《4.1.1 n次方根與分數(shù)指數(shù)冪》教學設計、導學案、同步練習

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)《4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪》教學設計【教材分析】本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1第四章第4.1節(jié)《n次方根與分數(shù)指數(shù)冪》第１課時。從內容上看它是我們初中學過的乘方運算、開平方和開立方運算的延伸，本節(jié)以此為出發(fā)點，引出了開n次方根的概念，并將指數(shù)由整數(shù)推廣到了分數(shù)。體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，同時本節(jié)課在整章中占有基礎地位，為指數(shù)函數(shù)的學習奠定基礎?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)1.理解并掌握根式的概念、分數(shù)指數(shù)冪的概念；2.理解根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質；3.培養(yǎng)勇于探索的精神，體會由特殊到一般的研究方法，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。a.數(shù)學抽象：根式的概念；b.邏輯推理：根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；c.數(shù)學運算：根式的化簡；d.直觀想象：指數(shù)冪的運算法則；e.數(shù)學建模：將指數(shù)冪的運算性質推廣到有理數(shù)的范圍；【教學重難點】重點：根式的概念、分數(shù)指數(shù)冪的概念；難點：根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質；【教學過程】教學過程教學設計意圖（一）、溫故知新1．思考辨析(1)實數(shù)a的奇次方根只有一個．()(2)當n∈N*時，(eq\r(n,－2))n＝－2.()(3)eq\r(π－42)＝π－4.()[答案](1)√(2)×(3)×2.eq\r(4,16)的運算結果是()A．2B．－2C±2D．±eq\r(2)A[eq\r(4,16)＝eq\r(4,24)＝2.]3．m是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是()Aeq\r(4,m2)B.eq\r(5,m)Ceq\r(6,m)D.eq\r(5,－m)C[當m<0時，eq\r(6,m)沒有意義，其余各式均有意義．]4．若x3＝－5，則x＝________.－eq\r(3,5)[若x3＝－5，則x＝eq\r(3,－5)＝－eq\r(3,5).]（二）、探索新知探究1n次方根的概念問題例1(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．(2)已知x6＝2016，則x＝________.(3)若eq\r(4,x＋3)有意義，求實數(shù)x的取值范圍為________.(1)3；±2(2)±eq\r(6,2016)(3)[－3，＋∞]解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.(2)因為x6＝2016，所以x＝±eq\r(6,2016).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意義，則需要x＋3≥0，即x≥－3.所以實數(shù)x的取值范圍是[－3，＋∞)．[規(guī)律方法]n次方根的個數(shù)及符號的確定1.n的奇偶性決定了n次方根的個數(shù)；2.n為奇數(shù)時，a的正負決定著n次方根的符號.跟蹤訓練1．已知a∈R，n∈N*，給出下列4個式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中無意義的有()A．1個B．2個C3個D．0個A[①中(－3)2n>0，所以eq\r(6,－32n)有意義，②中根指數(shù)為5有意義，③中(－5)2n＋1<0，因此無意義，④中根指數(shù)為9，有意義．選A.]探究2利用根式的性質化簡求值例2化簡下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24)；[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2.,－x－2，x<－2.))跟蹤訓練2．若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范圍．[解]∵eq\r(9a2－6a＋1)＝eq\r(3a－12)＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq\f(1,3).探究3根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化(1)觀察以下式子,并總結出規(guī)律:(a>0)結論:當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時,根式可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式.2)利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?；；總結:當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時,根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.(3)你能用方根的意義解釋(2)的式子嗎?43的5次方根是75的3次方根是a2的3次方根是結果表明:方根的結果與分數(shù)指數(shù)冪是相通的，綜上,我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義；1.正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義：2.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：3.規(guī)定0的正分數(shù)指數(shù)冪為0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.1．思考辨析(1)0的任何指數(shù)冪都等于0.()(2)5＝eq\r(53).()(3)分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉化，如eq\r(4,a2)＝a.()答案](1)×(2)×(3)×跟蹤訓練1.用根式表示下列各式:(a＞0)，，，2.用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：；；；[規(guī)律方法]根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計算時，通常會把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質解題．通過溫故知新，幫助學生在學習了開平方和開立方概念的基礎上，正確理解根式的概念，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。合作探究：探究1.仿照開立方和開平方，提出開n次方根的概念。發(fā)展學生數(shù)學推理能力；探究2.通過根式的化簡，培養(yǎng)學生分類思想，發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。通過特殊問題的分析，讓學生觀察分析，歸納根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化。感受由特殊到一般的思想方法，發(fā)展邏輯推理能力；三、當堂達標1．下列說法正確的個數(shù)是()①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的運算結果是±2；③當n為大于1的奇數(shù)時，eq\r(n,a)對任意a∈R都有意義；④當n為大于1的偶數(shù)時，eq\r(n,a)只有當a≥0時才有意義．A．1B．2C3D．4【答案】B[①16的4次方根應是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正確的應為③④.]2．已知m10＝2，則m等于()A.eq\r(10,2)B．－eq\r(10,2)Ceq\r(210)D．±eq\r(10,2)【答案】D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶數(shù)，∴2的10次方根有兩個，且互為相反數(shù)．∴m＝±eq\r(10,2).]3.把根式aeq\r(a)化成分數(shù)指數(shù)冪是()A．(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))B．－(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))C-aeq\s\up12(eq\f(3,2))D．a(chǎn)eq\s\up12(eq\f(3,2))[答案]D[由題意可知a≥0，故排除A、B、C選項，選D.]4.eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝________.【答案】1[eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]5.（設x<0，則(eq\r(－x))2＝________.【答案】－x[∵x<0，∴－x>0，∴eq\r(－x)2＝－x.]6．將下列根式與分數(shù)指數(shù)冪進行互化．(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．7.(1)若x<0，則x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值.思路探究：(1)由x<0，先計算|x|及eq\r(x2)，再化簡．(2)結合－3<x<3，開方，化簡，再求值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.][解](2)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，當－3<x≤1時，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.當1<x<3時，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))通過練習鞏固本節(jié)所學知識，提高解決根式的化簡及根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化能力，增強學生的數(shù)學抽象和數(shù)學直觀和數(shù)學運算的素養(yǎng)。四、小結利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式運算時，其順序是先把根式化成分數(shù)指數(shù)冪或把分母的指數(shù)化成負指數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則運算。五、作業(yè)1.課時練2.預習下節(jié)課內容學生根據(jù)課堂學習，自主總結知識要點，及運用的思想方法。注意總結自己在學習中的易錯點；《4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪》導學案【學習目標】1.理解并掌握根式的概念、分數(shù)指數(shù)冪的概念；2.掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；3.掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質；【重點難點】重點難點根式的概念根式的性質分數(shù)指數(shù)冪的意義指數(shù)冪的運算性質分式與指數(shù)冪的意義原式化簡求值【知識梳理】1．根式及相關概念(1)a的n次方根定義如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．2．根式的性質(n>1，且n∈N*)(1)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a.(2)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)負數(shù)沒有偶次方根．思考：(1)(eq\r(n,a))n的含義是什么？[提示](eq\r(n,a))n是實數(shù)a的n次方根的n次冪．(2)(eq\r(n,a))n中實數(shù)a的取值范圍是任意實數(shù)嗎？[提示]不一定，當n為大于1的奇數(shù)時，a∈R；當n為大于1的偶數(shù)時，a≥0.自主小測；1．思考辨析(1)實數(shù)a的奇次方根只有一個．()(2)當n∈N*時，(eq\r(n,－2))n＝－2.()(3)eq\r(π－42)＝π－4.()2.eq\r(4,16)的運算結果是()A．2B．－2C±2D．±eq\r(2)3．m是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是()Aeq\r(4,m2)B.eq\r(5,m)Ceq\r(6,m)D.eq\r(5,－m)4．若x3＝－5，則x＝________.【學習過程】探究1n次方根的概念問題例1(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．(2)已知x6＝2016，則x＝________.(3)若eq\r(4,x＋3)有意義，求實數(shù)x的取值范圍為________.[規(guī)律方法]n次方根的個數(shù)及符號的確定1.n的奇偶性決定了n次方根的個數(shù)；2.n為奇數(shù)時，a的正負決定著n次方根的符號.跟蹤訓練1．已知a∈R，n∈N*，給出下列4個式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中無意義的有()A．1個B．2個C3個D．0個探究2利用根式的性質化簡求值例2化簡下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24)；跟蹤訓練2．若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范圍．探究3根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化2)利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?；；(1)觀察以下式子,并總結出規(guī)律:(a>0)結論:當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時,根式可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式.總結:當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時,根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.(3)你能用方根的意義解釋(2)的式子嗎?43的5次方根是75的3次方根是a2的3次方根是結果表明:方根的結果與分數(shù)指數(shù)冪是相通的，綜上,我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義；1.正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義：2.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：3.規(guī)定0的正分數(shù)指數(shù)冪為0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.1．思考辨析(1)0的任何指數(shù)冪都等于0.()(2)5eq\s\up12(eq\f(2,3))＝eq\r(53).()(3)分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉化，如eq\r(4,a2)＝aeq\s\up12(eq\f(1,2)).()跟蹤訓練3.用根式表示下列各式:(a＞0)，，，2.用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：；；；[規(guī)律方法]根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計算時，通常會把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質解題．【達標檢測】1．下列說法正確的個數(shù)是()①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的運算結果是±2；③當n為大于1的奇數(shù)時，eq\r(n,a)對任意a∈R都有意義；④當n為大于1的偶數(shù)時，eq\r(n,a)只有當a≥0時才有意義．A．1B．2C3D．42．已知m10＝2，則m等于()A.eq\r(10,2)B．－eq\r(10,2)Ceq\r(210)D．±eq\r(10,2)3.把根式aeq\r(a)化成分數(shù)指數(shù)冪是()A．(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))B．－(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))C-aeq\s\up12(eq\f(3,2))D．a(chǎn)eq\s\up12(eq\f(3,2))4.eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝________.5.（設x<0，則(eq\r(－x))2＝________.6．將下列根式與分數(shù)指數(shù)冪進行互化．(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．7.(1)若x<0，則x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值.【課堂小結】利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式運算時，其順序是先把根式化成分數(shù)指數(shù)冪或把分母的指數(shù)化成負指數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則運算。參考答案：一、知識梳理自主小測1.[答案](1)√(2)×(3)×2.A[eq\r(4,16)＝eq\r(4,24)＝2.]3.C[當m<0時，eq\r(6,m)沒有意義，其余各式均有意義．]4.－eq\r(3,5)[若x3＝－5，則x＝eq\r(3,－5)＝－eq\r(3,5).]二、學習過程探究1：(1)3；±2(2)±eq\r(6,2016)(3)[－3，＋∞]解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.(2)因為x6＝2016，所以x＝±eq\r(6,2016).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意義，則需要x＋3≥0，即x≥－3.所以實數(shù)x的取值范圍是[－3，＋∞)．跟蹤訓練1A[①中(－3)2n>0，所以eq\r(6,－32n)有意義，②中根指數(shù)為5有意義，③中(－5)2n＋1<0，因此無意義，④中根指數(shù)為9，有意義．選A.]探究2：[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2.,－x－2，x<－2.))跟蹤訓練2;[解]∵eq\r(9a2－6a＋1)＝eq\r(3a－12)＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq\f(1,3).探究3：答案](1)×(2)×(3)×:三、達標檢測1.【答案】B[①16的4次方根應是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正確的應為③④.]2.【答案】B[①16的4次方根應是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正確的應為③④.]3.[答案]D[由題意可知a≥0，故排除A、B、C選項，選D.]4.【答案】1[eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]5.【答案】－x[∵x<0，∴－x>0，∴eq\r(－x)2＝－x.]7.思路探究：(1)由x<0，先計算|x|及eq\r(x2)，再化簡．(2)結合－3<x<3，開方，化簡，再求值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.][解](2)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，當－3<x≤1時，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.當1<x<3時，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))《4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪》同步練習一基礎鞏固1．已知，則()A． B． C． D．2．下列各式正確的是（）A． B．C． D．3．已知x5=–243，那么x=A．3 B．–3C．–3或3 D．不存在4．=A.2 B.–2C.±2 D.45．已知，則化為（）A． B． C． D．6．若2x＝16，則x＝________.7．根式__________．8．計算：21能力提升9．下列根式、分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A. B.C. D.10．已知10m＝2，10n＝4，則的值為()A．2 B． C． D．211．=______．12．計算題素養(yǎng)達成13．（1）計算：；（2）已知，求的值。4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪答案解析基礎鞏固1．已知，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】，則.故選D.2．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，a，當a為負數(shù)時等式不成立，故A不正確；對于B，a0＝1，當a＝0時無意義，故B不正確；對于C，，左邊為正，右邊為負，故C不正確；對于D，，故D正確．故選：D．3．已知x5=–243，那么x=A．3 B．–3C．–3或3 D．不存在【答案】B【解析】∵x5=–243，∴x=．故選B．4．=A.2 B.–2C.±2 D.4【答案】A【解析】由題意，=|–2|=2，故選A．5．已知，則化為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選B.6．若2x＝16，則x＝________.【答案】【解析】函數(shù)在R上單調遞增，又因為，所以.7．根式__________．【答案】【解析】.8．計算：21【答案】1【解析】21能力提升9．下列根式、分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A．（x≥0），因此不正確；B．（x≠0），因此不正確；C．（xy＞0），因此正確；D．，因此不正確．故選：C．10．已知10m＝2，10n＝4，則的值為()A．2 B． C． D．2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B11．=______．【答案】【解析】，．故答案為：．12．計算題【答案】2【解析】化簡.素養(yǎng)達成13．（