第2講 轉(zhuǎn)化與化歸思想在導(dǎo)數(shù)解答題中的應(yīng)用（解析版）

第2講轉(zhuǎn)化與化歸思想在導(dǎo)數(shù)解答題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)解題過程中處處滲透著轉(zhuǎn)化與劃歸思想，學(xué)生解題能力高低很大程度取決于其轉(zhuǎn)化與劃歸思想能力的強(qiáng)弱。簡單點說，轉(zhuǎn)化與化為思想，就是通過觀察、分析、聯(lián)想等思維過程把學(xué)生需要解決的問題遵循熟悉化、簡單化。直觀化等原則，選擇合適的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后歸結(jié)到某些已解決或者比較容易解決問題的一種思維方法?！緫?yīng)用一】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決不等式問題在高考中導(dǎo)數(shù)作為必考解答題之一，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式的證明是考查的重點。函數(shù)的不等式問題，一直是常考問題，解決不等式問題我們一般的想法是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，但有的時候，題目給出的不等式中會含有不止一個變量，無法直接利用函數(shù)的單調(diào)性，此時就需要我們對不等式進(jìn)行變形，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的構(gòu)造函數(shù)的問題【例1.1】【2021年新高考1卷】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【思維提升】轉(zhuǎn)化與化歸思想常見的由一下一些解法：方法一：利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法轉(zhuǎn)化成不等式，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.【變式1.1】（2022·山東萊西·高三期末）已知，其中，.(1)求在上為減函數(shù)的充要條件；(2)求在上的最大值；(3)解關(guān)于x的不等式：.【答案】(1)(2)(3)或【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后由可求出結(jié)果，（2）設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求在上的最大值，然后分和兩種情況求的最大值即可，（3）取，則，由（1）可知在上為減函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為，從而可得，進(jìn)而可求得結(jié)果(1)由，得，，充分性：因為，所以當(dāng)時，，即，必要性：當(dāng)時，因為，所以，即，所以在上為減函數(shù)的充要條件為，(2)設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求在上的最大值，由（1）可知，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，所以，當(dāng)時，，由于時，，則在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，則在上為減函數(shù)，所以，綜上，(3)取，則，由，得，所以，由（1）可知在上為減函數(shù)，所以，所以，即，解得或，，所以或，，所以不等式的解集為或【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，解題的關(guān)鍵是令，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思和計算能力，屬于較難題【變式1.2】【2022年全國甲卷】已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,【答案】(1)(-(2)證明見的解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為exx(1)f(x)的定義域為(0,+∞f'(x)=(令f(x)=0,得x=1當(dāng)x∈(0,1),f當(dāng)x∈(1,+∞),f若f(x)≥0,則e+1-a≥0,即所以a的取值范圍為(-(2)由題知,f(x)一個零點小于1,一個零點大于1不妨設(shè)x要證x1x2因為x1,1因為f(x1)=f(即證e即證e下面證明x>1時，e設(shè)g(x)=e則g=(1-設(shè)φ(x)=所以φ(x)>φ(1)=e,而所以exx-所以g(x)在(1,+∞即g(x)>g(1)=0,所以e令h(x)=所以h(x)在(1,+∞即h(x)<h(1)=0,所以ln綜上,exx-xe【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式h(x)=ln【變式1.3】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】（1）的定義域為，，令，得：，當(dāng)變化時的關(guān)系如下表：01無意義0無意義在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）證明：要證，只需證：根據(jù)，只需證：不妨設(shè)，由得：；兩邊取指數(shù)，，化簡得：令：，則，根據(jù)（1）得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（如下圖所示），由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使且，則必有，即由得：.要證，只需證：，由于在上單調(diào)遞增，要證：，只需證：，又，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，即證，令，只需證：，，令，在上單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞減，所以所以所以：.【變式1.4】（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，(1)函數(shù)圖像在處的切線與函數(shù)相切，求實數(shù)a的值；(2)函數(shù)與函數(shù)圖像有兩個不同交點，（i）求a的取值范圍；（ii）若，證明：．【解析】（1）由得到，所以，而，所以切線方程為因為得，由題意得：，解得．（2）（?。┯深}意得化簡得，令函數(shù)與函數(shù)圖像有兩個不同交點等價于有兩個解，令，解得所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．，而時，，時，，所以，解得：故的取值范圍是（ⅱ）由（ⅰ）可得：①

②①+②得：③②-①得：④由③④消去a得：令，所以，令，，，令，則故所以在上單調(diào)遞增，所以所以，所以【應(yīng)用二】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決單調(diào)性等方面的恒成立問題的問題函數(shù)的單調(diào)性是作為函數(shù)的一個重要的性質(zhì)，也是高考中?？疾榈囊粋€性質(zhì)。主要是考查給定區(qū)間的單調(diào)性?！纠?.1】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；【答案】(1)；(2)見解析【分析】(1)由題意可得在上恒成立，令，求導(dǎo)，分、討論在上恒成立即可；【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，因為在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，令，，所以在上遞增，即，所以在上恒成立，符合題意；當(dāng)時，，，且在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在唯一使得，所以當(dāng)時，，在遞減，即，，不符合題意；綜上所述；【思維提升】導(dǎo)數(shù)中考查單調(diào)性的大題，往往是考查含參的給定區(qū)間的單調(diào)性。解決此題的關(guān)鍵要注意：(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件．【變式2.1】（（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)若在單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由函數(shù)在單調(diào)遞增，求導(dǎo)得在上恒成立，即在恒成立，令，則，當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞減，而.【變式2.2】（（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小值，最大值(2)或.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，判斷出函數(shù)單調(diào)遞增，即可求得函數(shù)在上的最值；（2）先去掉解析式中的絕對值符號，在上單調(diào)遞減即在上恒成立，關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.(1)時，，在上單調(diào)遞增，，則.∴在上單調(diào)遞增，∴，.(2)，記，，則，則在上單調(diào)遞增，，.①當(dāng)即時，，由在上單調(diào)遞減，可知在上恒成立，則，又由（1）知，故實數(shù)的取值范圍為.②當(dāng)即時，，由在上單調(diào)遞減，可知在上恒成立，則，又由（1）知，則又，故實數(shù)的取值范圍為.③當(dāng)即時，有，.則存在唯一實數(shù)，使得，當(dāng)時，與在上單減矛盾，此時不符合題意要求.綜上可知，的取值范圍為或.【點睛】可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號．關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．【變式2.3】（（2022·江蘇海安·高三期末）已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a(1)若是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若，是函數(shù)的兩個不同的零點，求證：1<x1+x【答案】(1)(-∞(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值恒大于等于0，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求最值即可作答.(2)根據(jù)給定條件可得x1=lna+(1)函數(shù)f(x)=ex-ax定義域為，當(dāng)時，因是單調(diào)增函數(shù)，則時，f'(x)≥0?a≤2xexφ'(x)=2ex(x+12x)>0所以a的取值范圍是(-∞(2)因，是函數(shù)的兩個不同的零點，則ex1=ax1,ex2=ax1-x2=12要證x1+x令g(t)=lnt-2(t-1)t+1,t>1，g則有g(shù)(t)>g(1)=0，于是得x1又x1+x2=2而x1x2令h(t)=lnt-t+1從而得在在上單調(diào)遞減，h(t)<h(1)=0，即有x1+綜上得：1<x【應(yīng)用三】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決零點、極值點問題問題函數(shù)的極值問題，既是重點題型又是難點題型，遇到此類題，我們一般的解題思路就是轉(zhuǎn)為函數(shù)或者方程根與最值得問題?！纠?】【2021年甲卷理科】已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當(dāng)時，與只有一個交點，不符合題意．②當(dāng)時，取上一點在點的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所當(dāng)且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【思維提升】研究函數(shù)的零點與極值點問題最常用的方法就是轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的根的問題。經(jīng)常運用以下的方法：方法一：將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.【變式3.1】（2022·廣東潮州·高三期末）已知函數(shù)f(x)=x22(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證:f(【答案】(1)(0,1)(2)見解析【解析】【分析】（1）函數(shù)有兩個極值點等價于f'（2）根據(jù)韋達(dá)定理可得，與的關(guān)系，將其代入不等式f(x1)+f(x2)+5>0，于是要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明g(a)=alna-a2(1)解：f'因為函數(shù)的定義域上有兩個極值點，，且，所以方程f'(x)=x+(a-3)+ax=0在上有兩個根，，且即x2+(a-3)x+a=0在上有兩個不相等的根，，所以-(a-3)2>0當(dāng)時，若0<x<x1或，x2+(a-3)x+a>0，，所以函數(shù)在(0,x1)和(若x1<x<x2,2x2故函數(shù)在上有兩個極值點，，且，所以，實數(shù)的取值范圍是(0,1)；(2)證明：由（1）知，，x2(0<x1<x所以x1+x故f(===aln令g(a)=alna-a22+2a-92，其中令h(a)=g'(a)=lna-a+3,h'由于h(e-3)=-2e-3<0，所以存在常數(shù)t∈(e-3，1)，使得h(t)=0，即lnt-t+3=0且當(dāng)a∈(0,t)時，ha=g'a<0，所以函數(shù)當(dāng)a∈(t,1)時，ha=g'a>0，所以函數(shù)所以當(dāng)時，g(a)≥g(t)=tlnt-又t∈(e-3,1)所以g（a）>-5，即g（a）+5>0，所以f(x【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了隱零點問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．【變式3.2】（2022·廣東揭陽·高三期末）已知函數(shù)f(1)若a=e，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最值.(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最小值為f1=e(2)e【解析】【分析】（1）把a(bǔ)=e的值代入函數(shù)的解析式，從而根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最值；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求函數(shù)的最小值；根據(jù)題意列出滿足條件的的不等式，從而求出的范圍，然后驗證即可.(1)易知函數(shù)的定義域為，當(dāng)a=e時，f所以f'當(dāng)時，；當(dāng)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由此可得，的最小值為f1=e(2)因為fx=xe當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故可得函數(shù)至多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，令ex-ax則在上，；在x0,+∞上，，所以在上單調(diào)遞減，在x0,+∞為了滿足有兩個零點，則有fx0=因為是方程ex-ax=0的解，所以x將②式代入①式可得fx0=a2-ln且當(dāng)a∈e2,+∞時，由②式得x0>1,f1=e-a+a=e>0，所以在上僅有1個零點；當(dāng)綜上，若函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是e2,+∞【變式3.3】【2022年新高考1卷】已知函數(shù)f(x)=ex-ax(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)a=1(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)b>1時，ex-x=b的解的個數(shù)、x-lnx=b的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)h(x)=ex+lnx-2x，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得f(x),g(x)的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線(1)f(x)=ex-ax的定義域為R若a≤0，則f'(x)>0，此時f(x)無最小值，故g(x)=ax-lnx的定義域為(0,+∞當(dāng)x<lna時，f'(x)<0，故當(dāng)x>lna時，f'(x)>0，故故f(x)當(dāng)0<x<1a時，g'(x)<0，故當(dāng)x>1a時，g'(x)>0，故故g(x)因為f(x)=ex-ax故1-ln1a=a-aln設(shè)g(a)=a-11+a-故g(a)為(0,+∞)上的減函數(shù)，而故g(a)=0的唯一解為a=1，故1-a1+a=ln綜上，a=1.(2)由（1）可得f(x)=ex-x和g(x)=x-當(dāng)b>1時，考慮ex-x=b的解的個數(shù)、x-設(shè)S(x)=ex-x-b當(dāng)x<0時，S'(x)<0，當(dāng)x>0時，故S(x)在(-∞,0)上為減函數(shù)，在所以S(x)而S(-b)=e-b>0設(shè)u(b)=eb-2b，其中b>1故u(b)在(1,+∞)上為增函數(shù)，故故S(b)>0，故S(x)=ex-x-b有兩個不同的零點，即設(shè)T(x)=x-lnx-b，當(dāng)0<x<1時，T'(x)<0，當(dāng)x>1時，故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞所以T(x)而T(e-b)=T(x)=x-lnx-b有兩個不同的零點即x-當(dāng)b=1，由（1）討論可得x-lnx=b、當(dāng)b<1時，由（1）討論可得x-lnx=b、故若存在直線y=b與曲線y=f(x)、y=g(x)有三個不同的交點，則b>1.設(shè)h(x)=ex+lnx-2x設(shè)s(x)=ex-x-1，x>0故s(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，故s(x)>s(0)=0即所以h'(x)>x+1x-1≥2-1>0而h(1)=e-2>0，故h(x)在(0,+∞)上有且只有一個零點x0當(dāng)0<x<x0時，h(x)<0即ex當(dāng)x>x0時，h(x)>0即ex因此若存在直線y=b與曲線y=f(x)、y=g(x)有三個不同的交點，故b=f(x此時ex-x=b有兩個不同的零點此時x-lnx=b有兩個不同的零點故ex1-x1=b所以x4-b=lnx4故x4-b為方程ex-x=b的解，同理又ex1-x1=b可化為故x1+b為方程x-lnx=b的解，同理所以{x1,故{x0=【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.【變式3.4】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在上的最大值；（2）由可得出，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.（2）解：函數(shù)的定義域為，由可得，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，令，其中，則，則函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，則存在，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故實數(shù)的取值范圍是1、（2022·廣東汕尾·高三期末）已知函數(shù)fx=lnx-ax+1，(1)求曲線在點P1,f1處的切線l的方程；并證明：函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(x≠1)的圖象在直線【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點斜式可求切線l的方程(1-a)x-y=0；可構(gòu)造h(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明【解析】(1)由fx=lnf'(1)=1-a,f(1)=1-a，∴切線方程為所以曲線在點P(1,f(1))處的切線方程為(1-a)x-y=0；令h(x)=f(x)-(1-a)x=lnh'當(dāng)時，h'(x)>0,h(x)在當(dāng)時，h'(x)<0,h(x)在所以h(x)≤h(1)=0所以，且x≠1時，lnx-x+1<0，即lnx-ax+1<(1-a)x，即函數(shù)f(x)????(x≠1)2、（2022·廣東東莞·高三期末）已知且a≠1，函數(shù)f(x)=loga(1)若a=e，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】【分析】（1）由a=e時，得到fx=ln（2）將函數(shù)有兩個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnxx2與y=-1(1)解：當(dāng)a=e時，fx=ln故f'時，f1=ln1+所以在處的切線方程為y-12e=即y=1+e(2)函數(shù)有兩個零點，?方程logax+1?方程lnxx2?函數(shù)y=lnxx2與設(shè)，則，g'x=1-2lnxx所以在0,e上單調(diào)遞增，在e,+由，ge=12e，當(dāng)時，，當(dāng)時，gx由圖得0<-12a設(shè)hx=xlnh'x=1+lnx>0時，x>所以hx=xlnx在因為時lnx<0，且，所以當(dāng)時，-1e≤hx<0；當(dāng)又因為hx所以-1e綜上所述a∈3、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a=1時，由得,符合題意；當(dāng)a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立.當(dāng)時，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當(dāng)時，恒成立．令，只需證當(dāng)時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當(dāng)時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構(gòu)，可