（江蘇專用）高考數學 專題8 立體幾何 59 垂直的判定與性質 文-人教版高三數學試題

訓練目標會應用線、面垂直的定理及性質證明直線與平面垂直、平面與平面垂直的位置關系.訓練題型(1)證明直線與平面垂直；(2)證明平面與平面垂直；(3)利用線、面垂直的性質證明線線垂直.解題策略證明線面垂直、面面垂直都必須通過證明線線垂直來完成，特殊圖形中的垂直關系(如等腰三角形中線、直角三角形、矩形等)往往是解題突破點，也可利用線面垂直的性質證明線線垂直.1.如圖所示，已知PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，點C是圓O上任意一點，過A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求證：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.2．(2015·南京、鹽城第一次聯考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O，E分別為B1D，AB的中點．求證：(1)OE∥平面BCC1B1；(2)平面B1DC⊥平面B1DE.3．(2015·德陽四校聯考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，F為棱BC的中點．(1)求證：AE⊥DA1；(2)在線段AA1上求一點G，使得直線AE⊥平面DFG.4．(2015·張掖第二次診斷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1＝AB＝6，D為AC的中點．(1)求證：直線AB1∥平面BC1D；(2)求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求三棱錐C－BC1D的體積．5.如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)證明：C1C⊥BD；(2)當eq\f(CD,CC1)的值為多少時，A1C⊥平面C1BD?答案解析1．證明(1)因為AB是圓O的直徑，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因為PA⊥圓O所在平面，即PA⊥平面ABC，而BC?平面ABC，所以BC⊥PA.又因為AC∩PA＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因為AE?平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因為AE⊥平面PBC，且PB?平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，AF?平面AEF，AE?平面AEF，所以PB⊥平面AEF.又因為EF?平面AEF，所以PB⊥EF.2．證明(1)如圖，連結BC1，設BC1∩B1C＝F，連結OF.因為O，F分別是B1D與B1C的中點，所以OF∥DC，且OF＝eq\f(1,2)DC.又E為AB的中點，所以EB∥DC，且EB＝eq\f(1,2)DC，從而OF∥EB，OF＝EB，即四邊形OEBF是平行四邊形，所以OE∥BF.又OE?平面BCC1B1，BF?平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因為DC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C，DC?平面B1DC，BC1?平面B1DC，所以BC1⊥平面B1DC.而BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC，又OE?平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.3．(1)證明如圖所示，連結BC1，AD1，由正方體的性質可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB.又AB∩AD1＝A，AB?平面ABC1D1，AD1?平面ABC1D1，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE?平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解如圖所示，G點即為A1點．證明如下：由(1)可知AE⊥DA1，連結A1F，取CD的中點H，連結AH，EH，因為DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，AH?平面AHE，EH?平面AHE，所以DF⊥平面AHE，∵AE?平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，DF?平面DFA1，A1D?平面DFA1，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.4．(1)證明連結B1C交BC1于點O，連結OD，如圖，則點O為B1C的中點．∵D為AC的中點，∴AB1∥OD.∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴直線AB1∥平面BC1D.(2)證明∵AA1⊥底面ABC，BD?底面ABC，∴AA1⊥BD.∵△ABC是正三角形，D是AC的中點，∴BD⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1?平面ACC1A，AC?平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)解由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝BCsin60°＝3eq\r(3)，∴S△BCD＝eq\f(1,2)×3×3eq\r(3)＝eq\f(9\r(3),2)，∴V三棱錐C－BC1D＝V三棱錐C1－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),2)×6＝9eq\r(3).5．(1)證明如圖，連結A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結C1O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD.又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.∵DO＝OB，∴C1O⊥BD，又AC⊥BD，AC∩C1O＝O，AC?平面ACC1，C1O?平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，又C1C?平面ACC1，∴C1C⊥BD.(2)解由(1)知BD⊥平面ACC1，∵A1C?平面ACC1，∴BD⊥A1C，當