《5.1任意角和弧度制》考點講解、同步練習與培優(yōu)

《5.1任意角和弧度制》考點講解與同步練習【思維導圖】【常見考點】考點一基本概念的辨析【例1】下列說法正確的個數(shù)是（）①小于的角是銳角；②鈍角一定大于第一象限角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始邊與終邊重合的角為.A．0 B．1 C．2 D．3【一隅三反】1．下列說法正確的是（）A．終邊相同的角一定相等 B．鈍角一定是第二象限角C．第四象限角一定是負角 D．小于的角都是銳角2．下列命題中正確的是（）．A．終邊與始邊重合的角是零角 B．90°～180°間的角不一定是鈍角C．終邊和始邊都相同的兩個角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角3．下列說法正確的是（）A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角終邊可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．終邊在軸正半軸上的角是零角考點二角度與弧度的轉(zhuǎn)換【例2】把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù)，度數(shù)化為弧度數(shù).（1）；（2）；（3）1125°；（4）-225°.【一隅三反】1．把下列角度化成弧度：（1）；（2）；（3）；（4）.2．___________弧度,弧度=________.3．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是（）A．化成弧度是 B．化成度是C．化成弧度是 D．化成度是考點三終邊相同【例3】（1）把－1480°寫成的形式，其中；（2）在內(nèi)找出與角終邊相同的角.【一隅三反】1．已知角.（1）將角改寫成(，)的形式，并指出角是第幾象限的角；（2）在區(qū)間上找出與角終邊相同的角.2．把下列各角度化為弧度,并寫成的角加上的形式.(1);(2);(3)3．用弧度制寫出角的終邊在下圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合.（1）（2）考點四象限的判斷【例4】已知下列各角：①②③④，其中第二象限角的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【一隅三反】1．角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若是第二象限角，則是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.（1）－150°；（2）650°；（3）－950°15′.考點五扇形【例5】已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大?【一隅三反】1．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學巨著，其中《方田》章給出了計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢2），弧田（如圖陰影部分所示）是由圓弧和弦圍成，公式中的“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，矢為4的弧田，按照上述方法計算出其面積是（）A． B． C． D．2．一個半徑是的扇形，其周長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．1 B．3 C． D．3．在扇形中，半徑等于r.（1）若弦的長等于半徑，求扇形的弧長l；（2）若弦的長等于半徑的倍，求扇形的面積S5.1任意角和弧度制答案解析考點一基本概念的辨析【例1】下列說法正確的個數(shù)是（）①小于的角是銳角；②鈍角一定大于第一象限角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始邊與終邊重合的角為.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對①，小于的角不是銳角，如不是銳角，故①錯；對②，角是第一象限的角，大于任何鈍角，故②錯；對③，第二象限角中的角小于第一象限角中的角，故③錯；對④，始邊與終邊重合的角的度數(shù)是，故④錯．故選：A．【一隅三反】1．下列說法正確的是（）A．終邊相同的角一定相等 B．鈍角一定是第二象限角C．第四象限角一定是負角 D．小于的角都是銳角【答案】B【解析】終邊相同的角不一定相等，所以該選項錯誤；鈍角一定是第二象限角，所以該選項正確；第四象限角不一定是負角，如是第四象限的角，但是不是負角，所以該選項錯誤；小于的角不都是銳角，如.所以該選項錯誤.故選B2．下列命題中正確的是（）．A．終邊與始邊重合的角是零角 B．90°～180°間的角不一定是鈍角C．終邊和始邊都相同的兩個角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角【答案】B【解析】終邊與始邊重合的角還有360°角，720°角等，故A錯誤；90°～180°間的角包括90°角，故90°～180°間的角不一定是鈍角，故B正確；終邊和始邊都相同的兩個角相差，故C錯誤；120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D錯誤．故選：B3．下列說法正確的是（）A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角終邊可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．終邊在軸正半軸上的角是零角【答案】B【解析】A選項，第一象限角，而是第二象限角，∴該選項錯誤；B選項，與終邊相等，但它們不相等，∴該選項正確；C選項，若是第二象限角，則，∴是第三象限角或第四象限角或終邊在軸負半軸上的軸線角，∴該選項錯誤；D選項，角的終邊在軸正半軸上，但不是零角，∴該選項錯誤.故選：.考點二角度與弧度的轉(zhuǎn)換【例2】把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù)，度數(shù)化為弧度數(shù).（1）；（2）；（3）1125°；（4）-225°.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】根據(jù)弧度制與角度制的互化公式，，可得：（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．把下列角度化成弧度：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．2．___________弧度,弧度=________.【答案】【解析】,,故答案為：；3．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是（）A．化成弧度是 B．化成度是C．化成弧度是 D．化成度是【答案】C【解析】化成弧度是，A正確化成度是，B正確；是，C錯誤；化成度是，D正確.故選：C.考點三終邊相同【例3】（1）把－1480°寫成的形式，其中；（2）在內(nèi)找出與角終邊相同的角.【答案】（1）；（2）72°，432°.【解析】（1）∵，而，且，∴.∴.（2）∵，∴終邊與角相同的角為，當時，；當時，.∴在內(nèi)與角終邊相同的角為72°，432°.【一隅三反】1．已知角.（1）將角改寫成(，)的形式，并指出角是第幾象限的角；（2）在區(qū)間上找出與角終邊相同的角.【答案】（1），是第三象限角；（2）．【解析】（1），是第三象限角，∴是第三象限角．（2）由得，因為，∴，對應(yīng)角依次為．2．把下列各角度化為弧度,并寫成的角加上的形式.(1);(2);(3)【答案】(1);(2);(3).【解析】(1);(2);(3).3．用弧度制寫出角的終邊在下圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合.（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1），，用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為.（2），，用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為.考點四象限的判斷【例4】已知下列各角：①②③④，其中第二象限角的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】D【解析】①表示由軸非負半軸繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，落在第三象限；②表示由軸非負半軸繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，落在第二象限；③表示由軸非負半軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，落在軸非正半軸；④表示由軸非負半軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，且，的終邊和的終邊相同，所以落在第二象限.故選：D【一隅三反】1．角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因為，角是第一象限角，所以角的終邊所在的象限是第一象限．故選A.2．若是第二象限角，則是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【解析】為第二象限角，不妨取，則為第一象限角，故選A．3．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.（1）－150°；（2）650°；（3）－950°15′.【答案】（1），第三象限的角；（2），第四象限的角；（3），第二象限的角；【解析】（1），是第三象限的角，是第三象限的角；（2），是第四象限的角，是第四象限的角；（3），是第二象限的角，是第二象限的角．考點五扇形【例5】已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大?【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設(shè)扇形的弧長為l，弓形面積為S，則，，，.（2）設(shè)扇形弧長為l，則，即，∴扇形面積，∴當時，S有最大值，此時，.因此當時，這個扇形面積最大.1.設(shè)扇形的半徑為1.設(shè)扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積當周長C為定值時可得面積當面積為定值時可得周長.【一隅三反】1．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學巨著，其中《方田》章給出了計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢2），弧田（如圖陰影部分所示）是由圓弧和弦圍成，公式中的“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，矢為4的弧田，按照上述方法計算出其面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)半徑為,圓心到弦的距離為,則,所以弦長為,弧田面積為.故選:D.2．一個半徑是的扇形，其周長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】設(shè)扇形的弧長為，則，得，則扇形圓心角的弧度數(shù)為.故選：A.3．在扇形中，半徑等于r.（1）若弦的長等于半徑，求扇形的弧長l；（2）若弦的長等于半徑的倍，求扇形的面積S【答案】（1）；（2）【解析】（1）如圖所示：設(shè)，若弦的長等于半徑，則所以扇形的弧長（2）如圖所示：若弦的長等于半徑的倍，則，因為，所以，所以，所以扇形的面積為.《5.1任意角和弧度制》同步練習【題組一基本概念的辨析】1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，則A∩B＝()A．{α|α為銳角} B．{α|α小于90°}C．{α|α為第一象限角} D．以上都不對2．下列命題中正確的是（）．A．第一象限角一定不是負角 B．小于90°的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限角 D．終邊和始邊都相同的角一定相等3．下列結(jié)論中正確的是()A．小于90°的角是銳角 B．第二象限的角是鈍角C．相等的角終邊一定相同 D．終邊相同的角一定相等4．（1）給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角.其中正確說法的序號為________.(把正確說法的序號都寫上)（2）將時鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________.5．給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角．其中正確說法的序號為________．(把正確說法的序號都寫上)6．下列命題正確的是____________(填序號).①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③終邊相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角.【題組二角度與弧度轉(zhuǎn)換】1．化為弧度是（）A． B． C． D．2．把化為角度是()A．270° B．280° C．288° D．318°3．化為弧度是（）A． B． C． D．4．轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．5．將300o化為弧度為（）A． B． C． D．6．（）A．70° B．75° C．80° D．85°7．將下列角度與弧度進行互化.（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.【題組三終邊相同】1．與405°角終邊相同的角是（）．A． B．C． D．2．在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是（）A． B． C． D．3．下列各個角中與2020°終邊相同的是()A． B．680° C．220° D．320°4．在0°~360°范圍內(nèi)，與-1050°的角終邊相同的角是（）A．30° B．150° C．210° D．330°5．與角終邊相同的角為（）A．B．C．D．6．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)7．已知角是第一象限角，則的終邊位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或軸的非負半軸上8．已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么________.【題組四象限的判斷】1．下列各角中，與2019°終邊相同的角為（）A．41° B．129° C．219° D．﹣231°2．下列各角中，與終邊相同的角為（）A． B． C． D．3．設(shè)是第一象限角，且，則是第（）象限角A．一 B．二 C．三 D．四4．角弧度，則所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若θ＝－5，則角θ的終邊在（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限6．若是第四象限角,則角的終邊在()A．第一象限 B．第一或第三象限 C．第四象限 D．第二或第四象限7．試求出終邊在如圖所示陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．8．用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：（1）（2）【題組五扇形】1．已知某扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的面積為（）A． B． C． D．2．一個扇形的圓心角為150°，面積為，則該扇形半徑為（）A．4 B．1 C． D．23．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．4．已知扇形的圓心角為，周長為，則扇形的面積為（）A． B． C． D．5．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．6．如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長為6，求弓形ACB的面積．【題組六生活中實際】1．將時鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________．2．已知α＝30°，將其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為________.3．寫出下列說法所表示的角.（1）順時針擰螺絲2圈；（2）將時鐘撥慢2小時30分，分針轉(zhuǎn)過的角．4．在一晝夜中，鐘表的時針和分針有幾次重合？幾次形成直角？時針、分針和秒針何時重合？請寫出理由．5.1任意角和弧度制答案解析【題組一基本概念的辨析】1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，則A∩B＝()A．{α|α為銳角} B．{α|α小于90°}C．{α|α為第一象限角} D．以上都不對【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，對于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正確，比如﹣30°；對于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正確，例如﹣300°；對于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正確，例如380°，故選D．2．下列命題中正確的是（）．A．第一象限角一定不是負角 B．小于90°的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限角 D．終邊和始邊都相同的角一定相等【答案】C【解析】為第一象限角且為負角，故A錯誤；，但不是銳角，故B錯誤；終邊與始邊均相同的角不一定相等，它們可以相差，故D錯誤．鈍角一定是第二象限角，C正確．故選：C．3．下列結(jié)論中正確的是()A．小于90°的角是銳角 B．第二象限的角是鈍角C．相等的角終邊一定相同 D．終邊相同的角一定相等【答案】C【解析】對于A，小于可能是負角，不是銳角；對于B，第二象限的角可能是負角，不是鈍角；對于C，兩個角相等，始邊一致，則終邊一定相同；對于D，終邊相同的角，可能相差360°的倍數(shù)，不一定相等.故選C.4．（1）給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角.其中正確說法的序號為________.(把正確說法的序號都寫上)（2）將時鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________.【答案】②【解析】（1）①銳角的范圍為是第一象限的角，命題①正確；②第一象限角的范圍為，故第一象限角可以為負角，故②錯誤；③根據(jù)任意角的概念，可知小于180°的角，可以為負角，故③錯誤；故答案為：②（2）將時針撥快20分鐘，則分針順時針轉(zhuǎn)過，即轉(zhuǎn)過的度數(shù)為故答案為：5．給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角．其中正確說法的序號為________．(把正確說法的序號都寫上)【答案】①【解析】銳角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①對；由任意角的概念知，第一象限角也可為負角，小于180°的角還有負角、零角，所以②③錯誤．故答案為：①6．下列命題正確的是____________(填序號).①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③終邊相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角.【答案】④【解析】①是第四象限的角度，故①錯誤；②750°的終邊與的終邊相同，故其為第一象限的角度，故②錯誤；③終邊相同的角度不一定相等，故③錯誤；④－950°12′與－950°12′′的終邊相同，其為第二象限的角，故④正確.故答案為：④.【題組二角度與弧度轉(zhuǎn)換】1．化為弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】2．把化為角度是()A．270° B．280° C．288° D．318°【答案】C【解析】因為，故.故選：C.3．化為弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】化為弧度是.故選：B4．轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以故選：D5．將300o化為弧度為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選：B．6．（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【解析】因為，故.故選：B.7．將下列角度與弧度進行互化.（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.【答案】（1）20°＝；（2）－15°＝－；（3）＝105°；（4）－＝－396°.【解析】（1）20°＝＝.（2）－15°＝－＝－.（3）＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.【題組三終邊相同】1．與405°角終邊相同的角是（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，故與405°終邊相同的角應(yīng)為．故選：C2．在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為,則在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是,故選：B.3．下列各個角中與2020°終邊相同的是()A． B．680° C．220° D．320°【答案】C【解析】由題,,故選:C4．在0°~360°范圍內(nèi)，與-1050°的角終邊相同的角是（）A．30° B．150° C．210° D．330°【答案】A【解析】因為所以在0°~360°范圍內(nèi)，與-1050°的角終邊相同的角是故選：A5．與角終邊相同的角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】與角終邊相同的角可寫成令，則故選：C6．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)【答案】C【解析】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C7．已知角是第一象限角，則的終邊位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或軸的非負半軸上【答案】D【解析】∵由角是第一象限角,∴可得,∴.即的終邊位于第一或第二象限或軸的非負半軸上.故選:D.8．已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么________.【答案】.【解析】在范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角滿足：或滿足題意的角為：，，本題正確結(jié)果：【題組四象限的判斷】1．下列各角中，與2019°終邊相同的角為（）A．41° B．129° C．219° D．﹣231°【答案】C【解析】因為，所以與2019°終邊相同.故選：C.2．下列各角中，與終邊相同的角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】與終邊相同的角的集合是，當時，.故選：C3．設(shè)是第一象限角，且，則是第（）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】∵是第一象限角，∴，，∴，，∴為第一象限角或第二象限角或終邊在軸正半軸上的軸線角，∵，∴，∴是第二象限角.故選：.4．角弧度，則所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】角弧度，，∴α在第三象限，故選:C.5．若θ＝－5，則角θ的終邊在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D(zhuǎn)．第一象限【答案】D【解析】2π－5與－5的終邊相同，∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，則－5也是第一象限角.故選：D6．若是第四象限角,則角的終邊在()A．第一象限 B．第一或第三象限 C．第四象限 D．第二或第四象限【答案】D【解析】取,則,在第四象限;取,則,在第二象限.故選：D.7．試求出終邊在如圖所示陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．【答案】．【解析】因為，所以的終邊與的終邊相同，則終邊在題圖所示陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為．8．用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為（2）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為=【題組五扇形】1．已知某扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，某扇形的半徑為，圓心角為，根據(jù)扇形的面積公式，可得所以此扇形的面積為.故選：B.2．一個扇形的圓心角為150°，面積為，則該扇形半徑為（）A．4 B．1 C． D．2【答案】D【解析】圓心角為，設(shè)扇形的半徑為，，解得.故選：D3．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)此扇形半徑為r，扇形弧長為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A4．已知扇形的圓心角為，周長為，則扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該扇形的半徑為，弧長為，則，且，所以有，所以，該扇形的面積為.故選：B.5．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故選:A6．如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長為6，求弓形ACB的面積．【答案】【解析】∵120°＝π＝π，∴l(xiāng)＝6×π＝4π，∴的長為4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如圖所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面積為12π－9.【題組六生活中實際】1．將時鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________．【答案】－120°【解析】將時針撥快20分鐘，則分針順時針轉(zhuǎn)過，即轉(zhuǎn)過的度數(shù)為故答案為：2．已知α＝30°，將其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為________.【答案】1110°【解析】一個角為，其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角的度數(shù)為：．故答案為：．3．寫出下列說法所表示的角.（1）順時針擰螺絲2圈；（2）將時鐘撥慢2小時30分，分針轉(zhuǎn)過的角．【答案】（1）－720°；（2）900°.【解析】（1）順時針擰螺絲2圈，即旋轉(zhuǎn)了，順時針旋轉(zhuǎn)得到的角為負角，故轉(zhuǎn)過的角是；（2）撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，時針撥慢2小時30分，是2.5周角，角度數(shù)是；又分針是逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過的角是．4．在一晝夜中，鐘表的時針和分針有幾次重合？幾次形成直角？時針、分針和秒針何時重合？請寫出理由．【答案】答案見解析.【解析】時針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，秒針每分鐘走360°，（1）一晝夜有（分鐘），時針和分針每重合一次間隔的時間為分鐘，所以一晝夜時針和分針重合（次）．（2）假設(shè)時針不動，分針轉(zhuǎn)一圈與時針兩次形成直角，但一晝夜時針轉(zhuǎn)了兩圈，則少了4次垂直，于是時針和分針一共有（次）形成直角．（3）秒針與分針每重合一次間隔的時間為分鐘，由和的“最小公倍數(shù)”為720，而720分鐘=12小時，所以一晝夜只有0:00與12:00這兩個時刻“三針”重合．《5.1任意角和弧度制》培優(yōu)同步練習一、單選題1．化為弧度是（）A． B． C． D．2．下列各角中，與2019°終邊相同的角為（）A．41° B．129° C．219° D．﹣231°3．若α是第四象限角，則180°＋α一定是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．一個扇形的圓心角為150°，面積為，則該扇形半徑為（）A．4 B．1 C． D．25．在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是（）A． B． C． D．6．已知扇形的周長為12cm，圓心角為，則此扇形的面積為（）．A．8cm2 B．10cm2 C．12cm2 D．14cm27．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，則A∩B＝()A．{α|α為銳角} B．{α|α小于90°}C．{α|α為第一象限角} D．以上都不對8．已知半徑為1的扇形面積為，則扇形的圓心角為（）A． B． C． D．9.已知某扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的面積為（）A． B． C． D．10．將一條閉合曲線放在兩條平行線之間，無論這條閉合曲線如何運動，只要它與兩平行線中的一條直線只有一個交點，就必與另一條直線也只有一個交點，則稱此閉合曲線為等寬曲線，這兩條平行直線間的距離叫等寬曲線的寬比．如圓所示就是等寬曲線．其寬就是圓的直徑．如圖所示是分別以、、為圓心畫的三段圓弧組成的閉合曲線（又稱萊洛三角形），下列關(guān)于曲線的描述中，正確的有（）（1）曲線不是等寬曲線；（2）曲線是等寬曲線且寬為線段的長；（3）曲線是等寬曲線且寬為弧的長；（4）在曲線和圓的寬相等，則它們的周長相等；（5）若曲線和圓的寬相等，則它們的面積相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、多選題11.下列四個選項正確的有（）A．角是第四象限角 B．角是第三象限角C．角是第二象限角 D．是第一象限角12．下列與角的終邊相同的角是（）A． B． C． D．13．下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（）A． B．C． D．E.14．設(shè)是第三象限角，則所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限三、填空題15．已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么________.16．已知扇形的面積為4，圓心角為2弧度，則該扇形的弧長為．17．一個面積為1的扇形，所對弧長也為1，則該扇形的圓心角是________弧度四、雙空題18．_________弧度；弧度=________.19．（1）給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角.其中正確說法的序號為________.(把正確說法的序號都寫上)（2）將時鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________.20．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是__________，弧田的面積是__________．21．已知扇形的周長為40，當它的圓心角為____時，扇形的面積最大，最大面積為____.五、解答題22．（寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．23.寫出終邊在直線上的角的集合.24.已知為第二象限角，則是第幾象限角？25．已知如圖．（1）寫出終邊落在射線、上的角的集合；（2）寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合．26．已知扇形AOB的圓心角α為，半徑長R為6，求：（1）弧AB的長；（2）扇形所含弓形的面積.27．已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大?5.1任意角和弧度制答案解析一、單選題1．化為弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】2．下列各角中，與2019°終邊相同的角為（）A．41° B．129° C．219° D．﹣231°【答案】C【解析】因為，所以與2019°終邊相同.故選：C.3．若α是第四象限角，則180°＋α一定是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故選B.4．一個扇形的圓心角為150°，面積為，則該扇形半徑為（）A．4 B．1 C． D．2【答案】D【解析】圓心角為，設(shè)扇形的半徑為，，解得.故選：D5．在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為,則在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是,故選：B.6．已知扇形的周長為12cm，圓心角為，則此扇形的面積為（）．A．8cm2 B．10cm2 C．12cm2 D．14cm2【答案】A【解析】設(shè)扇形的半徑為cm，∵扇形的周長為12cm，圓心角為，∴，得，∴此扇形的面積（cm2），故選：A．7．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，則A∩B＝()A．{α|α為銳角} B．{α|α小于90°}C．{α|α為第一象限角} D．以上都不對【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，對于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正確，比如﹣30°；對于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正確，例如﹣300°；對于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正確，例如380°，故選D．8．已知半徑為1的扇形面積為，則扇形的圓心角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，所以，故選：C.9.已知某扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，某扇形的半徑為，圓心角為，根據(jù)扇形的面積公式，可得所以此扇形的面積為.故選：B.10．將一條閉合曲線放在兩條平行線之間，無論這條閉合曲線如何運動，只要它與兩平行線中的一條直線只有一個交點，就必與另一條直線也只有一個交點，則稱此閉合曲線為等寬曲線，這兩條平行直線間的距離叫等寬曲線的寬比．如圓所示就是等寬曲線．其寬就是圓的直徑．如圖所示是分別以、、為圓心畫的三段圓弧組成的閉合曲線（又稱萊洛三角形），下列關(guān)于曲線的描述中，正確的有（）（1）曲線不是等寬曲線；（2）曲線是等寬曲線且寬為線段的長；（3）曲線是等寬曲線且寬為弧的長；（4）在曲線和圓的寬相等，則它們的周長相等；（5）若曲線和圓的寬相等，則它們的面積相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】若曲線和圓的寬相等，設(shè)曲線的寬為，則圓的半徑為，（1）根據(jù)定義，可以得曲線是等寬曲線，錯誤；（2）曲線是等寬曲線且寬為線段的長，正確；（3）根據(jù)（2）得（3）錯誤；（4）曲線的周長為，圓的周長為，故它們的周長相等，正確；（5）正三角形的邊長為1，則三角形對應(yīng)的扇形面積為，正三角形的面積，則一個弓形面積，則整個區(qū)域的面積為，而圓的面積為，不相等，故錯誤；綜上，正確的有2個，故選：B.二、多選題11.下列四個選項正確的有（）A．角是第四象限角 B．角是第三象限角C．角是第二象限角 D．是第一象限角【答案】ABCD【解析】對于如圖1所示，角是第四象限角；對于如圖2所示，角是第三象限角；對于如圖3所示，角是第二象限角；對于如圖4所示，角是第一象限角.故選：.12．下列與角的終邊相同的角是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因為，所以與角的終邊相同角為，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，綜上，選項A、C、D正確.故選：ACD.13．下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（）A． B．C． D．E.【答案】BE【解析】假設(shè)、為內(nèi)的角，如圖所示，因為、的終邊關(guān)于軸對稱，所以，所以B滿足條件；結(jié)合終邊相同的角的概念，可得，所以E滿足條件，ACD都不滿足條件．故選：BE.14．設(shè)是第三象限角，則所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【解析】是第三象限角，，，則，，令，有，；在二象限；，，有，；在四象限；故選：B．三、填空題15．已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么________.【答案】.【解析】在范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角滿足：或滿足題意的角為：，，本題正確結(jié)果：16．已知扇形的面積為4，圓心角為2弧度，則該扇形的弧長為．【答案】4【解析】設(shè)扇形半徑為，弧長為，則，解得．17．一個面積為1的扇形，所對弧長也為1，則該扇形的圓心角是________弧度【答案】【解析】設(shè)扇形的所在圓的半徑為，圓心角為，因為扇形的面積為1，弧長也為1，可得，即，解得.故答案為：四、雙空題18．_________弧度；弧度=________.【答案】80°【解析】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，可得，.故答案為：，.19．（1）給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角.其中正確說法的序號為________.(把正確說法的序號都寫上)（2）將時鐘撥快20分鐘