線時，，錯誤9.當(dāng)非零向量a，b滿足________時，a＋b平分以a與b為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)角．【答案】|a|＝|b|【解析】當(dāng)|a|＝|b|時，以a與b為鄰邊的平行四邊形為菱形，則其對角線上向量a＋b平分此菱形的內(nèi)角．10.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．【答案】8eq\r(2)km東北方向【解析】如圖所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).所以|a＋b|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2)(km)，因為∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是東北方向．解答題11.已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.【答案】3eq\r(3)【解】如圖，∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3，∴四邊形OACB為菱形．連接OC、AB，則OC⊥AB，設(shè)垂足為D．∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2)，∴|e