2023年陜西省漢中市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)

2023年陜西省漢中市普通高校對口單招高

等數(shù)學(xué)一自考模擬考試（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（20題）

fd“/(x,y)dj

1.二次積分九J。;等于()

[d"/(x,y)dx

A.A.JOJO

IdyI/(Λ,y)dx

B.JoJO

?dyJo∕(*,y)d”

[d"/(x,y)dx

D.J。JO

1

y■一

2.由曲線，，直線y=x,χ=2所圍面積為

AlGr)

BjkTdI

+f(2—y)dy

C.J1

2d?+(2—?)d?

D.Γ(-÷

3.搖篩機如圖所示，已知OIB=O止=0.4m,O1O2=AB,桿OIA按

,1Jr

’=”工規(guī)律擺動，（式中［以rad計，t以S計）。則當(dāng)t=0和t=2s時,

關(guān)于篩面中點M的速度和加速度就散不正確的一項為（）。

A.當(dāng)t=0時，篩面中點M的速度大小為15?7cm/s

B.當(dāng)t=0時，篩面中點M的法向加速度大小為6.17cm/S2

C.當(dāng)t=2s時，篩面中點M的速度大小為O

D.當(dāng)t=2s時，篩面中點M的切向加速度大小為12.3cm/s2

4設(shè)y=2^x,則y'等于()。

A.2^xx

B.-2x

C.2xln2

D.-2xln2

5.下列各式中正確的是

?】r?

X3d?>X2d?

AAJ。JO

ln?d?>(lnx)2d^

B.B.jlJl

3-aresin?d?=aresin?

C.C.dzJa

?+∞3

x-yd?

D.D.j1

∑(k>0)

6.級數(shù)n()o

A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關(guān)

7.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)>O,則在(0,1)內(nèi)f(x)().

A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.為常量D.既非單調(diào)，也非常量

他應(yīng)dx=

8.X

A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C

9.下面選項中，不屬于牛頓動力學(xué)基礎(chǔ)中的定律的是()。

A.慣性定律：無外力作用時，質(zhì)點將保持原來的運動狀態(tài)(靜止或勻速直

線運動狀態(tài))

B.運動定律：質(zhì)點因受外力作用而產(chǎn)生的加速度，其方向與力的方向相

同，大小與力的大小成正比

C.作用與反作用定律：兩個物體問的作用力，總是大小相等，方向相反，

作用線重合，并分別作用在這兩個物體上

D.剛化定律：變形體在某一力系作用下，處于平衡狀態(tài)時，若假想將其

剛化為剛體，則其平衡狀態(tài)保持不變

10.設(shè)函數(shù)y=(2+x)3,則y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

11.函數(shù)z=x2-xy+y2+9x-6y+20有()

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=2Oc極大值f(-4,1)=-1D.極小值

f(-4,D=-I

函數(shù)在點?.,連續(xù)是li∏√G)存在的

A.必要條件

B.充分條件

C.充要條件

12.D.既非充分又非必要的條件

13.∕e，dx[]

A.ex+C

B.-ex+C

C.ex+C

D.-ex+C

14.設(shè)F(XO)=O,f”(XO)V0,則下列結(jié)論必定正確的是().

A.A.xO為f(x)的極大值點

B.xO為f(x)的極小值點

C.xO不為f(x)的極值點

D.xO可能不為f(x)的極值點

級數(shù)SJ收斂的條件是

A.P>l

B.PWl

C.P>l

15.D?P<1

16.

設(shè)y=/(?)=",加=?(?o+Ar)—/(*),且馬≠O,J，則當(dāng)?τfO時

A,比?r高階的無窮小

R比Ar低階的無窮小

C.與Ar同階的無窮小

D.與Ar等價的無窮小

17.下列關(guān)系正確的是()。

Ad?/(.τ)dx=/(X)

Cd?/(X)d.r=/(x)dx

Dd∣f(x)d?=/(x)+C

18.

設(shè)“（H）OZ（N）是二階常系數(shù)線性微分方程y"+py'+gy=O的兩個線性無關(guān)的

解，則它的通解為

A.yt(x)+c”2(N)B.Ci5^1(?)+yj(x)

()

C.y↑(?)+“ND.c1jr1(?)+C%(N)

注2?c為任意常數(shù).

19.

交換二次積分次序（dy[∕（x,y）dx等于（）.

A."〃（x,y）d）

B/,djr∕∕（χgdy

C/,dx∫1∕（x,y）dy

D/M/a,y）中

級數(shù)?-D”"ɑ為Il”常數(shù)）是（）的

nIM

A.發(fā)散

B.條件收斂

C.絕對收斂

20.D.斂散性與k值有關(guān)

二、填空題（20題）

?-^-j-dx=_________.

21.J"

8

薛級數(shù)￡電”的收斂半徑為.

22."=1

23.設(shè)y=y(x)由方程x2+xy2+2y=l確定，貝!)dy=.

24.y=∕-27x+2在［1,2］上的最大值為.

嘉級數(shù)個∣-l∣s^1?的收斂半徑為.

25.*-12

X-1yz+3

-------?-------

26.過點MO(1,-2,0)且與直線3-11垂直的平面方程為

”過點M°(2,0,-1)且平行于*千的直線方程為_________.

Z/.?TI

28.微分方程y"+y=O的通解為.

29.過M0(l,-1,2)且垂直于平面2x-y+3z-l=0的直線方程為

30.通解為Cle-x+C2e-2x的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是__?

31.設(shè)z=x>',則dz=.

32.

設(shè)/(χ)是連續(xù)函數(shù),則(1-+?)df

.1-cosx

iIim=

33.iX

34.y'=x的通解為

Jr

35.設(shè)y=?r+sinz,貝IJy=

設(shè)區(qū)域O由曲線y=/,>=X圍成,則二重積分Jrdxdy=

36.”

設(shè)>UT3<y+2∕-A則a,+需==_

37.

若枳分區(qū)域〃兒由V=O.*=?=o.>=?用成的矩形區(qū)域.則<?",<luh=

38.

39.

已知j^∕(t)?=2X3,則f'(x)=

40設(shè)>二〕（i）ill方程In2、=I確定.則6=1

三、計算題（20題）

41.求微分方程」+3，+2『。的通解.

42.求微分方程y”-4y，+4y=e-2x的通解.

43.研究級數(shù)工（T廣'米的收斂性（即何時絕對收斂，何時條件收斂，何

時發(fā)散，其中常數(shù)a>0.

44.設(shè)平面薄板所占OXy平面上的區(qū)域D為I≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,

其面密度

u（x,y）=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.

45.計M'

46.證明：當(dāng)χ>l時.χ>l+lnX.

47.當(dāng)X-O時f（x）與Sill2x是等價無窮小量，貝IJ

2

48.求函數(shù)/（，）=一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點.

求需級數(shù)￡2"/"的收斂區(qū)間（不考慮端點）.

49.

50.設(shè)拋物線Y=I-X2與X軸的交點為A、B,在拋物線與X軸所圍成的

平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所

示).設(shè)梯形上底CD長為2x,面積為

S(x).

(1)寫出S(X)的表達式；

(2)求S(X)的最大值.

51.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=IOOe025P,當(dāng)p=10時，若價格上漲

1%,需求量增(減)百分之幾？

52.求-階線性微分方程y'--?y=χ滿足初始條件vl=0的特解?

53.將f(x)=e-2X展開為X的寨級數(shù).

54.求曲線a/+?在點(1,3)處的切線方程.

55.

zz

設(shè)區(qū)域D為:/≤4,ιy20,計算J√x+ydx?y.

n

arcsinxdx.

57.求函數(shù)f(x)=xt3x+l的單調(diào)區(qū)間和極值.

58.計算/中心

59.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1,1)處的切線1的

方程.

60.設(shè)z=z(7)是由方程x,y1=O所確定的隱函數(shù),求*

四、解答題(10題)

61.

設(shè)叢域〃為:『?/《?!.，?妾O.計算JJJ+、:<h<Jv.

62.

,

設(shè)區(qū)域≤4,y20,求口√x+√dxd3/.

63.求直線y=2x+l與直線x=0,x=l和y=0所圍平面圖形的面積，并求

該圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

64求微分方程工y'-y=a'的通解.

已知由「一2

dtcos/dz-TCOSj確定》是Z的函數(shù).求dy

65.h0

66.

求微分方程y"+y'-2y=0的通解.

67.

68.

設(shè)曲線y=∕(x)過點(l,J,其上任意一點(x,y)處切線斜率恒

為--2.

X

<1)求此曲線方程.

(2)求y=∕(x),y=0,x=l所困圖形的面積.

70.設(shè)拋物線Y=I-X2與X軸的交點為A、B,在拋物線與X軸所圍成的

平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所

示).設(shè)梯形上底CD長為2x,面積為

S(x).

⑴寫出S(X)的表達式;

(2)求S(X)的最大值.

圖2-1

五、高等數(shù)學(xué)(0題)

71.

醉貝

,∫?2χ-3√)<U-0ja0IJk=

六、解答題(0題)

72.

計算不定積分J思鈣也

參考答案

1.A

本題考查的知識點為交換二次積分的積分次序.

由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達式為:

O≤x≤l,O<y≤l-x,

其圖形如圖1-1所示.

圖?-?

交換積分次序，D可以表示為

O<y≤l,0≤x<l-y,

因此

7

dτdy

lo?∕o/(*,y)dyJoJof(x9γ)dx

可知應(yīng)選A.

3.D

4.D

本題考查的知識點為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。

由于y=2-x

Y'=2x?ln2?(-x),=-2xln2.

考生易錯誤選C,這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時丟掉項而造成的!因此考生

應(yīng)熟記：若y=f(u),u=u(x),則

dτ_dydu

dxdudx

不要丟項。

5.B

本題考查了定積分的性質(zhì)的知識點。

riri

X3d?<X2dx.

對于選項A,當(dāng)0<x<1時,χ3Vχ2,則J°?0

對于選項B,當(dāng)IVXV2時，Inx>(Inx)2,則

ln?d?>?(lar)2dx.

Jl.】

對于選項C,

aresin?d?=0(因aresin?d?是一個常數(shù)).

11,

-d?=0

對于選讀D,JT?不成立，因為當(dāng)x=0時，Ux無意義。

6.A

本題考查的知識點為級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。

-----3—=丁,設(shè)%=F,則≥j%=XF為P=3

由于nnn"=i"=I"的P

級數(shù)，可知為收斂級數(shù)。

∑Λ∑Mπ

可知"=|收斂，所給級數(shù)"=In絕對收斂，故應(yīng)選A。

7.A

由于f(x)在(0,1)內(nèi)有F(x)>O,可知f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)增加,故應(yīng)選

A.

8.C

J(InX)<?="(Inx)d(Inx)=∕(lnx)+C.故選C.

9.D

10.B本題考查了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的知識點。因為y=(2+x)3,所以

y'=3(2+x)2?(2+x)'=3(2+x>.

因U=J''—?τy+y2^4~9j—6V+20.于是空=2.r—y+9,重=—?r+2y—6.

?x'?y

令李=。，李=O,得駐點<—4?1).又因τ=2.=—1.=2.

θ??y??-?τ?y

故對于點(一4.1).A=2.B=-1,C=2,B2-AC=-3<O,

11.D且?4>0.因此T=f(?r.^>在點(一4.1)處取得極小值,且極小值為/(-4.1)=-1.

12.B

13.B

［解析］je"dx=-Jey(-x)=γ'+C.故選B?

14.A

本題考查的知識點為函數(shù)極值的第二充分條件.

由極值的第二充分條件可知應(yīng)選A.

15.A

16.C

17.B

d［/(.τ)dx=/(%)dx

由不定積分的性質(zhì)可知J故選B.

18.D

19.B

本題考查的知識點為交換二次積分次序。

由所給二次積分可知積分區(qū)域D可以表示為l≤y<2,y≤x≤2,

交換積分次序后，D可以表示為l≤x<2,l<y≤x,故應(yīng)選B。

20.C

21.arctanx+C

22.1

本題考查了收斂半徑的知識點。

coaa

??nz"=,設(shè)α,="，則有P=Iim"'∣=lim(l+?)=1,故其收斂半徑為R=?=1.

23.

本題考查的知識點為一元隱函數(shù)的微分.

解法1將所給表達式兩端關(guān)于X求導(dǎo)，可得

2x+y2+Ixyy'+2y,=0.

,_2x+γ2

'2(1+xy)

dy="K%

從而

解法2dx2+dxy^+d2y=dl,

2xdx+γdx+2xydy+2dy=0,

(2x+y2)d.τ+2(xy+1)dy=0,

2x+f22x+γ2

ydxdy=-CLV.

2(xy+l)2(xy+1)

24.-24.

本題考查的知識點為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.

若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，在［a,b］上連續(xù)，常可以利用導(dǎo)數(shù)判定f(x)在

［a,b］上的最值：

(?)求出廣(工).

(2)求出/(H)在(α,Z>)內(nèi)的駐點A,…,卬

(3)比較…J(L)J(α),∕(b)?其中最大(小)值為/(H)在［α,b］上的最大

(小)值，相應(yīng)的點X為/(Z)的最大(小)值點.

y=?3-21X+2,

則y'=3J-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的駐點％=-3,4=3,可知這兩個駐點都不在(1,2)內(nèi).

由于/(1)=-24,/(2)=-44,可知y=J-27x+2在［1,2］上的最大值為-24.

考生在本題中出現(xiàn)的錯誤多為求出駐點升=-3,%=3之后，直接比較

/(-3)=56J(3)=-52,/(1)=-24√(2)=-44,

得出y=∕-27x+2在［1,2］上的最大值為f(-3)=56.其錯誤的原因是沒有判定駐點軟=-3汽=

3是否在給定的區(qū)間(】，2)內(nèi)，這是值得考生注意的問題.在模擬試題中兩次出現(xiàn)這類問題，目的

就是希望能引起考生的重視.

本題還可以采用下列解法：注意到y(tǒng)'=3(*-3)(v+3),在區(qū)間［1,2］上有>'<0,因此y為單

調(diào)減少函數(shù).可知

#=2為y的最小值點，最小值為y∣E=-44?

T=I為y的最大值點，最大值為y∣t.,=-24.

25.11解析

26.3(x-l)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)

本題考查的知識點為平面與直線的方程.

由題設(shè)條件可知應(yīng)該利用點法式方程來確定所求平面方程.

所給直線1的方向向量s=(3,-1,1).若所求平面π垂直于直線1,則

平面π的法向量n〃s,不妨取n=s=(3,-1,1).則由平面的點法式方

程可知

3(x-l)-[y-(-2)]+(z-0)=0,

即3(x-l)-(y+2)+z=0

為所求平面方程.

或?qū)憺?x-y+z-5=0.

上述兩個結(jié)果都正確，前者3(x-l)-(y+2)z=0稱為平面的點法式方程，

而后者3x-y+z-5=0稱為平面的一般式方程.

27.

X=工山.

3-I1

本題考查的知識點為求直線的方程.

由于所求直線平行于已知直線1,可知兩條直線的方向向量相同，由

直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可知所求直線方程為

?-2=y-z+I.

3^-1-1,

28.y=Clcosx+C2sinx

本題考查的知識點為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解.

特征方程為產(chǎn)+1=0,特征根為r=±i,因此所給微分方程的通解為

y=Clcosx+C2sinx.

29.

X-]_v+1_z-2

亍=Tr=亍

本題考查的知識點為直線方程的求解.

由于所求直線與平面垂直，因此直線的方向向量S可取為已知平面的

法向量n=(2,-1,3).由直線的點向式方程可知所求直線方程為

1_z-2

30.

31.yxy'1dx+xylnxdy

N=JJr,則生=?ɑ?i,罷=H，ln?,所以dz=3trr^1dr+x,lnxd>.

ɑ?^?y

32.0

33.0

34.

τ+c

本題考查的知識點為：求解可分離變量的微分方程.

f,J“

,一,Y=Λ^dx=—+C.

由于y，=x,可知‘J2

35.

/__M+sinN-工(1+CoS6_Sin工一τcos工

(?-f-sinx)2(?-l-s?n?)2"

36.1/6

本題考查的知識點為計算二重積分.

積分區(qū)域D可以表示為OWXWl,屋WyWX,因此

=∫U-√)dx=(1x≈-∣χ,

=7".

37.

5J+7?-J

38.

對已知等式兩端求導(dǎo)，得

∕ω=6?

z

39.12xl2x解析:所以∕(x)=12x.

40.

2x÷v3.

V-xTVdjr-

2(zxy+l)

本題考查的知識點為隱函數(shù)的微分.

解法1將所給表達式兩端關(guān)于X求導(dǎo)，可得

2x÷y2+2xγy*+2y*=0,

從而

?'=-2(l+x>?)'

小=_言"二心.

2(1+xv)

解法2將所給表達式兩端微分,

dx:+dxy*÷cl2y≈<ll.

2xdx÷y*dx+2xydy÷2dy=01

(2x÷√)<l.t÷2(.?÷1)d)=0,

dy='2??5dx?

41.

【解析】特征方程為ri+3r+2=0.

特征根rl=-2tr2="l,

方程的通解為y=C,e'2t+C,e,.

42.解：原方程對應(yīng)的齊次方程為y,,-4y,+4y=0,

特征方程及特征根為/-4r+4=0,”2=2,

i,

齊次方程的通解為r=(Cl+Cj)e.

在自由項/(x)=e-s中.α=-2不是特征根，所以設(shè),=∕e"'?代入原方程.有

∕="?,

故原方程通解為y=(G+G)e"+±em.

Io

43.

【解析】記u.=(-l尸士.則∣u,l=[,從而知￡Iu.∣=￡[為P級數(shù)，且

nn*7^n

當(dāng)α>l時，Y2收斂，因此f(-1)3口絕對收斂.

??1n?71n

當(dāng)O<αWl時，Y4發(fā)散，注意到此時￡(-1廣一為交錯級數(shù)，

Γ7ιnMin

=1>-1一=∣u

n(n÷l)?

IimI*I=Iim-=O,

￡(一尸"收斂,故此時￡(一尸土條件收斂.

由萊布尼茨定理可知當(dāng)O<QW1時,

44.由二重積分物理意義知

W2

2

m≡Jμ(xty)dσ=][(/+))dxdy=?dd?r'dr=?ir.

45.

【解析】令，=4,則X=J,dx=2(市.當(dāng)X=O時，，=0；當(dāng)*=1時J=1

fdx=f2leldt

JOJG

=2(∕e'Iɑ-?eldf)=2(e-el∣θ)=2.

46.

設(shè)/(x)=x-"hιx?則/(x)的定義域為(0.48).

/7x)=1—T.

令y,=0得*=1.

當(dāng)x>ι時Jy)=ι-fo.可知/U)單調(diào)增加.

由于/(1)=0,可知當(dāng)X>l時J(X)5/(1)=0,從而X-I-InX>0.即

?,>1÷lnr.

47.由等價無窮小量的定義可知叫黑=''

48.

f(χ)的定義域為(-8,0)1J(O,+8).

∕,(x)=2x+4/-(*)=2-?

TT

令/'(N)=O得X=-I;令/"(χ)=0.得X=法.

列表：

X(-∞?-1)-1(-1.0)0(。⑶(萬.+8)

y,-0÷÷

y"?.?-0?

/（-1）=3拐點

y?UZu沒定義ZnZu

為極小值戊.0）

函數(shù)/（M）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8.-I）；單調(diào)增加區(qū)間為（-1,0）U（O.+8）；極小值為

/（-1）=3.

曲線y=∕（x）的凹區(qū)間為（-8.O）u（而'.+8）：凸區(qū)間為（0.萬）：拐點為（力.0）.

說明

由于/U）在點*=0處沒有定義.因此/?（，）的單調(diào)增加區(qū)間為（-∣.0）U（O.+8）,不

能寫為（0.+8）!

11

由2∣X2∣<I可解得F<F

故所給級數(shù)收斂區(qū)間為(^???)?

50.

由「"τ'解得X=±l,則4、B兩點坐標(biāo)分別為

Iy=O

Λ(-L0)?∣β(1.0)Jβ=2.

(I)S(x)=y(2+2x)(I-?)=(l+x)(i-√).

(2)S'(x)=-3∕-2al.令SYX)=O,即(3x-l)(x+l)=0,得與=：,則=-1(舍去).

S*(x),,=(-6x-2)[=-4<0,則Sg)夸為極大值.根據(jù)實際問題,S旁為最大值.

IO(Wtt?(.7),25)

PIOOe0-=0.25p

51.需求規(guī)律為Q=100ep-225p≠,ω2?5???當(dāng)P=IO時

價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=IOOep-225P,

-aIooe0即，.(-0.25)n

一P---麗布---=。-25/-

*°)2.5???當(dāng)P=Io時,價格上漲1%需求量減少

2.5%

52.由一階線性微分方程通解公式有

,=ef">"(∫g(χ)eW?i(k+C)

=J÷*?(∫χe-H*dx+C)

=e"'(JX?e^'"dx+C)=*Qx?ydx+cj=x(x+C),

格rI...=O代人上式.可得C=-I,因此所求特解為V=X2-*.

53.

【解析】由于e'=￡[(y<χ<+8).可得

e-J三⑷：=-8).

￡肛！rτ?n!

54.曲線方程為尸3+2,點(1,為在曲線上.

y=7".「-2'因此所求曲線方程為-3=-2(x-l),或?qū)憺?x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f(x)在點xθ處的導(dǎo)數(shù)F(XO)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(xθ,fxθ))處存在切線，且切線的斜率為F(X0).切線方程為

,

y√(x0)=∕(?)(x-*0)?

如果/'(工。)射0.則曲線y=∕(χ)在點(%/(%))處的法線方程為

y√(%)=-χ7^-γ(Io)?

如果f'(xJ=O.則V=AxQ為曲線V=A*)在點(x*J(xQ)處的水平切線.

55.

解利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

0≤6≤π,0≤r≤2,

j√x2+y2dxdy=?d^?ɑr2Jr

D

2

dθ

9o

=[ydθ=-∣-π.

√oV?5

解利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

0≤6≤π,0≤廠≤2,

J√x2+y2dxdy=?/?r2Jr

2

dθ

9O

=jydθ=-∣-π.

√o<5<5

56.

設(shè)t,則

M=arcsinxtυ=1

-9υ=x.

x

arcsinxdx=xarcsinx-^d×

J?-x2

=xarcsinx+-?-?(1-x2)-τd(1-x2)

=xarcsi∏Λ+√l-x+C.

57.函數(shù)的定義域為

(-8,+?),f'(x)=3X5-3.

令∕?'(H)=0.得駐點M=-IJ,=1.列表得

X(-?.-I)-1(-∣.∣)I(∣,+8)

?O-O

/(-1)=30-1

Λ^)?

為極大(ft為極小值

函數(shù)AX)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,-I],[!,+?).

函數(shù)/(χ)的總調(diào)減區(qū)間為[-l,l]?

/,(-1)=3為揭大佰/(I)=-I為板小侑.

注意

如果將(-8.-Il寫成(-8「|).將(1,+8)寫成(I.+8),將f-l,l]寫成(-1J)也對.

58.

?TilMk=Jjk+∫y<k

=Inx+pnxdlnx=Inx÷-?-(Inx)2+C,

或?———dxxpI+?nx)dlnx≡?(?÷Inx)d(1+Inx)

=?(I+Inx)2+C,

59.

y=x-lnx的定義域為(O,+8),y'≡?--?-.

當(dāng)x=l時.y'=O;當(dāng)x>∣時,y'>O,函數(shù)y=x-∣nx單調(diào)增加.

當(dāng)0<x<l時,y'<0,函數(shù)y=*-∣nX單。減少.

曲線y=x-lnX在點(1.1)處的切線方程為y-∣=0.

60.

利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)公式，記

F(x.v.s)=xj+y,-e*.

則

R=2x,F>-e,.

?zRIx

￡=-kF

61.

M：利用極坐標(biāo)?區(qū)域〃可以淺示為

UW"Wπ.0WrW2.

S√'r'÷√dι∣!V≡/d"[r"<ir

I.I

---T'

:沁?*

斛題描導(dǎo)：本造與之的知，點為if?分的計算（極坐你系）.

如梟積分區(qū)域為冊域或例的年T.被積函數(shù)為/（丁+J）的二須積分.通常利用極坐標(biāo)H

臣較方便.

使用收生標(biāo)計算二小積分Z；.%尢將區(qū)域"的邊界曲線化為極?懷F的力fVn小.以確定

，域〃的不等式去示式.I"將積分化為二次積分.

M建考生中常見的錨誤為：

?y∕x*÷v；<lvdr≡?d"frdr.

-K中丟掉廣，.這出將H角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)下的二次積分時常地的HH吳.

K?馬必要注意.

62.

解：利用極坐標(biāo)，D表示為0≤6≤",0≤r≤2

原式=JOdeJOr2”

=信。的

=1：τdθ

=：—8?

3

解：利用極坐標(biāo)，D表示為0≤6≤κ,0≤r≤2

原式=J：d0：/dr

=p(?r4ScW

Jo3O

=?*ldθ

8

=τπ

63.解：設(shè)所圍圖形面積為A,則

A≈∫^(2x+Ddx=(x2+x)∣θ=2.

設(shè)旋轉(zhuǎn)體體積為匕,則

匕=π∫J(2τ+l)2dr=π∫^(4x2÷4x÷l)dr

(43—Y13

=π-x,+2x+xH≈一π.

U43

64.本題考查的知識點為求解一階線性微分方程.

將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式

γ'--y,=X.

X

y=e3(∫*dx+c)=產(chǎn)(卜仲飛+0

=e(J%e0dx+C)二欠(jx，~^x+C)

=%(x+C).

求解一階線性微分方程?？梢圆捎脙煞N解法:

解法1利用求解公式，必須先將微分方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)+p(x)y=

q(x),則

>(p(χ)dx.r[p(*)dx\

y=e(Jq(%)edx+Cj,

對所給方程町'-y=J應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)-Ly=χ,如參考答案所給解法，可得通解.

X

解法2利用常數(shù)變易法.

原方程相應(yīng)的齊次微分方程為

xy,-y=O,

分離變量-=

yx

兩端積分伴=怦，

JyjX

Iny=inCx,y=Cx,

令C=C(X),則y=C(x)x,代入原方程，可得

x[C,(x)x+C(%)]-C(x)x=x?

Cy)=i,

C(%)=x+C,

可得原方程通解為y=x(x+C).

本題中考生出現(xiàn)的較常見的錯誤是：

取P(X)=-l,g(工)=/,利用通解公式

-卜⑺d?∣i>(*)dx\

7=e(卜(“)/d4+C).

這是由于沒有將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程而導(dǎo)致的錯誤.讀者應(yīng)該明

確，上述通解公式是標(biāo)準(zhǔn)方程的通解公式.

65.

等式兩邊對?求導(dǎo)得?e?y=COSj-??2*+(—Siny2)?2?'.

SI”'2JXOS/

所以y==--------------；—；?

j

e÷2V?Sinty?

故dy,F紅STJcLr.