（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題11 算法、復(fù)數(shù)、推理與證明 81 復(fù)數(shù) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)(1)熟記復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；(2)掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；(3)理解并能簡(jiǎn)單應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義.訓(xùn)練題型(1)復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念的應(yīng)用；(2)復(fù)數(shù)的計(jì)算；(3)復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的求解與應(yīng)用；(4)復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.解題策略(1)正確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，會(huì)利用復(fù)數(shù)相等列方程；(2)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算是難點(diǎn)，應(yīng)重點(diǎn)掌握；(3)復(fù)數(shù)的模的問題常與兩點(diǎn)間的距離相聯(lián)系.1．已知t∈R，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1z2是實(shí)數(shù)，則t＝________.2．(2015·安徽屯溪一中月考)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋eq\r(3)i)z＝2eq\r(3)i(i是虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第________象限．3．若z＝sinθ－eq\f(3,5)＋(cosθ－eq\f(4,5))i是純虛數(shù)，則tan(θ－eq\f(π,4))＝________.4．(2015·山東日照一中階段檢測(cè))已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(a＋bi)2＝________.5．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1＋ai,3－i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．6．已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＋b＝1，現(xiàn)有如下三個(gè)結(jié)論：①z可能為實(shí)數(shù)；②z不可能為純虛數(shù)；③若z的共軛復(fù)數(shù)為，則z·＝a2＋b2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為________．7．(2015·蘇北三市高三第二次調(diào)研考試)已知i是虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)a，b滿足(3＋4i)(a＋bi)＝10i，則3a－4b的值是________．8．(2015·江蘇阜寧中學(xué)調(diào)研)若復(fù)數(shù)z＝i＋i2016，則＋eq\f(10,z)的模等于________．9．(2015·河南洛陽(yáng)中學(xué)第一次統(tǒng)考)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若eq\f(z1,z2)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________．10．若復(fù)數(shù)z滿足z＋i＝eq\f(3＋i,i)(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝______.11．下列命題中正確的是________．①已知a，b∈R，則“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i為純虛數(shù)”的充要條件；②當(dāng)z是非零實(shí)數(shù)時(shí)，|z＋eq\f(1,z)|≥2恒成立；③復(fù)數(shù)z＝(1－i)3的實(shí)部和虛部都是－2；④設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為，若z＋＝4，z·＝8，則eq\f(\x\to(z),z)＝－i.12．已知復(fù)數(shù)z＝1－i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為Oeq\o(Z,\s\up6(→))，把eq\o(OZ,\s\up6(→))按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ得到一個(gè)新向量eq\o(OZ1,\s\up6(→)).若eq\o(OZ1,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)一個(gè)純虛數(shù)z1，則當(dāng)θ取最小正角時(shí)，z1＝________.13．若復(fù)數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，eq\x\to(z1)＋z2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.14．已知i是虛數(shù)單位，C是全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，若映射f：C→R滿足對(duì)任意的z1，z2∈C，以及任意的λ∈R，都有f(λz1＋(1－λ)z2)＝λf(z1)＋(1－λ)f(z2)，則稱映射f具有性質(zhì)P，給出如下映射：①f1：C→R，f1(z)＝x－y，z＝x＋yi(x，y∈R)；②f2：C→R，f2(z)＝x2－y，z＝x＋yi(x，y∈R)；③f3：C→R，f3(z)＝2x＋y，z＝x＋yi(x，y∈R)．其中具有性質(zhì)P的映射為________．(寫出所有滿足條件的映射的序號(hào))答案解析1．－eq\f(3,4)2.一3.－74.3＋4i5.36．2解析當(dāng)b＝0時(shí)，a＝1，此時(shí)z＝1為實(shí)數(shù)，故①正確；當(dāng)a＝0時(shí)，b＝1，此時(shí)z＝i為純虛數(shù)，故②錯(cuò)誤；z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，故③正確．7．0解析∵(3＋4i)(a＋bi)＝10i，∴(3a－4b)＋(4a＋3b)i＝10i，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝0，,4a＋3b＝10，))∴3a－4b＝0.8．6eq\r(2)解析z＝i＋i2016＝1＋i，＝1－i，∴＋eq\f(10,z)＝1－i＋eq\f(10,1＋i)＝1－i＋10×eq\f(1－i,2)＝6－6i，其模為6eq\r(2).9．(－6，eq\f(3,2))解析eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－ai,1＋2i)＝eq\f(3－ai1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(3－2a,5)－eq\f(6＋a,5)i，因?yàn)閑q\f(z1,z2)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,6＋a>0，))解得－6<a<eq\f(3,2).10.eq\r(17)11.②③12.eq\r(2)i解析因?yàn)樾D(zhuǎn)時(shí)復(fù)數(shù)的模不發(fā)生變化，又z＝1－i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的正半軸上，所以z1＝|1－i|i＝eq\r(2)i.13．3解析eq\x\to(z1)＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝(eq\f(3,a＋5)＋eq\f(2,1－a))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i，∵eq\x\to(z1)＋z2是實(shí)數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.14．①③解析設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則λz1＋(1－λ)z2＝[aλ＋c(1－λ)]＋[bλ＋d(1－λ)]i.對(duì)于①，f1(λz1＋(1－λ)z2)＝[aλ＋c(1－λ)]－[bλ＋d(1－λ)]，而λf1(z1)＋(1－λ)f1(z2)＝λ(a－b)＋(1－λ)(c－d)＝[aλ＋c(1－λ)]－[bλ＋d(1－λ)]，∴f1(λz1＋(1－λ)z2)＝λf1(z1)＋(1－λ)f1(z2)，所以f1具有性質(zhì)P；對(duì)于②，f2(λz1＋(1－λ)z2)＝[aλ＋c(1－λ)]2－[bλ＋d(1－λ)]，而λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)＝λ(a2－b)＋(1－λ)(c2－d)，顯然f2(λz1＋(1－λ)z2)與λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)不恒相等，所以f2不具有性質(zhì)P；對(duì)于③，f3(λz1＋(1－λ)z2)＝2[aλ＋c(1－