《1.1集合的概念》考點(diǎn)講解、同步練習(xí)與培優(yōu)

《1.1集合的概念》考點(diǎn)講解與同步練習(xí)【思維導(dǎo)圖】【常見考點(diǎn)】考點(diǎn)一集合的判斷【例1】下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）.A．本校學(xué)習(xí)好的學(xué)生 B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù) D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【一隅三反】1．下列各組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）A．充分接近的實(shí)數(shù)的全體 B．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)比較好的同學(xué)C．小于20的所有自然數(shù) D．未來世界的高科技產(chǎn)品2．下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A．高一年級(jí)全體較胖的學(xué)生B．比較接近1的全體正數(shù)C．全體很大的自然數(shù)D．平面內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)【例2】由實(shí)數(shù)所組成的集合中，含有元素的個(gè)數(shù)最多為（）A．2 B．3 C．4 D．5【一隅三反】1．已知x，y均不為0，即的所有可能取值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．5 C．6 D．無數(shù)個(gè)3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為（）A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3考法二集合的表示方法【例2】用合適的方法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集.（1）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合（2）滿足不等式的的集合（3）全體偶數(shù)（4）被5除余1的數(shù)（5）20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（6）（7）方程的解集【一隅三反】1．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）一年中有31天的月份的全體；（2）大于小于12.8的整數(shù)的全體；（3）梯形的全體構(gòu)成的集合；（4）所有能被3整除的數(shù)的集合；（5）方程的解組成的集合；（6）不等式的解集.2．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程組的解集；（2）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點(diǎn)組成的集合；（4）二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合；（5）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合.考法三集合中元素的意義【例3】試說明下列集合各表示什么？；；；；.【一隅三反】1．集合是指（）A．第二象限內(nèi)的所有點(diǎn) B．第四象限內(nèi)的所有點(diǎn)C．第二象限和第四象限內(nèi)的所有點(diǎn) D．不在第一、第三象限內(nèi)的所有點(diǎn)2．下列各組中的M、P表示同一集合的是()①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④考法四元素與集合的關(guān)系【例4】用符號(hào)“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【一隅三反】1．用符號(hào)“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.2．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．3．已知集合，則與集合的關(guān)系是（）.A． B． C． D．考法五求參數(shù)【例5】若，則a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【一隅三反】1．若集合中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為________．3．已知集合.（1）若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.集合的概念答案解析考點(diǎn)一集合的判斷【例1】下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）.A．本校學(xué)習(xí)好的學(xué)生 B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù) D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【答案】D【解析】集合中的元素具有確定性，對(duì)于，學(xué)習(xí)好、非常近、很小都是模糊的概念，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合確定性；對(duì)于，符合集合的定義，正確.故選：.本例題主要考查的是元素的確定性，即集合的中元素要有客觀的標(biāo)準(zhǔn)可以衡量，不能用主觀去衡量，例如“好”、“小”“近”等詞沒有統(tǒng)一的客觀標(biāo)準(zhǔn)衡量。本例題主要考查的是元素的確定性，即集合的中元素要有客觀的標(biāo)準(zhǔn)可以衡量，不能用主觀去衡量，例如“好”、“小”“近”等詞沒有統(tǒng)一的客觀標(biāo)準(zhǔn)衡量?！疽挥缛础?．下列各組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）A．充分接近的實(shí)數(shù)的全體 B．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)比較好的同學(xué)C．小于20的所有自然數(shù) D．未來世界的高科技產(chǎn)品【答案】C【解析】選項(xiàng)A、B、D中集合的元素均不滿足確定性，只有C中的元素是確定的，滿足集合的定義，故選：C.2．下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A．高一年級(jí)全體較胖的學(xué)生B．比較接近1的全體正數(shù)C．全體很大的自然數(shù)D．平面內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)【答案】D【解析】因?yàn)锳中“較胖”、B中“接近”、C中“很大”均沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合.D中元素能夠成集合.故選：D【例2】由實(shí)數(shù)所組成的集合中，含有元素的個(gè)數(shù)最多為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵，，故當(dāng)時(shí)，這幾個(gè)實(shí)數(shù)均為0；當(dāng)時(shí)，它們分別是；當(dāng)時(shí)，它們分別是.最多表示2個(gè)不同的數(shù)，故集合中的元素最多為2個(gè).故選：A本例題主要考查的是元素互異性，即一個(gè)集合中每個(gè)元素不能一樣或重復(fù)本例題主要考查的是元素互異性，即一個(gè)集合中每個(gè)元素不能一樣或重復(fù)【一隅三反】1．已知x，y均不為0，即的所有可能取值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)x，y同號(hào)時(shí)，原式的值是0；當(dāng)x為正、y為負(fù)時(shí)，原式的值是2；當(dāng)x為負(fù)、y為正時(shí)，原式的值是.綜上所述，的所有可能取值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C2．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．5 C．6 D．無數(shù)個(gè)【答案】C【解析】由題得，所以A中元素的個(gè)數(shù)為6.故選C3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3【答案】B【解析】因?yàn)?∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.當(dāng)m＝3時(shí)，M＝{1，5，13}；當(dāng)m＝1時(shí)，M＝{1，3，5}；當(dāng)m＝－1時(shí)，不滿足互異性．所以m的值為3或1.考法二集合的表示方法【例2】用合適的方法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集.（1）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合（2）滿足不等式的的集合（3）全體偶數(shù)（4）被5除余1的數(shù)（5）20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（6）（7）方程的解集【答案】（1）集合點(diǎn)，無限集；（2）集合，無限集；（3）集合，無限集；（4）集合，無限集；（5）集合，有限集；（6）集合，有限集；（7）集合，有限集.【解析】（1）因?yàn)榈紸、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)滿足，所以集合點(diǎn)，無限集.（2）由題意可知，集合，無限集.（3）因?yàn)榕紨?shù)能被整除，所以集合，無限集.（4）由題意可知，集合，無限集.（5）因?yàn)?0以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有，，，，，，，.所以集合，有限集.（6）因?yàn)椋苑匠痰慕鉃?，，，，，所以集合，有限?（7）由題意可知，集合，有限集.本例題主要考查集合的表示方法，列舉法一般適用于有限集合且元素個(gè)數(shù)少；描述法一般適用于有限集合但元素個(gè)數(shù)多或者無限集合本例題主要考查集合的表示方法，列舉法一般適用于有限集合且元素個(gè)數(shù)少；描述法一般適用于有限集合但元素個(gè)數(shù)多或者無限集合【一隅三反】1．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）一年中有31天的月份的全體；（2）大于小于12.8的整數(shù)的全體；（3）梯形的全體構(gòu)成的集合；（4）所有能被3整除的數(shù)的集合；（5）方程的解組成的集合；（6）不等式的解集.【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）；（3）是梯形；（4）；（5）；（6）.【解析】（1）一年中有31天的月份的全體用列舉法表示為{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）大于小于12.8的整數(shù)的全體用列舉法表示為；（3）梯形的全體構(gòu)成的集合用描述法表示為是梯形；（4）所有能被3整除的數(shù)的集合用描述法表示為；（5）方程的解組成的集合用列舉法表示為；（6）不等式的解集用描述法表示為.2．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程組的解集；（2）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點(diǎn)組成的集合；（4）二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合；（5）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合.【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）.【解析】（1）解方程組得故解集可用描述法表示為，也可用列舉法表示為.（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1，因此可用列舉法表示為，也可用描述法表示為.（3）集合的代表元素是點(diǎn)，可用描述法表示為且.（4）二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合中，代表元素為有序?qū)崝?shù)對(duì)，其中x，y滿足，則可用描述法表示為.（5）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合中，代表元素y是實(shí)數(shù)，故可用描述法表示為.考法三集合中元素的意義【例3】試說明下列集合各表示什么？；；；；.【答案】答案見解析【解析】表示的取值集合，由知：，；表示的取值集合，由知：或，或；的代表元素為，表示反比例函數(shù)上的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集；的代表元素為，由知：，表示直線上除了以外的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集；表示以方程“”和“”為元素的一個(gè)二元集.表示以方程“”和“”為元素的一個(gè)二元集.本例題考查的是集合中的元素的意義，元素的意義可能是數(shù)集、點(diǎn)集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。本例題考查的是集合中的元素的意義，元素的意義可能是數(shù)集、點(diǎn)集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端?！疽挥缛础?．集合是指（）A．第二象限內(nèi)的所有點(diǎn) B．第四象限內(nèi)的所有點(diǎn)C．第二象限和第四象限內(nèi)的所有點(diǎn) D．不在第一、第三象限內(nèi)的所有點(diǎn)【答案】D【解析】因?yàn)?，故或，故集合是指第二、四象限中的點(diǎn)，以及在軸上的點(diǎn)，即不在第一、第三象限內(nèi)的所有點(diǎn).故選：D2．下列各組中的M、P表示同一集合的是()①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】對(duì)于①，兩個(gè)集合研究的對(duì)象不相同，故不是同一個(gè)集合.對(duì)于②，兩個(gè)集合中元素對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不相同，故不是同一個(gè)集合.對(duì)于③，兩個(gè)集合表示同一集合.對(duì)于④，集合研究對(duì)象是函數(shù)值，集合研究對(duì)象是點(diǎn)的坐標(biāo)，故不是同一個(gè)集合.由此可知本小題選C.考法四元素與集合的關(guān)系【例4】用符號(hào)“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【答案】【解析】(1)N為自然數(shù)集，2是自然數(shù)，所以；(2)Q表示有理數(shù)，為無理數(shù)，所以；(3)Z為整數(shù)集，是分?jǐn)?shù)，所以；(4)R表示實(shí)數(shù)集，所以；(5)N為自然數(shù)集，-3不是自然數(shù)，所以；(6)Q表示有理數(shù)，是有理數(shù)，所以.本例題考查元素與集合的關(guān)系，即，開口朝向集合背靠元素本例題考查元素與集合的關(guān)系，即，開口朝向集合背靠元素【一隅三反】1．用符號(hào)“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.【答案】【解析】是自然數(shù)，則；不是自然數(shù)，則；不是整數(shù)，則；是有理數(shù)，則；是無理數(shù)，則故答案為：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)2．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，所以選項(xiàng)B正確，A,，所以選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤.故選：B3．已知集合，則與集合的關(guān)系是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴，故有，∴.故選：B.考法五求參數(shù)【例5】若，則a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，集合為不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，集合為，滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去.故選：.本例題根據(jù)題意求參數(shù)時(shí)，求完參數(shù)記得檢驗(yàn)元素之間的互異性?。?！本例題根據(jù)題意求參數(shù)時(shí)，求完參數(shù)記得檢驗(yàn)元素之間的互異性?。。　疽挥缛础?．若集合中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】或【解析】因?yàn)榧现兄炼嘤幸粋€(gè)元素所以方程至多有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)解得，滿足題意當(dāng)時(shí)，，解得綜上：或2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】或0【解析】若則或當(dāng)時(shí)，，符合元素的互異性；當(dāng)時(shí)，，不符合元素的互異性，舍去若則或當(dāng)時(shí)，，符合元素的互異性；當(dāng)時(shí)，，不符合元素的互異性，舍去；故答案為：或0.3．已知集合.（1）若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）且；（2）或.【解析】（1）由于中有兩個(gè)元素，∴關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴，且，即，且.故實(shí)數(shù)的取值范圍是且.（2）當(dāng)時(shí)，方程為，，集合；當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則中只有一個(gè)元素，此時(shí)，若關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，則中沒有元素，此時(shí).綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.《1.1集合的概念》同步練習(xí)【題組一集合的判斷】1．下列說法中正確的是()A．聯(lián)合國(guó)所有常任理事國(guó)組成一個(gè)集合B．衡水中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個(gè)集合C．{1，2，3}與{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5組成的集合有六個(gè)元素2．下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（）A．充分接近π的實(shí)數(shù)的全體 B．善良的人C．世界著名的科學(xué)家 D．某單位所有身高在1.7m以上的人3．下列關(guān)于集合的命題正確的有（）①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合②集合{y|y=2x2+1}與集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一個(gè)集合;③1，2，|-|，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素④空集是任何集合的子集A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．已知非零實(shí)數(shù)，，，則代數(shù)式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【題組二集合的表示方法】1．方程組的解構(gòu)成的集合是（）A． B． C． D．2．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．集合用列舉法表示是（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}4．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程組的解集；（2）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點(diǎn)組成的集合；（4）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合.【題組三集合中元素的意義】1．下列命題中正確的有（）①很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；②集合與集合是同一個(gè)集合；③集合是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．下列與集合表示同一個(gè)集合的有（）A．B．C．D． E.3．下列集合是否有區(qū)別？（1）；（2）；（3）（4）；（5）或【題組四集合與元素的關(guān)系】1．已知集合，則有（）.A．且 B．但 C．但 D．且2.已知集合，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．3．設(shè)不等式的解集為，下列正確的是（）A． B．C． D．4．已知集合，集合，選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且5．已知集合，用列舉法表示為____________.【題組五求參數(shù)】1．已知集合，若，則______.2．含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成又可表示成，_____.3．當(dāng)集合時(shí)，_______,______,_______.4．已知集合，若，則________.5．已知集合，若A中至少有一個(gè)元素，則a的取值范圍是____；6．若，則集合中所有元素之和為______.7．已知,,求實(shí)數(shù)的值.8．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，則x2017+y2018=______．9．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一個(gè)元素，試求a的值，并求出這個(gè)元素；（2）若A是空集，求a的取值范圍；（3）若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．10．設(shè)A為實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1)．求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素；(2)集合A不可能是單元素集．1.1集合的概念答案解析【題組一集合的判斷】1．下列說法中正確的是()A．聯(lián)合國(guó)所有常任理事國(guó)組成一個(gè)集合B．衡水中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個(gè)集合C．{1，2，3}與{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5組成的集合有六個(gè)元素【答案】A【解析】年齡較小不確定,所以B錯(cuò);{1，2，3}與{2，1，3}是相同的集合;由1，0，5，1，2，5組成的集合有4個(gè)元素,因此選A.2．下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（）A．充分接近π的實(shí)數(shù)的全體 B．善良的人C．世界著名的科學(xué)家 D．某單位所有身高在1.7m以上的人【答案】D【解析】選項(xiàng)，，所描述的對(duì)象沒有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu)成一個(gè)集合，選項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)唯一，故能組成集合．故選：D．3．下列關(guān)于集合的命題正確的有（）①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合②集合{y|y=2x2+1}與集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一個(gè)集合;③1，2，|-|，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素④空集是任何集合的子集A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合是錯(cuò)誤的，不滿足元素確定性，故錯(cuò)誤②集合為，需要求出函數(shù)的值域，而表示的集合為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，所以不是同一集合，故錯(cuò)誤③l，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有3個(gè)元素，而不是5個(gè)元素，故錯(cuò)誤④空集是任何集合的子集正確綜上只有1個(gè)命題正確，故選4．已知非零實(shí)數(shù)，，，則代數(shù)式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)都為正數(shù)時(shí)，；當(dāng)都為負(fù)數(shù)時(shí)，.因此，若都為正數(shù)，則；若兩正一負(fù)，則；若一正兩負(fù)，則；若都為負(fù)數(shù)，則.所以代數(shù)式表示的所有的值的集合是.故選：D.【題組二集合的表示方法】1．方程組的解構(gòu)成的集合是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵∴∴方程組的解構(gòu)成的集合是{（1，1）}故選：C．2．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：D.3．集合用列舉法表示是（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D【解析】由題意，又，∴集合為．4．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程組的解集；（2）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點(diǎn)組成的集合；（4）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合.【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）.【解析】（1）解方程組得故解集可用列舉法表示為.（2）方程的實(shí)數(shù)根為1，因此可用列舉法表示為.（3）集合的代表元素是點(diǎn)，可用描述法表示為且.（4）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合中，代表元素為y，故可用描述法表示為.【題組三集合中元素的意義】1．下列命題中正確的有（）①很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；②集合與集合是同一個(gè)集合；③集合是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】對(duì)于①，集合具有確定性，故①錯(cuò)；對(duì)于②，集合相等必須元素的類型相同，而前者為數(shù)，后者為點(diǎn)的集合，故②錯(cuò)；對(duì)于③，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限，故③錯(cuò)；故選A2．下列與集合表示同一個(gè)集合的有（）A．B．C．D． E.【答案】AC【解析】由得即,所以根據(jù)集合的表示方法知A,C與集合M表示的是同一個(gè)集合故選：AC3．下列集合是否有區(qū)別？（1）；（2）；（3）（4）；（5）或【答案】有區(qū)別【解析】由題意可知：（1），表示大于或等于的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；（2），表示大于或等于的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；（3），表示曲線上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合；（4），表示點(diǎn)構(gòu)成的集合；（5）或，表示直線或直線上的點(diǎn)所構(gòu)成的集合.綜上所述，以上5個(gè)集合有區(qū)別.【題組四集合與元素的關(guān)系】1．已知集合，則有（）.A．且 B．但 C．但 D．且【答案】B【解析】由，即集合A，則，.故選：B2.已知集合，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榧?，所以，，，故選：D3．設(shè)不等式的解集為，下列正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解不等式：，可得：，所以，顯然，故選：B.4．（已知集合，集合，選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【解析】因?yàn)?，所以；又，所以，故C正確.故選：C5．已知集合，用列舉法表示為____________.【答案】【解析】由，得，.故答案為:.【題組五求參數(shù)】1．已知集合，若，則______.【答案】2【解析】依題意或，解得或；由集合中元素的互異性可知當(dāng)時(shí)，集合的兩個(gè)元素相等，不合題意；所以.故答案為：2.2．含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成又可表示成，______.【答案】1【解析】由題意可知，兩個(gè)集合相等，，由所以只能是，即，所以，由集合互異性可知，則，解得，符合題意，所以，故答案為：1.3．當(dāng)集合時(shí)，_______,______,_______.【答案】【解析】由于兩個(gè)集合相等，所以兩個(gè)集合的元素完全一樣，左邊集合有元素0，所以右邊集合也有元素0，且只能c=0,其余元素要一樣，所以a=1,,填．4．已知集合，若，則________.【答案】0【解析】若兩個(gè)集合相等,則兩個(gè)集合中的元素完全相同.,又,故答案為0.5．已知集合，若A中至少有一個(gè)元素，則a的取值范圍是______；【答案】【解析】若中至少有一個(gè)元素，則方程至少有一個(gè)解．當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)為，即，滿足條件．當(dāng)，判別式，解得且．綜上所述，的取值范圍為，即故答案為：6．若，則集合中所有元素之和為______.【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，?此時(shí)即為，所以元素之和為2.故答案為：27．已知,,求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】因?yàn)?，所以有或，顯然，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，解得，由上可知不符合集合元素的互異性，舍去，故.8．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，則x2017+y2018=______．【答案】-1【解析】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，∴，解得x=-1，y=0，

則x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．故答案為：-1．9．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一個(gè)元素，試求a的值，并求出這個(gè)元素；（2）若A是空集，求a的取值范圍；（3）若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）或【解析】（1）若A中只有一個(gè)元素，則方程ax2+2x+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)a=0時(shí)，方程為一元一次方程，滿足條件，此時(shí)x=-，當(dāng)a≠0，此時(shí)△=4-4a=0，解得：a=1，此時(shí)x=-1，（2）若A是空集，則方程ax2+2x+1=0無解，此時(shí)△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一個(gè)元素，則A為空集，或有且只有一個(gè)元素，由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是：a=0或a≥1.10．設(shè)A為實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1)．求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素；(2)集合A不可能是單元素集．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】(1)若a∈A，則∈A.又∵2∈A，∴＝－1∈A.∵－1∈A，∴＝∈A.∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外兩個(gè)元素為－1，.(2)若A為單元素集，則a＝，即a2－a＋1＝0，方程無解．∴a≠，∴集合A不可能是單元素集．《1.1集合及其表示方法》培優(yōu)同步練習(xí)一、單選題1．下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）.A．本校學(xué)習(xí)好的學(xué)生 B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù) D．倒數(shù)等于本身的數(shù)2.集合用列舉法表示是A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}3.已知集合，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．4．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．設(shè)集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．46．已知集合，則與集合的關(guān)系是（）.A． B． C． D．7．下面四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是（）.①集合中最小的數(shù)是1；②若，則；③若，則的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．38．有下列四個(gè)命題：①是空集；②若，則；③集合有兩個(gè)元素；④集合是有限集.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．39.已知非零實(shí)數(shù)，，，則代數(shù)式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．10．若，則a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1二、多選題11．下列表示正確的是（）A． B． C． D． E.12．（多選）下面四個(gè)說法中錯(cuò)誤的是（）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是B．由1，2，3組成的集合可表示為或C．方程的所有解組成的集合是D．0與表示同一個(gè)集合13．下列是集合中元素的有（）A． B． C． D． E.14.實(shí)數(shù)1是下面哪一個(gè)集合中的元素（）A．整數(shù)集Z B． C．D． E.三、填空題15．已知集合，用列舉法表示為____________.16．已知集合，若，則______.17．用符號(hào)“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.18．用符號(hào)“”或“”填空：（1）0______；（2）_______；（3）_______；（4）2017_______.19.用列舉法表示集合是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整數(shù)組成的集合”是_____________________．20．由實(shí)數(shù)，，，，所組成的集合中最多含______個(gè)元素，最少含______個(gè)元素.21．（1）若，則實(shí)數(shù)_____；（2）若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.四、解答題22．用列舉法表示下列集合:(1);(2);(3).23．試說明下列集合各表示什么？；；；；.24．用合適的方法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集.（1）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合（2）滿足不等式的的集合（3）全體偶數(shù)（4）被5除余1的數(shù)（5）20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（6）（7）方程的解集25已知,,求實(shí)數(shù)的值.26．當(dāng)實(shí)數(shù)、滿足什么條件時(shí)，集合是有限集、無限集、空集？27．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.(1)若A是單元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍．1.1集合及其表示方法答案解析一、單選題1．下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）.A．本校學(xué)習(xí)好的學(xué)生 B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù) D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【答案】D【解析】集合中的元素具有確定性，對(duì)于，學(xué)習(xí)好、非常近、很小都是模糊的概念，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合確定性；對(duì)于，符合集合的定義，正確.故選：.2.集合用列舉法表示是A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D【解析】分析：解出不等式得，小于5的自然數(shù)有5個(gè)．詳解：由題意，又，∴集合為．3.已知集合，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榧希?，，，故選：D4．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：D.5．設(shè)集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)閤∈B，－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，又1－x?A，則當(dāng)0∈B時(shí)，1－0＝1∈A，不符合題意；當(dāng)－1∈B時(shí)，1－(－1)＝2∈A，不符合題意；當(dāng)－2∈B時(shí)，1－(－2)＝3∈A，不符合題意；當(dāng)－3∈B時(shí)，1－(－3)＝4?A，符合題意.所以，故集合B中元素的個(gè)數(shù)為1.故選：A6．已知集合，則與集合的關(guān)系是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴，故有，∴.故選：B.7．下面四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是（）.①集合中最小的數(shù)是1；②若，則；③若，則的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1，故①正確；當(dāng)時(shí)，，但，故②錯(cuò)誤；若，則a的最小值為1.又，則b的最小值為1，當(dāng)a和b都取最小值時(shí)，取最小值2，故③正確；由集合中元素的互異性知④錯(cuò)誤.故選：C8．有下列四個(gè)命題：①是空集；②若，則；③集合有兩個(gè)元素；④集合是有限集.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①{0}中有一個(gè)元素0，不是空集，不正確；②中當(dāng)時(shí)不成立，不正確；③中有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此集合只有一個(gè)元素，不正確；④中集合是有限集，正確，故選：B9.已知非零實(shí)數(shù)，，，則代數(shù)式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)都為正數(shù)時(shí)，；當(dāng)都為負(fù)數(shù)時(shí)，.因此，若都為正數(shù)，則；若兩正一負(fù)，則；若一正兩負(fù)，則；若都為負(fù)數(shù)，則.所以代數(shù)式表示的所有的值的集合是.故選：D.10．若，則a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，集合為不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，集合為，滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去.故選：.二、多選題11．下列表示正確的是（）A． B． C． D． E.【答案】ADE【解析】對(duì)于A,0是自然數(shù),則,故A正確；對(duì)于B,不是整數(shù),則,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,是整數(shù),則,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,是無理數(shù),則,故D正確；對(duì)于E,是有理數(shù),則,故E正確故選：ADE12．（多選）下面四個(gè)說法中錯(cuò)誤的是（）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是B．由1，2，3組成的集合可表示為或C．方程的所有解組成的集合是D．0與表示同一個(gè)集合【答案】CD【解析】10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是，故A正確；由集合中元素的無序性知和表示同一集合，故B正確；方程的所有解組成的集合是，故C錯(cuò)誤；由集合的表示方法知0不是集合，故D錯(cuò)誤.故選CD.13．下列是集合中元素的有（）A． B． C． D． E.【答案】ABC【解析】∵,∴或或,∴故選：ABC14.實(shí)數(shù)1是下面哪一個(gè)集合中的元素（）A．整數(shù)集Z B． C．D． E.【答案】ABD【解析】1是整數(shù)，因此實(shí)數(shù)1是整數(shù)集Z中的元素，故A選項(xiàng)正確；由得或，因此實(shí)數(shù)1是集合中的元素，故B選項(xiàng)正確；1不滿足，因此實(shí)數(shù)1不是集合中的元素，故C選項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，因此實(shí)數(shù)1是集合中的元素，故D選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，無意義，因此實(shí)數(shù)1不是集合中的元素，故E選項(xiàng)不正確.故選：ABD.三、填空題15．已知集合，用列舉法表示為____________.【答案】【解析】由，得，.故答案為:.16．已知集合，若，則______.【答案】2【解析】依題意或，解得或；由集合中元素的互異性可知當(dāng)時(shí)，集合的兩個(gè)元素相等，不合題意；所以.故答案為：2.17．用符號(hào)“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【答案】【解析】【分析】N為自然數(shù)集，Q為有理數(shù)，Z為整數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，判斷元素與集合之間的關(guān)系用相應(yīng)的符號(hào)填寫即可.【詳解】(1)N為自然數(shù)集，2是自然數(shù)，所以；(2)Q表示有理數(shù)，為無理數(shù)，所以；(3)Z為整數(shù)集，是分?jǐn)?shù)，所以；(4)R表示實(shí)數(shù)集，所以；(5)N為自然數(shù)集，-3不是自然數(shù)，所以；(6)Q表示有理數(shù)，是有理數(shù)，所以.18．用符號(hào)“”或“”填空：（1）0______；（2）_______；（3）_______；（4）2017_______.【答案】【解析】(1)為不含有任何元素的集合，所以；(2)，；(3)(4)因?yàn)?017不能被表示為的形式，所以；19.用列舉法表示集合是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整數(shù)組成的集合”是_____________________．【答案】【解析】分析：由，且，則取值只能為，求出對(duì)應(yīng)的可得集合中的各元素，被4除余1的整數(shù)可表示為（）形式．詳解：由題意，所有被4除余1的整數(shù)組成的集合為．