（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題8 立體幾何與空間向量 59 垂直的判定與性質(zhì) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)會應(yīng)用線、面垂直的定理及性質(zhì)證明直線與平面垂直、平面與平面垂直的位置關(guān)系.訓(xùn)練題型(1)證明直線與平面垂直；(2)證明平面與平面垂直；(3)利用線、面垂直的性質(zhì)證明線線垂直.解題策略證明線面垂直、面面垂直都必須通過證明線線垂直來完成，特殊圖形中的垂直關(guān)系(如等腰三角形中線、直角三角形、矩形等)往往是解題突破點，也可利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直.1.如圖所示，已知PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，點C是圓O上任意一點，過A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求證：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.2．(2015·南京、鹽城第一次聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O，E分別為B1D，AB的中點．求證：(1)OE∥平面BCC1B1；(2)平面B1DC⊥平面B1DE.3．(2015·德陽四校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，F(xiàn)為棱BC的中點．(1)求證：AE⊥DA1；(2)在線段AA1上求一點G，使得直線AE⊥平面DFG.4．(2015·江西白鷺洲中學(xué)期末)如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B－ACD，點M是棱BC的中點，DM＝2eq\r(2).(1)求證：OM∥平面ABD；(2)求證：平面DOM⊥平面ABC；(3)求三棱錐B－DOM的體積．5.在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱AA1于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；(3)如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM＝MA1嗎？請你敘述判斷理由．答案解析1．證明(1)因為AB是圓O的直徑，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因為PA⊥圓O所在平面，即PA⊥平面ABC，而BC?平面ABC，所以BC⊥PA.又因為AC∩PA＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因為AE?平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因為AE⊥平面PBC，且PB?平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，AF?平面AEF，AE?平面AEF，所以PB⊥平面AEF.又因為EF?平面AEF，所以PB⊥EF.2．證明(1)如圖，連結(jié)BC1，設(shè)BC1∩B1C＝F，連結(jié)OF.因為O，F(xiàn)分別是B1D與B1C的中點，所以O(shè)F∥DC，且OF＝eq\f(1,2)DC.又E為AB的中點，所以EB∥DC，且EB＝eq\f(1,2)DC，從而OF∥EB，OF＝EB，即四邊形OEBF是平行四邊形，所以O(shè)E∥BF.又OE?平面BCC1B1，BF?平面BCC1B1，所以O(shè)E∥平面BCC1B1.(2)因為DC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C，DC?平面B1DC，BC1?平面B1DC，所以BC1⊥平面B1DC.而BC1∥OE，所以O(shè)E⊥平面B1DC，又OE?平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.3．(1)證明如圖所示，連結(jié)BC1，AD1，由正方體的性質(zhì)可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB.又AB∩AD1＝A，AB?平面ABC1D1，AD1?平面ABC1D1，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE?平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解如圖所示，G點即為A1點．證明如下：由(1)可知AE⊥DA1，連結(jié)A1F，取CD的中點H，連結(jié)AH，EH，因為DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，AH?平面AHE，EH?平面AHE，所以DF⊥平面AHE，∵AE?平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，DF?平面DFA1，A1D?平面DFA1，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.4．(1)證明∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴OM∥AB.又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD.(2)證明∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱錐B－ACD中，OD⊥AC.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，可得BD＝4.∵O為BD的中點，∴DO＝eq\f(1,2)BD＝2.∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴OM＝eq\f(1,2)AB＝2.因此OD2＋OM2＝8＝DM2，可得OD⊥OM.∵AC∩OM＝O，AC?平面ABC，OM?平面ABC，∴OD⊥平面ABC.∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC.(3)解由(2)得OD⊥平面BOM，∴OD是三棱錐D－BOM的高．由OD＝2，S△BOM＝eq\f(1,2)×OB×BMsin60°＝eq\r(3)，所以V三棱錐B－DOM＝VD－BOM＝eq\f(1,3)S△BOM×OD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2＝eq\f(2\r(3),3).5．(1)證明∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，且AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，又∵CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)證明如圖，延長B1A1與BM的延長線交于點N，連結(jié)C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1B1＝A1N，∴C1N⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，底面NB1C1∩側(cè)面BB1C1C＝B1C1，又C1N?底面NB1C1，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C.又∵C1N?截面C1NB，∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C，即截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)解如圖，過M作ME⊥BC1于E，連結(jié)DE.∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，截面MBC1∩側(cè)面BB1C1C＝BC1，又ME?截面MBC1，∴ME⊥側(cè)面BB1C1C，又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M、E、D、A四