（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題1 集合與常用邏輯用語 2 集合中的創(chuàng)新性問題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)(1)有關(guān)集合知識的深化提高；(2)轉(zhuǎn)化和化歸思想的應(yīng)用.訓(xùn)練題型與集合有關(guān)的新定義問題.解題策略(1)緊扣新定義，將題中信息轉(zhuǎn)化為集合語言；(2)借助于驗證法、特例法求解.1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為________．2．定義集合A與B的運(yùn)算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x?A∩B}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}．則(A⊙B)⊙B為________．3．(2015·山東文登上學(xué)期第一次考試)對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，m※n＝m＋n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m※n＝mn.則在此定義下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素個數(shù)為________．4．對于任意的兩個實(shí)數(shù)對(a，b)和(c，d)，規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)a＝c，b＝d時(a，b)＝(c，d)，運(yùn)算“?”為：(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)，運(yùn)算“D○＋”為：(a，b)D○＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)，設(shè)p，q∈R，若(1,2)D○＋(p，q)＝(5,0)，則(1,2)?(p，q)＝________.5．定義集合運(yùn)算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素之和是________．6．(2015·廣東珠海上學(xué)期期末)已知集合S＝{P|P＝(x1，x2)，xi∈{0,1}，i＝1,2}，對于A＝(a1，a2)，B＝(b1，b2)∈S，定義A與B的差為A－B＝(|a1－b1|，|a2－b2|)，定義A與B之間的距離為d(A，B)＝|a1－b1|＋|a2－b2|.?A，B，C∈S，則①d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)；②d(A，C)＋d(B，C)>d(A，B)；③d(A－C，B－C)＝d(A，B)；④d(A－C，B－C)>d(A，B)．上述結(jié)論中一定成立的是________．7．用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CA－CB，CA≥CB，,CB－CA，CA<CB.))若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)＝________.8．設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝________.9．如果集合A滿足若x∈A，則－x∈A，那么就稱集合A為“對稱集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是對稱集合，集合B是自然數(shù)集，則A∩B＝________.10．定義A*B＝{x|x＝x1＋2x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}．則A∩(A*B)∪B＝________.11．A，B是非空集合，若a∈A，b∈B，且滿足|a－b|∈A∪B，則稱a，b是集合A，B的一對“基因元”．若A＝{2,3,5,9}，B＝{1,3,6,8}，則集合A，B的“基因元”的對數(shù)是________．12．(2015·廣東)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F(xiàn)＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素個數(shù)，則card(E)＋card(F)＝________.13．(2015·江西省師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學(xué)、新余四中聯(lián)考)設(shè)集合M＝{(x，y)|F(x，y)＝0}為平面坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)集，若對于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，則稱點(diǎn)集M滿足性質(zhì)P.給出下列四個點(diǎn)集：①R＝{(x，y)|sinx－y＋1＝0}；②S＝{(x，y)|lnx－y＝0}；③T＝{(x，y)|x2＋y2－1＝0}；④W＝{(x，y)|xy－1＝0}．其中所有滿足性質(zhì)P的點(diǎn)集的序號是________．14．(2015·安徽江淮名校第二次聯(lián)考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，對于任意實(shí)數(shù)對(x1，y1)∈M，存在實(shí)數(shù)對(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“孿生對點(diǎn)集”．給出下列五個集合：①M(fèi)＝{(x，y)|y＝eq\f(1,x)}；②M＝{(x，y)|y＝ex－2}；③M＝{(x，y)|y＝sinx}；④M＝{(x，y)|y＝x2－1}；⑤M＝{(x，y)|y＝lnx}．其中不是“孿生對點(diǎn)集”的序號是________．答案解析1．10解析(直接法)因為A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若x－y∈A，則必有x－y>0，x>y.當(dāng)y＝1時，x可取2,3,4,5，共有4個數(shù)；當(dāng)y＝2時，x可取3,4,5，共有3個數(shù)；當(dāng)y＝3時，x可取4,5，共有2個數(shù)；當(dāng)y＝4時，x只能取5，共有1個數(shù)；當(dāng)y＝5時，x不能取任何值．綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)對(x，y)的個數(shù)為4＋3＋2＋1＝10.2．{1,2,3,4}解析由新定義得A⊙B＝{1,2,5,6,7}，則(A⊙B)⊙B＝{1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．3．17解析若a，b同為正奇數(shù)或同為正偶數(shù)，則有16＝1＋15＝2＋14＝3＋13＝4＋12＝5＋11＝6＋10＝7＋9＝8＋8，除了最后一對，前面的每一對都可以交換，共有15種情況；若a，b中一個為正奇數(shù)，另一個為正偶數(shù)時，則16＝1×16＝16×1，共2種情況．綜上，一共有17種情況，即M中的元素個數(shù)為17.4．(2,0)解析由(1,2)D○＋(p，q)＝(5,0)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p－2q＝5，,2p＋q＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝1，,q＝－2.))所以(1,2)?(p，q)＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．5．6解當(dāng)x＝1或2，y＝0時，z＝0；當(dāng)x＝1，y＝2時，z＝2；當(dāng)x＝2，y＝2時，z＝4.所以A*B＝{0,2,4}，所有元素之和為0＋2＋4＝6.6．③解析設(shè)A＝(a1，a2)，B＝(b1，b2)，C＝(c1，c2)，則d(A，B)＝|a1－b1|＋|a2－b2|，d(A，C)＝|a1－c1|＋|a2－c2|，d(B，C)＝|b1－c1|＋|b2－c2|，d(A－C，B－C)＝||a1－c1|－|b1－c1||＋||a2－c2|－|b2－c2||.對于①②，當(dāng)A＝B＝C時，顯然d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)＝0，當(dāng)A＝B＝(1,1)，C＝(0,0)時，d(A，C)＋d(B，C)＝4，而d(A，B)＝0，因此d(A，C)＋d(B，C)>d(A，B)，故①②均不一定成立．對于③④，若a1＝b1，則|a1－b1|＝0且||a1－c1|－|b1－c1||＝0；若a1≠b1，由a1，b1，c1∈{0,1}，得|a1－b1|＝1，且|a1－c1|和|b1－c1|必有一個為1，另一個為0，即||a1－c1|－|b1－c1||＝1.綜上|a1－b1|＝||a1－c1|－|b1－c1||，同理|a2－b2|＝||a2－c2|－|b2－c2||，所以d(A－C，B－C)＝d(A，B)．故③一定成立．7．3解析因為C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.關(guān)于x的方程x2＋ax＋2＝0，當(dāng)Δ＝0，即a＝±2eq\r(2)時，易知C(B)＝3，符合題意；當(dāng)Δ>0，即a<－2eq\r(2)或a>2eq\r(2)時，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合題意；當(dāng)Δ<0，即－2eq\r(2)<a<2eq\r(2)時，方程x2＋ax＋2＝0無實(shí)數(shù)解，當(dāng)a＝0時，B＝{0}，C(B)＝1，符合題意，當(dāng)－2eq\r(2)<a<0或0<a<2eq\r(2)時，C(B)＝2，不符合題意．所以S＝{0，－2eq\r(2)，2eq\r(2)}．故C(S)＝3.8．{x|0<x≤1}解析由log2x<1得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}．由|x－2|<1得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．依題意得P－Q＝{x|0<x≤1}．9．{0,6}解析由題意可知，－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3，而當(dāng)x＝0時，不符合元素的互異性，舍去；當(dāng)x＝－3時，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．10．{1,2,3}解析A∩(A*B)∪B＝{1,2,3}∩{3,4,5,6,7}∪{1,2}＝{3}∪{1,2}＝{1,2,3}．11．13解析由題意知，2,1；2,3；2,8；3,1；3,6；3,8；5,3；5,6；5,8；9,1；9,3；9,6；9,8都是A，B的“基因元”，共13對．12．200解析對于集合E，當(dāng)s＝4時，p，q，r都可取0,1,2,3中的一個，有43＝64種；當(dāng)s＝3時，p，q，r都可取0,1,2中的一個，有33＝27種；當(dāng)s＝2時，p，q，r都可取0,1中的一個，有23＝8種；當(dāng)s＝1時，p，q，r都可取0，有1種，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.對于集合F，當(dāng)t＝0時，u可取1,2,3,4中的一個，有4種；當(dāng)t＝1時，u取2,3,4中的一個，有3種；當(dāng)t＝2時，u可取3,4中的一個，有2種；當(dāng)t＝3時，u可取4，有1種，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10種，同樣地，v，w的取值也有10種，則card(F)＝10×10＝100種，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200.13．③④解析對于①，R＝{(x，y)|sinx－y＋1＝0}，y＝sinx＋1，定義域是R.對于任意(x1，y1)∈M，不妨取(0,1)，不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，①中點(diǎn)集R不滿足性質(zhì)P.對于②，S＝{(x，y)|lnx－y＝0}，y＝lnx的定義域是{x|x>0}．對于任意(x1，y1)∈M，不妨取(1,0)，不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，②中點(diǎn)集S不滿足性質(zhì)P.對于③，T＝{(x，y)|x2＋y2－1＝0}，圖形是圓．對于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，x2與x1符號相反，即可使得x1x2＋y1y2<0，③中點(diǎn)集T滿足性質(zhì)P.對于④，W＝{(x，y)|xy－1＝0}，圖形是雙曲線．對于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，x2與x1符號相反，即可使得x1x2＋y1y2<0，④中點(diǎn)集W滿足性質(zhì)P.∴滿足性質(zhì)P的點(diǎn)集的序號為③④.14．①⑤解析對于