2023年上海16區(qū)(浦東徐匯楊浦閔行等)數(shù)學(xué)高考二模匯編9 計數(shù)原理與概率統(tǒng)計含詳解

專題09計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

一、填空題

1.（崇明）在（/+3H）的展開式中常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）

X

2.（崇明）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績（單位：分），分數(shù)從低到高依次：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,則這15人成績的第80百分位數(shù)是.

3.（崇明）某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫.

氣溫CC）141286

用電量（度）22263438

由表中數(shù)據(jù)所得回歸直線方程為y=—2x+。，據(jù)此預(yù)測當(dāng)氣溫為5℃時，用電量的度數(shù)約為°C.

4.（崇明）在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為30秒，那么，每次綠燈亮?xí)r，在一條直行道路上能有多少汽車

通過？這個問題涉及車長、車距、車速、堵塞的干擾等多種因素，不同型號車的車長是不同的，駕駛員的習(xí)慣不同

也會使車距、車速不同，行人和非機動車的干擾因素則復(fù)雜且不確定.面對這些不同和不確定，需要作出假設(shè).例

如小明發(fā)現(xiàn)雖然通過路口的車輛各種各樣，但多數(shù)是小轎車，因此小明給出如下假設(shè)：通過路口的車輛長度都相等，

請寫出一個你認為合理的假設(shè).

4

5（楊浦）設(shè)（2x+l）S=%χ5+a/+。3丁++aix+a0,則％=

6.（楊浦）某中學(xué)舉辦思維競賽，現(xiàn)隨機抽取50名參賽學(xué)生的成績制作成頻率分布直方圖（如圖），估計學(xué)生的

8.（寶山）從裝有3個紅球和4個藍球的袋中，每次不放回地隨機摸出一球.記“第一次摸球時摸到紅球”為A,

“第二次摸球時摸到藍球”為8,則尸（四4）=

9.（寶山）如圖是某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖（圖中僅列出[50,60）,[90,100）的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖,

則％_,=

5

6

7

8

9

10.（奉賢）（2x+l）5的二項展開式中Y項的系數(shù)為.（用數(shù)值回答）

11.（奉賢）某校高中三年級1600名學(xué)生參加了區(qū)第一次高考模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績量X服從正態(tài)分布

N（Ioo,〃）（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的;，則

此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為一人.

12.（奉賢）設(shè)某種動物活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的該種動物，它活到25歲

的概率是.

rI23、

13.（奉賢）已知隨機變量X的分布為111,且y=d+3,若用丫］=-2,則實數(shù)〃=

<236>

14.（虹口）某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是.

278

323668

405

5248

（第6題圖）

15.（虹口）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,一盤中放有10個外觀完全相同的粽子，其中豆沙粽3個，肉粽3

個，白米粽4個，現(xiàn)從盤子任意取出3個，則取到白米粽的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

16.（黃埔）若每經(jīng)過一天某種物品的價格變?yōu)樵瓉淼?.02倍的概率為0.5,變?yōu)樵瓉淼?.98倍的概率也為0.5,則

經(jīng)過6天該物品的價格較原來價格增加的概率為

17.（嘉定）已知〃eN,若C：=耳，則〃=.

12

18.（嘉定）已知某產(chǎn)品的一類部件由供應(yīng)商A和8提供，占比分別為和士,供應(yīng)商A提供的該部件的良品率為

33

0.96.若該部件的總體良品率為0.92,則供應(yīng)商B提供的該部件的良品率為.

19.（金山）在（2+x）5的二項展開式中，/項的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

20.（金山）擲一顆骰子，令事件A={l,2,3},B={l,2,5,6},則P（AlB）=（結(jié)果用數(shù)值表示）.

21.（靜安）某運動生理學(xué)家在一項健身活動中選擇了10名男性參與者，以他們的皮下脂肪厚度來估計身體的脂肪

含量，其中脂肪含量以占體重（單位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和體重的數(shù)據(jù)如下：

個體編號體重X(kg)脂肪含量y（%）

18928

28827

36624

45923

59329

67325

78229

87725

9IOO30

106723

建立男性體重與脂肪含量的回歸方程為：.（結(jié)果中回歸系數(shù)保留三位小數(shù)）

22.（靜安）今年是農(nóng)歷癸卯兔年,一種以兔子形象命名的牛奶糖深受顧客歡迎.標(biāo)識質(zhì)量為50Og的這種袋裝奶糖

的質(zhì)量指標(biāo)X是服從正態(tài)分布N（500,2.5?）的隨機變量.若質(zhì)量指標(biāo)介于495g（含）至505g（含）之間的產(chǎn)品

包裝為合格包裝，則隨意買一包這種袋裝奶糖，是合格包裝的可能性大小為_______%.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（已知①（1）≈0.8413,Φ（2）≈0.9772,Φ（3）≈0.9987.①（X）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)從一8到X的累計面積）

23.（閔行）已知常數(shù)加>（）,S+'）'的二項展開式中一項的系數(shù)是60,則〃?的值為.

X

24.（閔行）已知事件A與事件B互斥，如果P（A）=O.3,P（B）=0.5,那么P（4B）=.

25.（閔行）今年春季流感爆發(fā)期間，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和4名護士分配到兩所學(xué)校，給學(xué)校老師和學(xué)生接種

流感疫苗.若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護士，則不同的分配方法數(shù)為.

26.（浦東新區(qū)）（x+3）5的二項展開式中/項的系數(shù)為.

27.（浦東新區(qū)）設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（0,/）,且「（*>-2）=0.9,則尸（乂>2）=.

28.（浦東新區(qū)）投擲一顆骰子，記事件A={2,4,5},B={1,2,4,6},則P（AlB）=.

29.（普陀）現(xiàn)有一組數(shù)1,1,2,2,3,5,6,7,9,9,則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為.

30.（普陀）“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位：kwh）與氣溫X（單位：°C）之間的

關(guān)系，隨機統(tǒng)計了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對應(yīng)關(guān)系見下表：

氣溫X（單位：°C）181310-1

用電量y（單位：

24343864

kw?h）

若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程y=-2x+b（?∈R）來預(yù)測，則當(dāng)氣溫為一4°C時該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為

kw?h.

31.（松江）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（（M）,若P（X<—1.96）=0.03,則P（IX|<1.96）=▲.

32.（松江）在二項式（九-一）8的展開式中，含χ4的項的系數(shù)是▲（結(jié)果用數(shù)字作答）

33.（松江）從4名男生和3名女生中抽取兩人加入志愿者服務(wù)隊。用A表示事件“抽到的兩名學(xué)生性別相同”，

用B表示事件“抽到的兩名學(xué)生都是女生”，則P（BIA）=▲.（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）

34.（徐匯）抽取某校高一年級10名女生，測得她們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：163165161

157162165158155164162,據(jù)此估計該校高一年級女生身高的第25百分位數(shù)是.

35.（徐匯）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)片,為，Z的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10不10孫，1°Z的方差為

2024

36.（徐匯）若（I+x）（l-2x）2°23++++a2024x,ai∈R（z=0,1,2,,2024）,則

al+a2++α2024=.

37.（徐匯）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加高中社會實踐活動，高中社會實踐活動共有博物館講解、養(yǎng)老院慰

問、交通宣傳、超市導(dǎo)購四個項目，每人限報其中一項，記事件A為“4名同學(xué)所報項目各不相同”，事件B為“只

有甲同學(xué)一人報交通宣傳項目，則P（A忸）=.

38.（長寧）已知事件A與事件B相互獨立，如果P（A）=O.5,P（A司=0.4,那么網(wǎng)8）=.

39.（長寧）設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,b2）,若尸（X≤l）=0.2,則P（X<3）=.

二、選擇題

40.（長寧）在下列統(tǒng)計量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.百分位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

41.（松江）為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：

收入X（萬

支出N（萬

根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0r+h,其中α=0.76,b^-ax,據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為15萬元

家庭年支出為（）

A.11.4萬元B.11.8萬元C.12.0萬元D.12.2萬元

42.（浦東新區(qū)）某種產(chǎn)品的廣告支出R與銷售額y（單位：萬元）之間有下表關(guān)系，y與九的線性回歸方程為

y=10.5x+5.4,當(dāng)廣告支出6萬元時，隨機誤差的效應(yīng)即離差（真實值減去預(yù)報值）為（）.

y3040607080

A.1.6B.8.4C.11.6D.7.4

43.(閔行)在某區(qū)高三年級舉行的一次質(zhì)量檢測中，某學(xué)科共有3000人參加考試.為了解本次考試學(xué)生的成績

情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(成績均為正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計，樣本容量為〃.按照

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖(如圖所示).已知成績落在[50,60)

內(nèi)的人數(shù)為16,則下列結(jié)論正確的是()

(A)樣本容量〃=IoOo

(B)圖中X=O.025

(C)估計全體學(xué)生該學(xué)科成績的平均分為70.6分

(D)若將該學(xué)科成績由高到低排序，前15%的學(xué)生該學(xué)科成績?yōu)锳等，則成績?yōu)?8分的學(xué)生該學(xué)科成績肯定不

是A等

44.(金山)某社區(qū)通過公益講座宣傳交通法規(guī).為了解講座效果，隨機抽取10位居民，分別在講座前、后各回答

一份交通法規(guī)知識問卷，滿分為100分.他們得分的莖葉圖如圖所示(“葉”是個位數(shù)字)，則下列選項敘述錯誤的

是().

(A)講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分

(B)講座前的答卷得分分布較講座后分散

(C)講座后答卷得分的第80百分位數(shù)為95

(D)講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差

講座前講座后

505

5006

5007

080555

090055

IO00

(第14題圖)

45.(嘉定)有一筆資金，如果存銀行，那么收益預(yù)計為2萬.該筆資金也可以做房產(chǎn)投資或商業(yè)投資，投資和市

場密切相關(guān)，根據(jù)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)市場的向上、平穩(wěn)、下跌的概率分別為0.2、0.7、0.1.據(jù)此判斷房產(chǎn)投資的收益

X、和商業(yè)投資的收益X2的分布分別為

113-31(X274-2]

0.20.70.1JIkp0.20.70.1J

則從數(shù)學(xué)的角度來看，該筆資金如何處理較好()

A.存銀行；B.房產(chǎn)投資；C.商業(yè)投資；D.房產(chǎn)投資和商業(yè)投資均可.

46.（黃埔）從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）.

A.“恰好有一個白球”與“都是紅球”B.“至多有一個白球”與“都是紅球”

C.“至多有一個白球”與“都是白球”D.”至多有一個白球”與“至多有一個紅球”

47.（虹口）某同學(xué)上學(xué)路上有4個紅綠燈的路口，假設(shè)他走到每個路口遇到綠燈的概率為：，且在各個路口遇

到紅燈或綠燈互不影響，則該同學(xué)上學(xué)路上至少遇到2次綠燈的概率為（）

（ZOI（B）I（C）j（D）I

48.（奉賢）某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度X（單位：℃）的關(guān)系，在20個不同的

溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（x,,y,）（i=l,2,,20）得到下面的散點圖：

100%------------------------------------

?80%----------

救60%------------------------------------

級40%--------▲-------------------------

20%------------------------------------

0∣-------1--------1--------1--------1

0IO203040溫度汽：

由此散點圖，在10。C至40。C之間，下面四個回歸方程類型中最適合作為發(fā)芽率y和溫度X的回歸方程類型的是

（）

A.y=a-?-bx?B.y=a+bx2；

C.y=a-?-bex；D.y=a+b?nx.

49.（楊浦）對成對數(shù)據(jù)（公,%）、（巧，/）..（乙,%）用最小二乘法求回歸方程是為了使（）

A?∑(z->,)=θ

/=I

d?(y-y）最小

50.（崇明）設(shè)兩個正態(tài)分布N（必，/2）（5＞（））和N（〃2，/）（%＞（））的密度函數(shù)圖像如圖所示.則有

A.Mc

B.μt<μ2,σi>σ2

C.μλ>μ2,σ↑Vb2

σσ

D.Ai>μ2^??2

51.（青浦）某產(chǎn)品的廣告費X（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

廣告費X（萬元）2345

銷售額y（萬元）26394954

根據(jù)上表可得回歸方程曠=0》+8中3=9.4,據(jù)此模型可預(yù)測當(dāng)廣告費為6萬元時，銷售額約為（）.

（A）63.6萬元（B）65.5萬元（C）67.7萬元（D）72.O萬元

三、解答題

52.（長寧）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

盒子中有5個乒乓球，其中2個次品，3個正品.現(xiàn)從中不放回地隨機摸取2次小球，每次一個.

（1）記“第二次摸出的小球是正品”為事件3,求證：P（B）=I；

（2）用X表示摸出的2個小球中次品的個數(shù)，求X的分布和期望.

53.（長寧）（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

某地新能源汽車保有量符合阻滯型增長模型x（r）=,其中χ（f）為自統(tǒng)計之日起,經(jīng)過7年后該地新能源

汽車保有量，4和一為增長系數(shù)，M為飽和量.

下表是該地近6年年底的新能源汽車的保有量（萬輛）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份20182019202020212022

t01234

保有量X。）9.612.917.123.231.4

假設(shè)該地新能源汽車飽和量M=290萬輛.

（1）若r=0.31,假定2018年數(shù)據(jù)滿足公式M）=冬7,計算幾的值（精確到0.01）并估算2023年年底

該地新能源汽車保有量（精確到0.1萬輛）；

（2）設(shè)y=j-l,則Iny與f線性相關(guān)，請依據(jù)以上表格中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用線性回歸分析確定/1和r的值（精

Mf）

確到0.01）.

附：線性回歸方程y=辦+。中回歸系數(shù)計算公式如下:

54.（青浦）（本題滿分14分，第1小題2分，第2小題6分，第3小題6分）

在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了"停課不停學(xué)”活動，一個星期后，某校隨機抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高

二學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間（單位：h）的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，

每天學(xué)習(xí)時間不低于8小時有30人.

（1）求頻率分布直方圖中實數(shù)α,b的值;

（2）每天學(xué)習(xí)時間在［6.0,6.5）的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進行電話訪談，已知抽取

的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；

（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時間在［6.0,6.5）和［7.0,7.5）的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8

人中選3人進行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時間在［6Q6.5）的人數(shù)X的分布和數(shù)學(xué)期望.

55.（普陀）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

現(xiàn)有3個盒子，其中第一個盒子中裝有1個白球、4個黑球；第二個盒子裝有2個白球、3個黑球；第三個盒子

裝有3個白球、2個黑球.現(xiàn)任取一個盒子，從中任取3個球.

（1）求取到的白球數(shù)不少于2個的概率；

（2）設(shè)X為所取到的白球數(shù)，求取到的白球數(shù)的期望.

56.（浦東新區(qū)）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

為了慶祝黨的二十大順利召開，某學(xué)校特舉辦主題為“重溫光輝歷史展現(xiàn)堅定信心”的百科知識小測試比

賽.比賽分搶答和必答兩個環(huán)節(jié)，兩個環(huán)節(jié)均設(shè)置10道題，其中5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題.

（1）在搶答環(huán)節(jié)，某代表隊非常積極，搶到4次答題機會，求該代表隊至少搶到1道地理環(huán)境題的概率；

（2）在必答環(huán)節(jié)，每個班級從5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題各選2題，各題答對與否相互獨立，每個代表隊

可以先選擇人文歷史題，也可以先選擇地理環(huán)境題開始答題.若中間有一題答錯就退出必答環(huán)節(jié)，僅當(dāng)?shù)谝活悊栴}

中2題均答對，才有資格開始第二類問題答題.已知答對1道人文歷史題得2分，答對1道地理環(huán)境題得3分.假

設(shè)某代表隊答對人文歷史題的概率都是三3，答對地理環(huán)境題的概率都是1上?請你為該代表隊作出答題順序的選擇,

53

使其得分期望值更大，并說明理由.

57.（閔行）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在臨床檢測試驗中，某地用某種抗原來診斷試驗者是否患有某種疾病?設(shè)事件A表示試驗者的檢測結(jié)果為陽

性，事件B表示試驗者患有此疾病.據(jù)臨床統(tǒng)計顯示，P（A忸）=0.99,P（A∣B）=0.98.已知該地人群中患有此

種疾病的概率為0.001.（下列兩小題計算結(jié)果中的概率值精確到0.00001）

（1）對該地某人進行抗原檢測，求事件A與否同時發(fā)生的概率；

（2）對該地3個患有此疾病的患者進行抗原檢測，用隨機變量X表示檢測結(jié)果為陽性的人數(shù)，求X的分布和期

望.

58.（靜安）（本題滿分16分，本題共有2個問題，問題⑴滿分8分，問題⑵滿分8分）

概率統(tǒng)計在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中應(yīng)用廣泛.請解決下列兩個問題.

（1）隨著中小學(xué)“雙減”政策的深入人心，體育教學(xué)和各項體育鍛煉迎來時間充沛的春天.某初中學(xué)校學(xué)生籃球

隊從開學(xué)第二周開始每周進行訓(xùn)練，第一次訓(xùn)練前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球

（即至少用過一次的球）.每次訓(xùn)練，都是從中不放回任意取出2個籃球，訓(xùn)練結(jié)束后放回原處.設(shè)第一次訓(xùn)練時取

到的新球個數(shù)為求隨機變量J的分布和期望.

（2）由于手機用微波頻率信號傳遞信息，那么長時間使用手機是否會增加得腦瘤的概率？

研窕者針對這個問題，對腦瘤病人進行問卷調(diào)查，詢問他們是否總是習(xí)慣在固定的一側(cè)接聽電話?如果是，是哪邊？

結(jié)果有88人喜歡用固定的一側(cè)接電話.其中腦瘤部位在左側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有14人，習(xí)慣固定

在右側(cè)接聽電話的有28人；腦瘤部位在右側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有19人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話

的有27人.

根據(jù)上述信息寫出下面這張2X2列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對患腦瘤在左右側(cè)的部位是否與習(xí)慣在該側(cè)

接聽手機電話相關(guān)進行獨立性檢驗.（顯著性水平α=0.05）

習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話總計

腦瘤部位在左側(cè)的病ab42

人

腦瘤部位在右側(cè)的病cd46

人

總計a+cb+d88

n(ad-bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：χ2=,其中，n=a+b+c+d,P(χ2≥3.841)≈0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

59.（金山）（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

某網(wǎng)站計劃4月份訂購草莓在網(wǎng)絡(luò)銷售，每天的進貨量相同，成本價為每盒15元.假設(shè)當(dāng)天進貨能全部售完，決

定每晚七點前（含七點）售價為每盒20元，每晚七點后售價為每盒10元.根據(jù)銷售經(jīng)驗，每天的購買量與網(wǎng)站每

天的瀏覽量（單位：萬次）有關(guān).為確定草莓的進貨量，相關(guān)人員統(tǒng)計了前兩年4月份（共60天）網(wǎng)站每天的瀏

覽量（單位：萬次）、購買草莓的數(shù)量（單位：盒）以及達到該流量的天數(shù)，如下表所示：

每天的瀏覽量(0,1)[l,+∞)

每天的購買量600900

天數(shù)3624

以每天的瀏覽量位于各區(qū)間的頻率代替瀏覽量位于該區(qū)間的概率.

（1）求4月份草莓一天的購買量X（單位：盒）的分布；

（2）設(shè)4月份銷售草莓一天的利潤為丫（單位：元），一天的進貨量為〃（單位：盒），〃為正整數(shù)且〃∈[600,900],

當(dāng)〃為多少時，Y的期望達到最大值，并求此最大值.

60.（嘉定）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分.

李先生是一名上班族，為了比較上下班的通勤時間，記錄了20天個工作日內(nèi)，家里到單位的上班時間以及同路

線返程的下班時間（單位：分鐘），如下莖葉圖顯示兩類時間的共40個記錄：

上班時間下班時間

98873678889

654433222110400133334455

4221517

64

（1）求出這40個通勤記錄的中位數(shù)M,并完成下列2x2列聯(lián)表:

超過M不超過M

上班時間

下班時間

（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，請問上下班的通勤時間是否有顯著差異？并說明理由.

附：'=E罌篇萬4小≥3?84l"05

61.(黃埔)(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

將某工廠的工人按年齡分成兩組：“35周歲及以上”、“35周歲以下”，從每組中隨機抽取80人，將他們

的績效分數(shù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)」90,100],分別加以統(tǒng)計，得到下列頻率分布直方圖.該工

廠規(guī)定績效分數(shù)不少于80者為生產(chǎn)標(biāo)兵.

(1)請列出2x2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為是否為生產(chǎn)標(biāo)兵與工人所在的年齡組有關(guān)；

(2)若已知該工廠工人中生產(chǎn)標(biāo)兵的占比為30%,試估計該廠35周歲以下的工人所占的百分比以及生產(chǎn)標(biāo)兵

中35周歲以下的工人所占的百分比.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(?+d}

P(x2..k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

62.(虹口)(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

電解電容是常見的電子元件之一.檢測組在85℃的溫度條件下對電解電容進行質(zhì)量檢測，按檢測結(jié)果將其分為次

品、正品，其中正品分合格品、優(yōu)等品兩類.

(1)鋁箔是組成電解電容必不可少的材料.現(xiàn)檢測組在85℃的溫度條件下，對鋁箔質(zhì)量與電解電容質(zhì)量進行

測試，得到如下2X2列聯(lián)表，那么他們是否有99.9%的把握認為電解電容質(zhì)量與鋁箔質(zhì)量有關(guān)？請說明理由；

電解電容為次品電解電容為正品

鋁箔為次品17476

鋁箔為正品108142

(2)電解電容經(jīng)檢驗為正品后才能裝箱，已知兩箱電解電容(每箱50個)，第一箱和第二箱中分別有優(yōu)等品8件

與9件.現(xiàn)用戶從兩箱中隨機挑選出一箱，并從該箱中先后隨機抽取兩個元件，求在第一次取出的是優(yōu)等品的情況

下，第二次取出的是合格品的概率.

附錄：K2=----------Kad-bc)-------?,其中〃=a+/；+c+4.

(Q+b)(c+d)(a+c)(h+d)

P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

63.（寶山）（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）

下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（4≤x420,XeZ）（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本y（萬元）的四

組對照數(shù)據(jù).

X46810

y12202884

（1）試建立X與y的線性回歸方程；

（2）研究人員進一步統(tǒng)計歷年的銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在供銷平衡的條件下，市場銷售價格會波動變化.經(jīng)分析,每件產(chǎn)

品的銷售價格4（萬元）是一個與產(chǎn)量X相關(guān)的隨機變量，分布為

qIOO-X90-尤80-%

???

P

424

假設(shè)產(chǎn)品月利潤=月銷售量X銷售價格一成本.（其中月銷售量=生產(chǎn)量）

根據(jù)（1）進行計算，當(dāng)產(chǎn)量X為何值時，月利潤的期望值最大？最大值為多少？

f678910Λ∣

64.（楊浦）己知一個隨機變量X的分布為：ICCCc,

（0.1a0.20.3bJ

43

（1）已知E（X）=彳，求〃、6的值；

(2)記事件A：X為偶數(shù)；事件8：X≤8.己知尸(A)=g,求P(B),P(AC8),并判斷A、B是否相互獨

立？

65.(崇明)某校工會開展健步走活動,要求教職工上傳3月1日至3月7日的微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和

職工乙微信記步數(shù)情況:

步數(shù)15524步數(shù)12396

職工甲職工乙

(1)從3月2日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于IOooo的概率;

(2)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于IOOOO的天數(shù)為X,求X的分

布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)下圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方

圖.已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名(按照從大到小排序)分別為第68和第142,請指

出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖(不用說明理由).

θ510152025微信記步數(shù)(單位：千步)

專題09計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

一、填空題

1.（崇明）在（/+3H）的展開式中常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）

X

【答案】45

【詳解】（X4+,嚴的通項為

X

令40-5r=0,解得r=8,代入得常數(shù)項為

比?4^0=45.

2.（崇明）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績（單位：分），分數(shù)從低到高依次：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,則這15人成績的第80百分位數(shù)是.

【答案】90.5

【分析】計算15x80%=12,即可確定這15人成績的第80百分位數(shù)為第12和第13個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此可得答

案.

【詳解】因為解χ80%=12,

故這15人成績的第80百分位數(shù)為"二=90.5,

2

故答案為：90.5

3.（崇明）某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫.

氣溫（℃）141286

用電量（度）22263438

由表中數(shù)據(jù)所得回歸直線方程為y=-2x+。，據(jù)此預(yù)測當(dāng)氣溫為5C時，用電量的度數(shù)約為"C.

【答案】40

【分析】利用回歸直線經(jīng)過樣本點的中心，先算出5,然后令x=5代入回歸直線進行求解.

【詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，%=14+12+8+6=10>-=22+26+34+38=?θ,根據(jù)回歸直線性質(zhì)，

44

y=-2x+b經(jīng)過樣本點中心（乂>），即（10,30）,故—20+2=30，得B=50，故回歸直線為y=-2x+50,當(dāng)

x=5.J=40.

故答案為：40

4.（崇明）在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為30秒，那么，每次綠燈亮?xí)r，在一條直行道路上能有多少汽車

通過？這個問題涉及車長、車距、車速、堵塞的干擾等多種因素，不同型號車的車長是不同的，駕駛員的習(xí)慣不同

也會使車距、車速不同，行人和非機動車的干擾因素則復(fù)雜且不確定.面對這些不同和不確定，需要作出假設(shè).例

如小明發(fā)現(xiàn)雖然通過路口的車輛各種各樣，但多數(shù)是小轎車，因此小明給出如下假設(shè)：通過路口的車輛長度都相等，

請寫出一個你認為合理的假設(shè).

【答案】①等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等（或②綠燈亮后，汽車都是在靜止?fàn)顟B(tài)下勻加速啟動；或③前一

輛車啟動后，下一輛車啟動的延時時間相等；或④車輛行駛秩序良好，不會發(fā)生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要

寫出一個即可）

【分析】利用數(shù)學(xué)建模，根據(jù)題意這次建模就只考慮小轎車的情況，根據(jù)小轎車的長度差距不大，對相關(guān)因素進行

分析，從而可以作出有利于建立模型、基本符合實際情況的假設(shè)即可.

【詳解】根據(jù)題意可知和相關(guān)因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合實際情況的假設(shè)，例如①等待

時，前后相鄰兩輛車的車距都相等；

②綠燈亮后，汽車都是在靜止?fàn)顟B(tài)下勻加速啟動；

③前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延時時間相等；

④車輛行駛秩序良好，不會發(fā)生堵塞，等等；

故答案為：等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等（不唯一）.

5（楊浦）設(shè)（2x+l）S=%χ5+/X4++α∣X+%,則。3=

【答案】80

【分析】先寫出（2x+17的二項展開式的通項，再求出內(nèi)即可.

【詳解】（2x+l）S的二項展開式的通項：

7；M=Cj（2X廣=Tc（r=0,1,2,3,4,5）,

故ɑ,=23聶=8x10=80.

故答案為：80.

6.（楊浦）某中學(xué)舉辦思維競賽，現(xiàn)隨機抽取50名參賽學(xué)生的成績制作成頻率分布直方圖（如圖），估計學(xué)生的

【答案】107

【分析】利用直方圖求學(xué)生的平均成績即可.

【詳解】由直方圖知：平均成績?yōu)椋?5x0.03+105x0.04+115x0.015+125x0.01+135*0.005）x10=107分.

故答案為：107

7.（寶山）在［x+1）的展開式中，常數(shù)項為（結(jié)果用數(shù)字作答）

答案：160

8.（寶山）從裝有3個紅球和4個藍球的袋中，每次不放回地隨機摸出一球.記“第一次摸球時摸到紅球”為A,

“第二次摸球時摸到藍球”為8,則P?|A）=

2

答案：一

3

9.（寶山）如圖是某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖（圖中僅列出［50,60）,［90,100）的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖,

則x-y=

答案：0.∞4

10.（奉賢）（2x+l）5的二項展開式中f項的系數(shù)為.（用數(shù)值回答）

答案：40

11.（奉賢）某校高中三年級1600名學(xué)生參加了區(qū)第一次高考模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績量X服從正態(tài)分布

N（IOOQJ（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的：，則

此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為一人.

答案:200

12.（奉賢）設(shè)某種動物活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的該種動物，它活到25歲

的概率是.

答案：0.5

'123、

13.（奉賢）已知隨機變量X的分布為111,且y=oX+3,若研丫］=-2,則實數(shù).

536>

答案：-3

14.（虹口）某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是

278

323668

4O5

5248

（第6題圖）

答案：32.5

15.（虹口）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.一盤中放有10個外觀完全相同的粽子，其中豆沙粽3個，肉粽3

個，白米粽4個，現(xiàn)從盤子任意取出3個，則取到白米粽的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

答案:9

5

16.（黃埔）若每經(jīng)過一天某種物品的價格變?yōu)樵瓉淼?.02倍的概率為0.5,變?yōu)樵瓉淼?.98倍的概率也為0.5,則

經(jīng)過6天該物品的價格較原來價格增加的概率為.

答案：—

32

17.（嘉定）已知NeN,若晨=琛，則〃=.

答案：3

18.（嘉定）己知某產(chǎn)品的一類部件由供應(yīng)商A和8提供，占比分別為■1和士2,供應(yīng)商A提供的該部件的良品率為

33

0.96.若該部件的總體良品率為0.92,則供應(yīng)商B提供的該部件的良品率為.

答案：0.9

19.（金山）在（2+x）5的二項展開式中，/項的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

答案：10

20.（金山）擲一顆骰子，令事件A={l,2,3},B={l,2,5,6},則尸（A∣8）=（結(jié)果用數(shù)值表示）.

答案：一

2

21.（靜安）某運動生理學(xué)家在一項健身活動中選擇了10名男性參與者，以他們的皮下脂肪厚度來估計身體的脂肪

含量，其中脂肪含量以占體重（單位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和體重的數(shù)據(jù)如下:

個體編號體重X(kg)脂肪含量y（%）

18928

28827

36624

45923

59329

67325

78229

87725

910030

106723

建立男性體重與脂肪含量的回歸方程為：.（結(jié)果中回歸系數(shù)保留三位小數(shù)）

答案:y=0.186x+11.571

22.（靜安）今年是農(nóng)歷癸卯兔年,一種以兔子形象命名的牛奶糖深受顧客歡迎.標(biāo)識質(zhì)量為50Og的這種袋裝奶糖

的質(zhì)量指標(biāo)X是服從正態(tài)分布N（500,2.52）的隨機變量.若質(zhì)量指標(biāo)介于495g（含）至505g（含）之間的產(chǎn)品

包裝為合格包裝，則隨意買一包這種袋裝奶糖，是合格包裝的可能性大小為_______%.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（已知①（1）≈0.8413,Φ（2）≈0.9772,Φ（3）≈0.9987.①（X）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)從一8到X的累計面積）

答案：95.4或95.5都對

23.（閔行）已知常數(shù)機＞0,（x+'）6的二項展開式中/項的系數(shù)是60,則〃?的值為.

X

答案：2；

24.（閔行）已知事件A與事件B互斥，如果P（A）=O.3,P（B）=0.5,那么P（AlB）=.

答案：0.2

25.（閔行）今年春季流感爆發(fā)期間，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和4名護士分配到兩所學(xué)校，給學(xué)校老師和學(xué)生接種

流感疫苗.若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護士，則不同的分配方法數(shù)為.

答案：12；

26.（浦東新區(qū)）（x+3）5的二項展開式中一項的系數(shù)為.

答案:270

27.（浦東新區(qū)）設(shè)隨機變量X服