高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解析版）

重點(diǎn)探究跟蹤訓(xùn)練

03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.(2022?曲靖二模)已知函數(shù)f(x)=ax2+blnX的圖象在點(diǎn)(l,f(l))處的切線方程為y=3x-2,則

a+b=()

A.2B.0C.lD.-2

【答案】A

［解析】因?yàn)閒(x)=ax2+blnx,所以f(x)=2ax+/,

由題意可知點(diǎn)(Lf(I))在直線y=3x-2上,所以f(l)=3-2=l,

所以鹿?=?=上?解得a=b=l,因止匕a+b=2.故選A.

2.(2022?衡陽月考)若f(x)=2χ3+3mχJ6x+l在&2)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是().

A.(√2,+∞)B.(2√2,+∞)

C.(-oo,∣)D.(-2,2)

【答案】C

【解析】函數(shù)f(x)在g,2)上存在減區(qū)間，則有f(x)<0在區(qū)間&2)上有解，由

f(x)=6x2+6mx-6=6(x2+mx-1),

得m<；x在區(qū)間G，2)上有解,此時(shí)令g(χ)='χ,因?yàn)間(x)在區(qū)間@,2)上單調(diào)遞減,所以

g(x)<gg)=∣,故m<∣.

3.(2022?重慶模擬)函數(shù)f(x)=x+2cosX在［0,兀］上的最大值為().

A.π-2B.-C.2D.-+√3

66

【答案】D

【解析】由題意知,f(x)=l-2sinX,

Λ?0≤sinx≤"即*仁［0勺和［若,兀］時(shí)『色巨0,即f(x)單調(diào)遞增；

2.O6

當(dāng)打?inX01,即f(x)單調(diào)遞減.

26O

.?.f(x)有極大值f(2)=m+√5,有極小值f(^-)=^-√3,X端點(diǎn)值f(0)=2,f(π)=π-2,Λ

6666

f(?>tlθ)>f(π)>α?,

OO

.?.f(x)在［0㈤上的最大值為紅次.故選D.

4.(2022?長春模擬)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?a,b),導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,

則函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極小值有().

y

討喻

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】因?yàn)闃O小值點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增,對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的值是先負(fù)后正,由圖

得這樣的點(diǎn)有1個(gè),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1.故選A.

5.(2022?福建模擬)己知函數(shù)f(x)=χ3+kx-k,貝IJ“k<0”是“f(x)有極值”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若f(x)有極值,則Γ(x)=3x2+k=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,所以A=O-4x3k>0,解得k<0.

當(dāng)k<0時(shí),令F(X)=3χ2+k=0,可得χ=±后，

此時(shí)f(x)=x3+kx-k在(-8,-Jq)上單調(diào)遞增,在(-j∣,舊)上單調(diào)遞減,在(Jl+8)上單調(diào)遞

增,所以“k<0”可以推出“f(x)有極值”,所以“k<0”是“f(x)有極值”的充要條件.故選C.

6.(2022.浙江模擬)已知a=ln遮,b=5,c=個(gè)則a,b,c的大小關(guān)系為(

O).

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】D

【解析】根據(jù)題意知,a=ln遍=等,b=e"=空C=等.

5e8

令f(x)=等,則f(x)=臂,

由f(x)<O得x>e;由f(x)>O得0<x<e.

則函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減，

又e<5<8,所以f(e)>f(5)>f(8),

因此b>a>c,故選D.

7.(2022.四川月考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0,今上的函數(shù),f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(x)<tan

Xf(X),f(5=l,e為自然對數(shù)的底數(shù),則不等式f(x)<2sinX的解集是().

O

A.(0,T?rB.(01?

62

C職)D塌)

【答案】A

【解析】令g(x)=緇,χG(θ1),因?yàn)閒(x)<tanxf(x),

所以g,J)=—泮空工COSχ.怨磬生>0,故g(χ)在(09上單調(diào)遞增，

而g￡)=%=2,故f(x)<2sinx,即黑<2,

即g(x)<g(g),故O<x<g即不等式的解集為(Ol),故選A.

OOO

8.已知曲線y二已在點(diǎn)(xι,e*ι)處的切線與曲線y=lnX在點(diǎn)的JnX2)處的切線相同,則

(X1+1)(X2-1)=().

A.-lB.-2C.lD.2

【答案】B

【解析】已知曲線y=e*在點(diǎn)(x∣,e*ι)處的切線方程為y-e"ι=e*ι(x-x∣),即y=βxιx-exιxj÷βxι,

曲線y=lnX在點(diǎn)(X2JnX2)處的切線方程為y-lnX2==(x-X2),即y=^-x-l÷lnx2,

由題意得Ie*2'得X2=E-,e*ι-e"iχι=l+lnX2=-l+ln?=-1-xι,JJ!∣JeX1

e1e1I

L^-β?=-l+∕nx2,W

又X2=1~,所以X2="所以X2~?≈~~^?——所以(x∣+1)(X2-1)=2.故選B.

χ

eιχ1+lx1+lx1+l

9.(2022?綿陽模擬)給出的①五皿2<1;②Uln3*;③e°2>∣n3三個(gè)不等式中,正確的個(gè)數(shù)為

().

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【解析】令f(x)=W(x>O),則f(x)=上詈,故當(dāng)*￡(0為)時(shí)『a)>0,當(dāng)*￡化,+00)時(shí)『ɑ)<。,故f(x)

在(0,e)上單調(diào)遞胤在(e,+8)上單調(diào)遞減.?.?詫<2<e,.?.f(√i)<f⑵,即等<等,即√F?ln2>1,即①

錯誤；

3

Vβ2>3>e,f(β2)<f(3),BP?~<-*βP^2?ln3Yx3==故②正確；

62322

由ex≥x+l(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號成立)知,e°?2>l+0.2=1.2,?.?3>e,???"v^=I?ln3<2<I.2,Λ

3eee

eα2>ln3,故③正確.

故選C.

10.(2022?河南三模)若過點(diǎn)P(l,λ)最多可作出n(n∈N*)條直線與函數(shù)f(x)=(x-l)eX的圖象相切,

則下列結(jié)論中錯誤的是().

A.λ+n<3

B.當(dāng)n=2時(shí),λ的值不唯一

C.λn可能等于-4

D.當(dāng)n=l時(shí),λ的取值范圍是(-00,$U{0}

【答案】B

【解析】不妨設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,(x<H)eXo),因?yàn)閒(x)=xex,所以切線方程為y-λ=x0e^(x-l),

所以(XO-l)exθ-λ=xoexθ(xo-1),整理得λ=-e*。(詔-2xo+l),

所以令g(x)=γX(χ2-2x+l),

則g'(x)=-ex(x2-l),

所以令g'(x)=O得x=±l,所以,當(dāng)x<-l或x>l時(shí),g,(x)<O,且g(x)<O,

?-l<x<l時(shí),g'(x)>O.

因?yàn)楫?dāng)X趨近于-8時(shí),g(x)趨近于O,g(-l)=-∕,g(O)=-l,g(l)=O,當(dāng)X趨近于+8時(shí),g(x)趨近于-8,所

以函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示.

所以,當(dāng)n=2時(shí),λ=g(-l)=T故B錯誤；

此時(shí)λ+n<3成立，

當(dāng)n=3時(shí),λ∈(-±0),所以λ+n<3,-23λ<0,-U<4故λn可能等于-4.C正確；

eee

當(dāng)n=l時(shí),λ∈(-8,q)U{0},顯然λ+n<3,故D正確；

綜上,λ+n<3,A正確.

故選B.

11.(2022?濰坊三模)過點(diǎn)P(l,m)(m∈R)有n條直線與函數(shù)f(x)=xe*的圖象相切,當(dāng)n取最大值

時(shí),m的取值范圍為().

A?<m<eB?<m<θ

C.-?<m<0D.m<e

e

【答案】B

【解析】由f(x)=xe*,得f(x)=(x+l)ex,

故當(dāng)XV-I時(shí),f(x)<O,f(x)單調(diào)遞減,且f(x)<O;

當(dāng)x>-l時(shí),f(x)>O,f(x)單調(diào)遞增，

結(jié)合圖象易得,過點(diǎn)P(l,m)(m∈R)至多有3條直線與函數(shù)f(x)=xe'的圖象相切，

故n=3.

此時(shí),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),則切線斜率k=(xo+l)?e?

所以切線方程為y-xoβz°=(xo+l)?ex°(x-xo),

將P(Lm)代入得m=(W+xo+l)?e*。,又因?yàn)榇嬖谌龡l切線,

即函數(shù)m=(?χ2+x+l)?ex有三個(gè)不同的根,

設(shè)g(x)=(-x2÷x+l)?ex,

則g'(x)=-(x-l)(x+2)?ex,

易得在(21)上,g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；

在(-oo,?2)和(1,+oo)上屈(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

畫出圖象可得當(dāng)g(-2)<m<0,即-Mm<0時(shí)符合題意.

故選B.

12.(2022?雨花模擬)若不等式aln(x+l)-2x3+3x2>0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整

數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

?Γ278012780

c?(?>S]d??+oo)

【答案】C

【解析】令f(x)=aln(x+l),g(x)=2χ3-3χ2,則g'(x)=6x2-6x=6x(x-l).

令g'(x)>O,得x>l或x<0;g,(x)<O,得0<x<l,

.?.g(x)在(-8,0)和(1,+8)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減，

，在(0,+8)上,g(x)min=g(I)=-I,且g(O)=gφ=O.

如圖所示，

當(dāng)aWO時(shí),f(x)>g(x)至多有一個(gè)整數(shù)解;

ha>O時(shí),f(x)>g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),

7(3)>9(3),

只需

7(4)≤9(4),

aln4>2×33-3X32,

即

.aln5<2×43-3X42,

解得為a≤黑.

2ln2InS

故選C.

13.(2022?遼寧模擬)定義在(O,+8)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+xf(x)=},f(l)=l,則f(x)的零點(diǎn)

是.

【答案】-

e

［解析］令F(x)=xf(x)-lnX,則F,(x)=f(x)÷xf(x)-p

乂f(x)+xf(x)=*所以F(X)=f(x)+xf(x)-=0,

則函數(shù)F(X)為常數(shù)函數(shù),又F(I)=I×f(l)-ln1=1,

所以F(X)=Xf(X)-InX=Inf(X)=、竺，

令得X--.

f(x)=O,e

14.對于三次函數(shù)f(x)=aχ3+bχ2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)有如下定義:設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函

數(shù)F(X)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若方程F(X)=O有實(shí)數(shù)解m,則稱點(diǎn)(m,f(m))為函數(shù)y=f(x)的“拐

點(diǎn)”.若點(diǎn)(1,-3)是函數(shù)g(x)=χ3-aχ2+bx?5(a,b∈R)的"拐點(diǎn)”,也是函數(shù)g(x)圖象上的點(diǎn),則當(dāng)x=4

時(shí),函數(shù)h(x)=k>g4(ax+b)的函數(shù)值是.

【答案】2

【解析】g<x)=3χ2-2ax+b,g"(x)=6x-2a,

由拐點(diǎn)定義知x=l時(shí)￡〃(1)=6?22=0,解得a=3,

又g(l)=3即l?a+b