《專題14三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用》重難點突破與專題訓(xùn)練

《專題14三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用》重難點突破一、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖二、學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，2正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）3和角與差角公式;;.=(由點的象限決定,).4二倍角公式及降冪公式..5三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.三角函數(shù)的圖像：三、重難點題型突破重難點題型突破1和差公式的化簡及求值例1．（1）（）A． B． C． D．（2）．（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1-1】、（1）．（）A． B． C． D．（2）．已知，，那么（）A． B． C． D．例2．已知，則（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2-1】、已知，，則（）A． B． C． D．重難點題型突破2二倍角公式與半角公式的順用與逆用例3．已知，則（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-1】、已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-2】、已知終邊與單位圓的交點，且，則的值等于（）A． B． C．3 D．重難點題型突破3輔助角公式的應(yīng)用例4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練4-1】、已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；【變式訓(xùn)練4-2】、已知函數(shù)，且，.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.重難點題型突破4五點法作圖例5．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練5-1】、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位得到B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的D．函數(shù)圖象的對稱中心為例6．已知函數(shù)（1）用五點作圖在下面坐標系中做出上述函數(shù)在的圖象．（請先列表，再描點，圖中每個小矩形的寬度為（2）請描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)y＝sinx怎樣變換而來？【變式訓(xùn)練6-1】、已知函數(shù)f(x)＝(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在所給坐標系中畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的圖象(只作圖不寫過程)．重難點題型突破5三角函數(shù)的實際應(yīng)用例7．電流強度隨時間變化的關(guān)系式是，則當時，電流強度為（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A【變式訓(xùn)練7-1】、設(shè)是某港口水的深度（米）關(guān)于時間（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至?xí)r記錄的時間與水深的關(guān)系：時03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（）A．B．C．D．課堂定時訓(xùn)練（45分鐘）1．已知，則的值為（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．23．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）．A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或85．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．6．如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則8時的溫度大約為________（精確到）．7．如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù).（1）求的值；（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.8、已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值和最大值及相應(yīng)自變量x的集合；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）畫出函數(shù)區(qū)間內(nèi)的圖象．9．已知，，且，求的值10．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)方程在上恰有5個實數(shù)解，求的取值范圍.《專題14三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用》重難點突破答案解析一、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖二、學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，2正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）3和角與差角公式;;.=(由點的象限決定,).4二倍角公式及降冪公式..5三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.三角函數(shù)的圖像：三、重難點題型突破重難點題型突破1和差公式的化簡及求值例1．（1）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由誘導(dǎo)公式，所以選擇A（2）．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.【變式訓(xùn)練1-1】、（1）．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B（2）．已知，，那么（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，故選:C例2．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選A。【變式訓(xùn)練2-1】、已知，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，，又，所以，，，故選C。重難點題型突破2二倍角公式與半角公式的順用與逆用例3．已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，∴，∴?！咀兪接?xùn)練3-1】、已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因為是銳角，所以有?！咀兪接?xùn)練3-2】、已知終邊與單位圓的交點，且，則的值等于（）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】為第二象限角，且，原式=。重難點題型突破3輔助角公式的應(yīng)用例4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)cos（2x）﹣cos2xsin2x﹣cos2x＝2sin（2x），令2kπ≤2x2kπ，k∈Z；解得kπ≤xkπ，k∈Z；所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ,kπ]，k∈Z．故選A?！咀兪接?xùn)練4-1】、已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；【答案】（1）【解析】（1），由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【變式訓(xùn)練4-2】、已知函數(shù)，且，.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，，所以，解得，..（2）因為，所以，所以，則.的圖象的對稱軸是.①當時，，，則，解得，符合題意；②當時，，，則，解得，符合題意；③當時，，，則，不等式組無解，綜上，的取值范圍是。重難點題型突破4五點法作圖例5．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，，令，得.，故選C?！咀兪接?xùn)練5-1】、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位得到B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的D．函數(shù)圖象的對稱中心為【答案】D【解析】由圖象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且，∴，∴f（x）＝2sin（ωx），∵f（）＝0且為單調(diào)遞減時的零點，∴，k∈Z，∴，k∈Z，由圖象知，∴ω，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），∵函數(shù)f（x）的圖象可由y＝Asinωx的圖象向左平移個單位得，∴A錯，令2x，k∈Z，對稱軸為x，則B錯，令2x,則x，則C錯，令2xkπ，k∈Z，則x＝，則D對，故選D。例6．已知函數(shù)（1）用五點作圖在下面坐標系中做出上述函數(shù)在的圖象．（請先列表，再描點，圖中每個小矩形的寬度為（2）請描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)y＝sinx怎樣變換而來？【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）由題意，因為x∈，所以，列表如下：0π2π030﹣30描點、連線，得出所要求作的圖象如下：（2）把的圖象向右平移個單位，可得的圖象；再把所得圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，可得的圖象；再把所得圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標不變，可得的圖象；【變式訓(xùn)練6-1】、已知函數(shù)f(x)＝(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在所給坐標系中畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的圖象(只作圖不寫過程)．【答案】（1）π.，（2）見解析【解析】(1)T＝＝π.令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，則2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z.(2)列表：2x＋ππ2ππxf(x)＝sin0－0描點連線得圖象如圖：重難點題型突破5三角函數(shù)的實際應(yīng)用例7．電流強度隨時間變化的關(guān)系式是，則當時，電流強度為（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A【答案】B【解析】當時，.故選：.【變式訓(xùn)練7-1】、設(shè)是某港口水的深度（米）關(guān)于時間（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至?xí)r記錄的時間與水深的關(guān)系：時03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在給定的四個選項中，我們不妨代入及，容易看出最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是選項A，故選A.課堂定時訓(xùn)練（45分鐘）1．已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選D。2．已知，則（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】∵，∴，故選A。3．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因為終邊上有一點，所以，，故選B。4．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或8【答案】B【解析】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對稱，又，所以或，所以的值是7或3，故選B。5．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，所以，故選C。6．如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則8時的溫度大約為________（精確到）．【答案】13【解析】由圖像可得，，，∴，．∵最低點坐標為，∴，得，于是，∴，取，∴．當時，．故答案為：137．如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù).（1）求的值；（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.【答案】（1）；（2）這段時間水深的最大值是.【解析】（1）圖知：，因為，所以，解得：.（2）.所以，這段時間水深的最大值是.8、已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值和最大值及相應(yīng)自變量x的集合；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）畫出函數(shù)區(qū)間內(nèi)的圖象．【答案】（1）最大值為，取得最大值時相應(yīng)x的集合為；最小值為，取得最小值時相應(yīng)x的集合為；（2），；（3）圖象見解析．【解析】（1）的最大值為，當，即時，等號成立，∴取得最大值時相應(yīng)x的集合為的最小值為，當，即時，等號成立，∴取得最大值時相應(yīng)x的集合為（2）由求得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，（3）列表：圖像如圖所示：9．已知，，且，求的值【答案】【解析】，，，，，，、，，又，，，又，.10．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)方程在上恰有5個實數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）.令，解得.故的單調(diào)增區(qū)間為：（2），根據(jù)（1）中所求，即為，該方程在上恰有5個實數(shù)解，故，令，則，即方程有個實數(shù)解.故只需，解得.故方程在上恰有5個實數(shù)解，則.《專題14三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用》專題訓(xùn)練【基礎(chǔ)鞏固】1．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．2．已知，，則等于（）．A． B． C． D．3．如圖所示為一質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列判斷中正確的是（）A．該質(zhì)點的振動周期為B．該質(zhì)點的振幅為C．該質(zhì)點在和時振動速度最大D．該質(zhì)點在和時的振動速度為04．已知為坐標原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．5．已知函數(shù)（），若函數(shù)的圖象與直線在上有3個不同的交點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．已知，那么______.7．若，則____.8．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+π4）（1）用“五點法”作出f（x）在x∈（2）寫出f（x）的對稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求f（x）的最大值以及取得最大值時x的集合．

【能力提升】9．（多選題）如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線C．該函數(shù)的解析式是D．這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天E.該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27℃10．若，則（）A． B． C． D．11．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．12．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱；③若在上恰有7個零點，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．413．已知某海濱浴場海浪的高度y（米）是時間t的（0≤t≤24，單位：小時）函數(shù)，記作y=f（t），下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t（h）03691215182124y（m）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y=f（t）的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt＋b的圖象．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；（2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8時到晚上20時之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？14．已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.(1)求sin2β的值;(2)求cos的值.15．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當時，求的值域.《專題14三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用》專題訓(xùn)練答案解析【基礎(chǔ)鞏固】1．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，，因為銳角，所以，，即，故選C。2．已知，，則等于（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，又，所以，結(jié)合解得，所以，故選B。3．如圖所示為一質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列判斷中正確的是（）A．該質(zhì)點的振動周期為B．該質(zhì)點的振幅為C．該質(zhì)點在和時振動速度最大D．該質(zhì)點在和時的振動速度為0【答案】B【解析】由圖象可知周期是，A錯，振幅為，B正確；曲線上各點處的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)值）才是相應(yīng)的速度，質(zhì)點在和時振動速度為0，C錯，質(zhì)點在和時的振動速度不為0，D錯．故選：B．4．已知為坐標原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以，故選C。5．已知函數(shù)（），若函數(shù)的圖象與直線在上有3個不同的交點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，的圖象與直線在上有3個不同交點，即方程在上有3個實根，由得，所以，解得.故選C。6．已知，那么______.【答案】【解析】∵，∴，，∴，故答案為。7．若，則____.【答案】【解析】因為，所以，所以.8．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+π4）（1）用“五點法”作出f（x）在x∈[（2）寫出f（x）的對稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求f（x）的最大值以及取得最大值時x的集合．【解析】（1）對于函數(shù)f（x）＝sin（2x+π4）+1，在x∈[-π8，7π2x+0ππ32x-π357f（x）12101作圖：（2）令2x+π4=kπ+π2，求得x=kπ2+π8，可令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，求得kπ-3π8≤x≤kπ+π8，可得函數(shù)的增區(qū)間為（3）令2x+π4=2kπ+π2，求得x＝kπ+π8，可得函數(shù)f（x）的最大值為2，此時，x＝k【能力提升】9．（多選題）如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線C．該函數(shù)的解析式是D．這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天E.該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27℃【答案】ABE【解析】由題意以及函數(shù)的圖象可知，，，∴，.∵，∴，A正確；∵，∴，∴，∵圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴可以取，∴，B正確，C錯；這一天的函效關(guān)系式只適用于當天，第二天這個關(guān)系式不一定適用，∴D錯；當時，，故E正確.綜上，ABE正確.故選：ABE10．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，由題意可得，因此，.故選C。11．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，，，，，。12．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱；③若在上恰有7個零點，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為，所以周期.對于①，因為，所以，即，故①錯誤；對于②，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于軸對稱，則，解得，故對任意整數(shù)，，所以②錯誤；對于③，令，可得，則，因為，所以在上第1個零點，且，所以第7個零點，若存在第8個零點，則，所以，即，解得，故③正確；對于④，因為，且，所以，解得，又，所以，故④正確，故選B。13．已知某海濱浴場海浪的高度y（米）是