2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第七章不等式7-4 基本不等式

第四節(jié)基本不等式

?最新考綱,

1.理解基本不等式√S≤半(a,?>0).

2.結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等仍是高考熱點(diǎn)，

多出現(xiàn)在解答題的運(yùn)算中.

學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)基本不等式求最值的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端

一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)

I.基本不等式：Vab≤

(I)基本不等式成立的條件：.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)取等號(hào).

(3)其中號(hào)叫做正數(shù)d人的算術(shù)平均數(shù)，每叫做正數(shù)”，匕的幾何平均數(shù).

2.利用基本不等式求最值

已知x>O,y>O,則

(1)如果積W是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，和x+y有最值2m.(簡(jiǎn)記:

積定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，積盯有最_______值?.(簡(jiǎn)記：和

定積最大)

［提醒］利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”.

二、必明1個(gè)常用結(jié)論

幾個(gè)重要的不等式

(l)α2÷?2≥2<7?(fl,?∈R).

⑵衿言2(a,?同號(hào)).

⑶早)2(”，?∈R).

(4)亨≥(手J3,?∈R).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

三、必練4類(lèi)基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”).

(1)兩個(gè)不等式〃2+序》2"與半≥FE成立的條件是相同的.()

(2)(α+?)2^40?.()

(3)''x>0且y>0''是'心+-”的充要條件.()

yX

(4)函數(shù)y=sinx+去，χc(θ,的最小值為4.()

(二)教材改編

2.［必修5?Pιoo練習(xí)Tl改編］當(dāng)x>l時(shí)，x+=的最小值為.

3.［必修5Roo練習(xí)T2改編］若把總長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的

最大面積是m2.

(三)易錯(cuò)易混

4.(未注意等號(hào)成立的條件)當(dāng)x22時(shí)，x+京的最小值為.

5.(未注意字母的正負(fù)號(hào))函數(shù)兀V)=W等M(X<0)的最大值為.

(四)走進(jìn)高考

6.［2019?天津卷］設(shè)Q0,y>0,x+2y=5,則更半衛(wèi)的最小值為_(kāi)_____.

√×y

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類(lèi)題通法

考點(diǎn)一利用基本不等式求最值［綜合性］

角度1配湊法

［例1］⑴已知Xq則y(x)=4χ-2+Jτ的最小值為_(kāi)_______.

44X—5

(2)已知0令<1,則x(3—2%)的最大值為.

聽(tīng)課筆記：

反思感悟配湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法

求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：

(1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)

變形：

(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；

(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢臉利用基本不等式的前提.

角度2常數(shù)代換法

［例2］若正數(shù)機(jī)，〃滿足2m+"=l,則工+工的最小值為()

mn

A.3+2√2B.3+√2

C.2+2√2D.3

聽(tīng)課筆記：

反思感悟常數(shù)代換法求最值的步驟

(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；

(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1;

(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式;

(4)利用基本不等式求解最值.

角度3消元法

［例3］已知x>0,)>0,x+3y+?xy=9,貝IJ

(I)X+3y的最小值為；

(2)xy的最大值為.

聽(tīng)課筆記：

反思感悟消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函

數(shù)的最值求解.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題，解決的方法是代入消元后利用基本不等式求解.但

應(yīng)注意保留元的取值范圍.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)AT)=5Y+Λ(X<m，貝!∣()

A.y(x)有最小值gB.兀V)有最小值一I

C.兀0有最大值一：D.人X)有最大值一I

2.己知x>0,y>0且x+y=5,則」-+二-的最小值為.

J'x+1y+2

考點(diǎn)二基本不等式的綜合應(yīng)用［綜合性］

角度1基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題

［例4］⑴若直線24x+by-2=0(α>0,匕>0)平分圓『+產(chǎn)一2Λ—4y—6=0,貝哈+(的最

小值是()

A.2-√2B.√2-l

C.3+2√2D.3-2√2

(2)設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的公差為d,其前n項(xiàng)和是S“若0=d=I,則阻竺的最小值是

an

聽(tīng)課筆記：

反思感悟基本不等式與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何結(jié)合的題目，往往先通過(guò)條件轉(zhuǎn)化成能

利用基本不等式的形式求解.

角度2求參數(shù)值或取值范圍

[例5](1)對(duì)任意∕n,”6(0,+°o),都有加22層川，則實(shí)數(shù)”的最大值為()

A.√2B.2√2

9

C.4D.?

2

(2)12021?江西吉安期中]設(shè)正數(shù)X,y滿足x+y=?,若不等式:+臺(tái)4對(duì)任意的x,)，成立,

則正實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.[4,+∞)B.(1,+∞)

C.[1,+∞)D.(4,+∞)

聽(tīng)課筆記：

反思感悟求參數(shù)的值或取值范圍時(shí)，要觀察題目的特點(diǎn)，利用基本不等式確定等號(hào)成

立的條件，從而得到參數(shù)的值或取值范圍.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

I.設(shè)x>0,y>0,且1+j=l,若3x+2y>,"2+2加恒成立，則實(shí)數(shù),"的取值范圍是()

A.(—8,—6]U[4,+∞)

B.(—8,—4]U[6,+8)

C.(一6,4)

D.(—4,6)

2.若aABC的內(nèi)角滿足3sinA=sinB+sinC,貝IJeOSA的最小值是()

考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用[應(yīng)用性]

[例6]小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一輛大貨車(chē)，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元，

從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬(wàn)元，假定該車(chē)每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王

在該車(chē)運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后，考慮將大貨車(chē)作為二手車(chē)出售，若該車(chē)在第X年年底出

售，其銷(xiāo)售價(jià)格為(25—x)萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車(chē)的報(bào)廢年限為10年).

(1)大貨車(chē)運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?，該?chē)運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出？

(2)在第幾年年底將大貨車(chē)出售,能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷(xiāo)

售收入一總支出)

聽(tīng)課筆記：

反思感悟利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

(1)根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)變量，一般把要求最值的變量設(shè)為函數(shù):

(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域；

(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最值；

(4)回到實(shí)際問(wèn)題中，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題的答案.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方

向.某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2019年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的

銷(xiāo)售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量X萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用f萬(wàn)元

之間滿足函數(shù)關(guān)系式］=3—旨？已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件

進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店

體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是萬(wàn)元.

微專(zhuān)題27均值不等式的向量形式交匯創(chuàng)新

我們知道，a2+b2^2ab(a,b∈R)以及早≥√^U(a,bGR*)是兩個(gè)應(yīng)用廣泛的均值不等

式，一種有趣的想法是：這兩個(gè)不等式可以類(lèi)比到向量中去嗎？

22

由(a—b)2=∣α-AH，。不難得到a+b^2abf當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

但將節(jié)P≥FE(α,bGR+)簡(jiǎn)單地類(lèi)比為手≥"E就不行了，由于該不等式左邊為向量，

右邊為數(shù)量，故其無(wú)意義，因此我們需要調(diào)整角度，看能否獲得有用的結(jié)果.

注意到6∈R+)=G^)》ab(a,fe∈R+),而不等式(Q+5產(chǎn)》〃.〃左右兩邊

都是數(shù)量,因而可以比較大小.事實(shí)上，由(α+b)2=(α-b)2+4ob=∣α一印+4α∕24α仍可得

(岸)^ab,當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)等號(hào)成立.

這樣，我們就得到如下兩個(gè)結(jié)論:

定理1設(shè)%b是兩個(gè)向量，則層+"》？。》，當(dāng)且僅當(dāng)Q=〃時(shí)等號(hào)成立.

定理2設(shè)》是兩個(gè)向量，則(早)22〃為，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

［例1］若平面向量。，力滿足"一b∣W3,則α仍的最小值是.

解析：方法一由定理1得

32?∣2α-?∣2=(2α-?)2≈(-2α)2+?2-4α??>2(-2α??)-4ɑ??≈-8α??,

所以α力》當(dāng)且僅當(dāng)B=-24時(shí)等號(hào)成立，

8

故a?b的最小值是一：.

8

方法二由定理2得

2α?f<(竽)匕中M，

則α?62—當(dāng)且僅當(dāng)辦=—20時(shí)等號(hào)成立.

8

故α?b的最小值是一：.

O

箕案.一2

U滎.8

說(shuō)明本題可推廣至一般形式：若平面向量》滿足：∣∕lα+b∣Wm(m>O),則當(dāng)2>0時(shí),

22

α力的最大值為三:當(dāng)kθ時(shí)，α力的最小值為三.

4入4入

I例2］已知”,》滿足Ial=I,(α+6)?(α-2Z>)=0,則網(wǎng)的最小值為.

解析：引入正參數(shù)人

由(α+8)?(α—26)=0得屋一“力-2/=0,又⑷=1,則l-2∕=α?b,

1—2?2=0?Z>≤∣^λa2+^b2^=∣^λ+^b2^,

當(dāng)且僅當(dāng)癡2=,2,即爐=萬(wàn)時(shí)等號(hào)成立.

A

所以1—2Λ2=α??≤^^λa2+q/)=：(入+??λ2),

解得a=I例》a

故步I的最小值為去

答案：?

［例3］已知α,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量C滿足(Q—c>3—c)=0,

求ICl的最大值.

解析：由(°—c)?(萬(wàn)—c)=0得

2

c=c(a+b)9

由定理1及已知條件得

c2=c?(α+?)≤∣［c2+(α+?)2∣

=i(c2+α2+Z>2)=∣(c2+2),

解得ICFW2,故ICl的最大值是√Σ

拓展1已知α,8是平面內(nèi)夾角為，的兩個(gè)單位向量，若向量C滿足(a-c)?(Z(-c)=O,

則ICl的最大值是-?.

COS-

拓展2已知a,Z>是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，且Ial=?b?=n,若向量C滿足(0一

c>3—c)=0,則ICl的最大值是√m2+n2.

［例4］平面上三點(diǎn)A,B,C滿足品?前>0,求前2+1^的最小值.

AB-BL

—.—?2

解析：由定理2得o<X5?阮≤(空羅)=［狂2,

則砂+j?≥松+W=礎(chǔ)+油產(chǎn)2.面.鬲=4，

故當(dāng)且僅當(dāng)屈=反，且I配I=VI時(shí)，配2+^^取得最小值4.

AB?BC

［例5］設(shè)a,b滿足層+40+/=3,求,一。力+瓜的取值范圍.

解析：由定理1得a?6≤W,

所以a。W亨，

解得a?ft≤l.

又由定理1得(一a)。WH

a2+b23-a?b

所以a?62

22

解得α??≥—3.

所以一3≤α??≤1.

因?yàn)閍2-α??÷62=(3-α?ft)-α??=3-2a?A,

所以1Wo?—0?)+)2W9.

名師點(diǎn)評(píng)以上五道例題從不同角度為我們初步展示了定理1、定理2的魅力，它們微

小平凡，對(duì)破解難題卻極其有效.不過(guò)，追求它們更廣泛的應(yīng)用前景固然讓人心動(dòng)，但更有

價(jià)值的則是獲得它們的思維過(guò)程.類(lèi)比是打開(kāi)發(fā)現(xiàn)之門(mén)的金鑰匙，但如何用好這把鑰匙卻值

得我們長(zhǎng)久的思考.

第四節(jié)基本不等式

積累必備知識(shí)

1.(l)α>O,?>0(2)a=b

2.(l)x=j小(2)x=y大

三、

1.答案：(I)X(2)√(3)×(4)X

2.解析：當(dāng)x>l時(shí)，x+-^x-l+-+?^2∣(x-l)×-+l=3,

x-1x-17X-I

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=工，即x=2時(shí)等號(hào)成立.

X-I

答案：3

3.解析：設(shè)一邊長(zhǎng)為Xm,則另一邊長(zhǎng)可表示為(10—x)m,由題意可知0<x<10,

則面積S=X(10-X)<(H^)2=25,

當(dāng)且僅當(dāng)X=IO—X,即x=5時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)矩形的長(zhǎng)與寬相等，且都為5m時(shí)面積取到最大值25n√.

答案：25

4.解析：設(shè)x+2=f,則x+*=f+&-2.

X+2t

又由x22得/24,而函數(shù)-2在[4,+8)上是增函數(shù)，因此當(dāng)f=4時(shí)，f+^—2

即x+三取得最小值，最小值為4+士一2=3.

X+24

答案：3

5.解析：因?yàn)閄V0,所以Ay)=2'+x+3=2χ+三+1=—(―2X+3)+1W—2∣-2x?=+l

XX"βX?lββX

=l-2√6,當(dāng)且僅當(dāng)一It=-,即X=一當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以八r)的最大值為1-2痣

答案：1一2幾

6.解析：a+】4+I)=/+*/】=%≥滔=40,當(dāng)且僅當(dāng)孫=3,即x=3,y

√×y√χy√χy√χy

=1時(shí)等號(hào)成立.故所求的最小值為46.

答案：46

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

例1解析：（l）?.?χ[,.?.4χ-5>0,

.?√W=4χ-2+襄

》2J(4x-5)?e+3

=2+3=5

當(dāng)且僅當(dāng)4x—5=點(diǎn)，即x=∣時(shí)取等號(hào)，所以Xx)的最小值為5.

解析：(2)X3-2x)=?(3-2x)≤∣(汽二i)2=g,

當(dāng)且僅當(dāng)2X=3-2Λ,即X=三時(shí)取等號(hào).

4

答案：(1)5(2)1

例2解析：因?yàn)?m+〃=1,

則三+-=(-+iY(2∕n+π)=3+-+-≥3+2l-?-=3+2√2,

mn?mn/mnΛJmn

當(dāng)且僅當(dāng)“=√∑,m即帆=三隹，"=或一1時(shí)等號(hào)成立，

所以工+工的最小值為3+2√Σ,故選A.

mn

答案：A

例3解析：(1)方法一(換元消元法)

由已知得9-(x+3y)=1?x?3yW1?(號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)X=3y,即x=3,y=l時(shí)取等號(hào).

即(x+3y)2+12(x+3y)-108N0,

令x+3y=t,則>0且戶+12/—10820,

得r≥6,即x+3y的最小值為6.

方法二(代入消元法)

由x+3y+xy=9,得X=

所以χ+3y=急+3y=上寫(xiě)產(chǎn)

_9+3y2_3(l+y)2-6(l+y)+12

1+y1+y

=3(l+y)+言一622^3(1+y)?是―6=12-6=6,

當(dāng)且僅當(dāng)3(1+》)=^,即y=l,x=3時(shí)取等號(hào)，

所以x+3y的最小值為6.

(2)方法-9一孫=x+3y22j3xy,

9—孫22j3xy,

令，，Λr>0,

Λ9-Z2≥2√3/,即l2+2gL9W0,

解得0vW√5,

Λλ∕xy≤√3,Λxγ≤3,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,即x=3,y=l時(shí)取等號(hào),

??xy的最大值為3.

方法二?.?k簫

?9-3y9y-3y2

?.χ?y=--------V=-----------

?z1+yJ1+y

2

--3(y÷l)+15(y÷l)-12

y+ι

=-3(?+l)-?15≤-2j3(y+l)??15=3.

當(dāng)且僅當(dāng)3(y+l)=缶，即y=l,x=3時(shí)取等號(hào).

Axy的最大值為3.

答案：(1)6(2)3

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：??"<∕,

當(dāng)且僅當(dāng)即L拊取等號(hào)，故曲有最大值一!.

答案：D

2.解析：令元+1=加，y+2=m

Vx>O,y>O,Λ∕w>O,n>O,

則m+n=x+1÷γ÷2=8,

：.—+++??×i(m+n)=i[-+≡+2)≥i(2√I+2)≈i.

x+1y+2mn?mn/88?mn/82

當(dāng)且僅當(dāng)2=%，即％=〃=4時(shí)等號(hào)成立.

mn

-?-d—三的最小值為

答案:?

考點(diǎn)二

例4解析：(1)直線平分圓，即直線過(guò)圓的圓心，由題意可知圓心坐標(biāo)(1,2).

則2〃+2〃-2=0,即α+b=l

所以1+I=(I+1)(a+b)=3+(g+()23+2V∑

當(dāng)且僅釁力即八夜7,“=2—√Σ時(shí)取等號(hào)?

解析：(2)如l)d=7t,S?="";",

n(l+n),_I------

匕匕~Sn+8—7~+81(,16,γ?、161八9

所以-s-=-^——=-n+-+1≥-(2n-----Fl)=-,

ann2?n/2n2

當(dāng)且僅當(dāng)〃=竺，即〃=4時(shí)取等號(hào)，

n

所以?部最小值越

答案：(I)C(2m

例5解析：(1);對(duì)任意加,w∈(0,÷°o),都有加一M〃+2/N0,

.*.W2+2序Namn,即oW??+?”=巴+久恒成立，

mnnm

V-+—>2∕≡?-=2√2,當(dāng)且僅當(dāng)巴=久，即m=√∑"時(shí)取等號(hào)，.?.αW2√Σ,故