2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第九章第8節(jié)　微課1　定點(diǎn)問題

第8節(jié)圓錐曲線的綜合問題

微課1定點(diǎn)問題

小題型分類突破一

題型一直線過定點(diǎn)問題

【例1】已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A(l,2)為拋物線C上一點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

⑵若點(diǎn)伙1,一2)在拋物線C上，過點(diǎn)B作拋物線C的兩條弦BP與8Q,如總/無。=一2,

求證：直線PQ過定點(diǎn).

(1)解若拋物線的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)拋物線方程為V=0r,代入點(diǎn)41,2),可得α=4,所

以拋物線方程為y2=4x.

若拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線方程為/=如代入點(diǎn)A(l,2),可得m=；,所以拋物

線方程為f=$,.

綜上所述，拋物線C的方程是γ2=4x或*=%.

(2)證明因?yàn)辄c(diǎn)8(1,—2)在拋物線C上，所以由(1)可得拋物線C的方程是γ2=4x.

易知直線BP,8。的斜率均存在，設(shè)直線8P的方程為y+2=k(χ-l),

將直線BP的方程代入尸=4無，消去y,得

k2x2~(2k1+4k+4)x+(k+2)2=0.

設(shè)Pg)-亨，所以修，竿)

2

用一不替換點(diǎn)P坐標(biāo)中的可得。((左一1尸2—2k),從而直線PQ的斜率為

2&+4___

k_2+2女_______2?3+4?__________2k

/+2)2；=一公+2/+必+4=-F+2Z+2'

/-(I)-

故直線PQ的方程是

在上述方程中，令x=3,解得y=2,

所以直線尸。恒過定點(diǎn)(3,2).

感悟升華圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法

(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)

何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).

(2)特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

【訓(xùn)練i】已知點(diǎn)P(一i,|)是橢圓c：、+E=Im>6>0)上一點(diǎn)，n,B分別是橢圓的左、

右焦點(diǎn)，∣PF∣∣+∣PF2∣=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過P點(diǎn)且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).若直線PA與直線PB的斜率之和為1,

問：直線/是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

解(1)由IPFIl+∣PF2∣=4,得α=2,

又不一1,§在橢圓上，

代入橢圓方程有點(diǎn)+卷=1,解得b=小,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為市+《=1.

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，A(xl,yι),B(x↑,一》),

33

y∣-2-y'-2

攵l+%2=I=1,解得R=-4,不符合題意；

Xl十11

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程)，="+加，

Aa1,?l),B(X2,》2),

[y=kx+m

由j'32+42—i12—0整理得(3+4F)X2+8而優(yōu)+4那-12=0,

-8km4∕Π2—12

2

XI+X2=3+4?2?XlX2=3+4F，∕=48(4*-〃P+3)>O.

由k?+?2z=1)整理得(21一I)XIX2+(k+:”—3(笛+尤2)+2加一4=0,

即(〃7—4?)(2∕n—2k—3)=0.

3

當(dāng)%=k+2時(shí)，此時(shí)，直線/過尸點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)機(jī)=4后時(shí)，/=4Q-∕+3>0有解，此時(shí)直線/：y=k(x+4)過定點(diǎn)(-4,0).

題型二其他曲線過定點(diǎn)問題

【例2】已知橢圓G：，+1=13?>0)的左、右頂點(diǎn)分別是雙曲線C2：的左、

右焦點(diǎn)，且Cl與C2相交于點(diǎn)(￥，用.

⑴求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/：)，=丘一寺與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若

恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

解(1)將殍，空I代入彘一)2=1,解得機(jī)2=1,

Λα2=∕n2÷1=2,

將?。?，坐)代入號(hào)+1=1，解得從=1，

.?.橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為苧+y2=1.

(2)設(shè)A(X1,jι),B(X2,”),

y^kx-y

?'整理得(9+18后)『一12H-16=0,

{沙產(chǎn)1，

?I12?~~16

2

..汨十X2=9+]8λ2,XlX2=9+i8?'

/=144^+64(9+18d)>0.

由對(duì)稱性可知，以AB為直徑的圓若恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在)，軸上.

設(shè)定點(diǎn)為M(O,y0),則

MA=(X1,y∣-yo),MB=(X2,y2~yo)

MAMB=x↑x2+(yι-yo)(y2~yo)

,,

=xιx2+yι>2-yo(j∣+”)+%

=XIX2+??X2-*x∣+x2)-.w[MXl+%2)-1

=(1+?2)x1x2—G+yo)(xι+x2)+>?+∣y0+∣

18(Y。-1)標(biāo)+94+6丫0-15C

=9+?^=0,

W-ι=o,

?,?ι,解得yo=1)

[9州+l6為—15=0,

.??M(O,1),

.?.以線段AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(0,1).

感悟升華(1)定點(diǎn)問題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動(dòng)圖形是否有對(duì)稱性及特殊(或極端)位置猜

想，如直線的水平位置、豎直位置，即上=0或A不存在時(shí).

(2)以曲線上的點(diǎn)為參數(shù)，設(shè)點(diǎn)P(X1,Vi),利用點(diǎn)在曲線1X,v)=0±,即火Xi,y∣)=0消參.

【訓(xùn)練2】(2021.湖南三湘名校聯(lián)考)已知橢圓C：，+方=l(a>b>l)的離心率為坐，其

上焦點(diǎn)到直線?x+2^-√2=0的距離為卓.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)尸(；，0)的直線，交橢圓C于A,8兩點(diǎn).試探究以線段AB為直徑的圓是否過定點(diǎn).若

過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過，請(qǐng)說明理由.

解(1)由題意得，e=?=當(dāng)，又層=/+/,

所以Q=啦b,c=b.

又竿乎=坐，a>m所以層=1，層=2,

y∣4a^+bz?

故橢圓C的方程為軒X2=L

(2)當(dāng)AB_Lx軸時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為(x—§2+V=$.

當(dāng)ABLy軸時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為Λ2+∕=1.

可得兩圓交點(diǎn)為Q(—1,0).

由此可知，若以線段AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為。(一1,0).

下證Q(-1,0)符合題意.

設(shè)直線/的斜率存在，且不為0,

其方程為y=(χ—3)，代入5+f=l,

O1

并整理得(Q+2)x2-w??+g?2-2=0,

設(shè)Aa1,yι)98(x2,竺),

2?2?2-18

則汨+"2=亞耳亓小2=貝西天

所以Q4而=α∣+l)(x2+?)+y?y2=x?x2+x?+x2+1+sQ∣-9(x2—9

=(1+d)XM2+(l—；F)(Xl+x2)+?

=α+a??+(∣-H???+1+9^2=0'

故宓，礪，即。(-1,0)在以線段AB為直徑的圓上.

綜上，以線段AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(一1,0).

?題型跟蹤訓(xùn)練

1?(2019?北京卷)已知橢圓C^+R=im>b>O)的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,l)?

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)。為原點(diǎn)，直線/：丁=履+2#±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,。，直線AP與X軸交

于點(diǎn)M,直線A。與X軸交于點(diǎn)N.若IoMHoM=2,求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

(1)解由題意，得廬=1,c=l,

所以a2=b2+c2=2.

所以橢圓。的方程為5+y2=l.

⑵證明設(shè)Pa1,?i),Q(X2,”)，

則直線AP的方程為y="?χ+1.

?l

令y=0,得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)項(xiàng)=——.

??-1

又yι=H∣+f,從而IoM=IxMI=51-

X2

同理，QNl=Ax2+/-1-

(y=kx+tf

由jq+得(l+2F)f+4J?X+2尸一2=0,

則/=(41)2-4(1+2^)(2'—2)=i6*2-8∕2+8>0.

口,4kt2尸一2

且汨+及=-MX2=?∩工后

所以IoM?QN=∣I?i∣?∣^?i

____________WC2___________

^k1x?x2+k(t-l)(x∣+x2)+(t-1)2

2?—2

____________l+2?2_____________

*???+M'一∣)(-T?)+('-i)2

又IOMMoNl=2,所以2H=2.

解得f=0,滿足/>0,所以直線/經(jīng)過定點(diǎn)(0,0).

2.(2021?深圳模擬)已知橢圓C：，+W=Im>">°)的左、右焦點(diǎn)分別為人，F(xiàn)2,點(diǎn)尸(1,明

3

滿足IPQl+IPBI=24,且S4PQF2=E?

⑴求桶圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)用(4,0)的直線/與C交于4(尤”y∣),8(X2,/2)兩點(diǎn)，且問在X軸上是否存

在定點(diǎn)N,使得直線24,NB與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形？若存

在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解⑴因?yàn)镮PFIl+∣PF2∣=2α,所以點(diǎn)尸(1,坐|在橢圓C上.

將(1,明代入a?ι,得9?=∣?①

設(shè)橢圓C的焦距為2c,則S"QF2=∕?2c?坐=|,求得c=√l

從而/—廬=3.②

由①②可得〃2=4,?2=1.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為t+y2=l?

(2)顯然直線I的斜率存在且不為0,設(shè)直線I的方程為y=k(χ-4).

設(shè)A(X1,y∣),B(X2,”).

假設(shè)存在點(diǎn)NQ,0),因?yàn)橹本€NA,NB與)