2023年高考數(shù)學一輪復習講義：第七章 7-4基本不等式

§7.4基本不等式

【考試要求】L掌握基本不等式及常見變型?2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.

?落實主干知識

佚口識梳理)

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：4>0,fe>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當α=K時取等號.

(3)其中等叫做正數(shù)小b的算術平均數(shù)，標叫做正數(shù)〃，b的幾何平均數(shù).

2.幾個重要的不等式

(l?2÷?2≥2β?(6z,ft∈R).

(2)^+f?=2(α,6同號).

7z+?Y

(3)abW---卜3，?∈R).

2

cr+b1(g-?-b

(〃，fc∈R).

⑷丁y2

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知X,y都是正數(shù)，如果積W等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2√λ

(2)已知X,)，都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積孫有最大值;S?

注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴不等式而w(g")與兩五皇等號成立的條件是相同的.(X)

(2)y=x+1的最小值是2.(X)

(3)若x>0,y>0?x+y=xyf則肛的最小值為4.(√)

⑷函數(shù)y=sinx∈^0,g的最小值為4.(X)

1教材改編題】

1.已知x>2,則x+占的最小值是()

A.?B.2C.2√2D.4

答案D

解析Vx>2,

；.x+~=x—2+~+2≥2Λ/(X—2)r+2=4,

X—2X—2?∣'7χ-2

當且僅當χ-2=一?,即x=3時，等號成立.

x~2

2.函數(shù)y=4—χ-&x<0)()

A.有最小值2B.有最小值6

C.有最大值2D.有最大值6

答案B

解析y=4+(-χ)+言J

24+2ΛJ(一0(一￡)=6.

當且僅當一尸士，即kf時取等號.

3.若a,?∈R,下列不等式成立的是

的+注2；

②"≤坐

喏分的.

答案②③

解析當《為負時，①不成立.

當ab<O時，④不成立.

■探究核心題型

題型一利用基本不等式求最值

命題點1配湊法

例1(1)(2022?樂山模擬)設Oa則函數(shù)y=4x(3—2x)的最大值為()

99

AaB.4C，2D.9

答案C

解析y=4x(3-2r)=2?2x?(3-2x)

3

當且僅當2x=3-2x,即X=W時取等號,

39

時_-

才

4F一

29

、-

J-3X

,?3

A.最大值0B.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

答案C

2

解析.?"q,

.,.3x-2<0,

9

/U)=3工-2+?二^+3

-9-

=-(2-3x)+-J+3

≤-2ΛJ(2-3X)?+3=-3.

91

當且僅當2—3x=ττ,即時取.

2-3X?

工2—?γ?-4-2

(3)(2022?紹興模擬)若一l<r<l,則y=入二？~的最大值為

答案-1

解析因為一1令<1,則OCl-X<2,

1(l-χ)2+1

于是得y=一2'--

當且僅當一x=±,即x=°時取"=”,

所以當AO時,產(chǎn)宅二有最大值T?

命題點2常數(shù)代換法

.、2IL

例2（2022?重慶模擬）已知G>0,?>0,且。+匕=2,則/+五的最小值是（）

A.1B.2

99

CWD2

答案C

解析因為α>0,?>0,且α+8=2,

a+b

所以2=1,

所以5+4=S+標+專）

05

+-

+■2

?2

15?J9

2-X+-I--

22√4

42

當且僅當〃=1,時，等號成立.

命題點3消元法

例3已知x>0,）>0且x+y+xy=3,則x+y的最小值為.

答案2

解析方法一（換元消元法）

?.%+y+肛=3,貝IJ3—(x+y)=xy≤2

即(x+y)2+4(x+y)-12≥0,

令t=x+y9則r>O,

Λr2+4r-12≥0,解得/22,

.?χ+y的最小值為2.

方法二（代入消元法）

3—X

由x+y+xy=3得

Vx>0,y>0,

.,.0<r<3,

3—X4

??x+y=xX+7=Λ+X+7-1

4

=x+14?,x+T2

TX+D泰-2=2,

4

當且僅當x+1=F7，即x=l時取等號,

X+1

.*.x+y的最小值為2.

延伸探究本例條件不變，求Ay的最大值.

解t?'x+y+xy=3,

???3—孫=x+y22而，當且僅當x=y時取等號，

令t=y∣xy9則/>0,

Λ3-r2≥2r,即∕2+2r-3W0,

即0<∕≤l,

，當x=y=l時，Xy最大值為1.

r教師備選】

1.（2022?哈爾濱模擬）已知x>0,y>0,且2x+8y-Vy=0,則當x+y取得最小值時，y等于（）

A.16B.6C.18D.12

答案B

解析因為Q0,y>0,2x+8y=xy9

所以？+a=1,

yX

所以x+y=α+y)(^+^=10+y+^?

210+2√≡=10+2X4=18,

-2x8v

=[x=12,

當且僅當，y―》，即,時取等號,

3=6

、2x+8）L孫=0,

所以當x+.y取得最小值時，y=6.

T

2.已知函數(shù)√（x）=Hj?（x<-l）,則（）

A.於）有最小值4B.危）有最小值一4

C.人尤）有最大值4D.兀V）有最大值一4

答案A

-22

ΛLΠ,R.X-Λ~1+1

解析人外=干=Fri-

因為XV—1,所以x+l<O,—(x+1)>O,

所以火x)22√I+2=4,

當且僅當一即x=-2時，等號成立.

(X-TIJ

故/U)有最小值4.

思維升華⑴前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

2

跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)yu)==γ+H2x>i),則yu)的最小值為.

5

答

案-

2

解析?.,2x>l,Λχ-2>0,

113

當且僅當一LY=L點即X=押取.

x~2

.?ju）的最小值為|.

⑵已知x>0,）>0且x+y=5,則已工十不匕的最小值為.

答案2

解析令x+l=a,y+2=nf

Vx>0,y>0,/.A77>O,〃>0,

則m+n=x+1+γ+2=8,

???Tτ+T^=L+L=C+￡）義!（m+，）=[^+：+2）**（2/+2）=:.

χ+↑y÷2mn?tnnJ8v78?rnn√8vv72

當且僅當A=字即加=〃=4時等號成立.

???擊+去的最小值意

題型二基本不等式的常見變形應用

例4(1)(2022?寧波模擬)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世

西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形

實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點C在直徑AB上，

J≡LOFVAB,設AC=。，BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為()

工

AOCB

b>0)

B.a2+b2^2y[ab(a>0,?>0)

C?表^W√^(c∕>O,?>0)

a+h∣a2+b2

D._2-≤Λ/—2~(tz>O,?>0)

答案D

解析由圖形可知，OF=∣AB=^(tz+?),

OC=Bm+》）一/?=―力），

在RtZ?OCb中，由勾股定理可得，

g??空H"嗝（/+序）,

?；CFNoF,

2

y/a+b2）e/?！耣）（a>Ofb>0）.

（2）（2022?廣州模擬）已知O<α<l,?>1,則下列不等式中成立的是（）

AI4ab

A.a+h7<_r7

a~rb

B.y[ab<-^r

Ya-vb

C.yj2a2+2b2<2y∣ab

D.a+b<?∣2a2+2b2

答案D

解析對于選項A,因為0<“<l,h>i,

所以3+b)2=∕+2αb+∕Λ>4αb,故選項A錯誤;

2

>

對于選項B,1韋，故選項B錯誤;

-

+-pI

對于選項C,√2(a2+?2)>√2×2^=2√Λ?,

故選項C錯誤；

對于選項D,2a2+2h2>a2+2ab+h2=(a+h)2,

所以a+t><?∣2a2+2b2,故選項D正確.

【教師備選】

若”,6∈R,且">0,則下列不等式中，恒成立的是()

A.a1-?^b2>2abB.a+b^2?[ab

?,12c"a、C

C.-+7>-7=rD.-+τ?2

abNab?b

答案D

解析a2+b2^2ah,所以A錯誤；

ab>Q,只能說明兩實數(shù)同號，同為正數(shù)，或同為負數(shù)，

所以當〃<0,6<0時，B錯誤；同時C錯誤；

彳或￡都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值,

/如2\^彳=2,故D正確.

思維升華基本不等式的常見變形

(M苧.

2

-g2?2

-12z

2)1+-2-(α>0,?>0).

一-

力

。

跟蹤訓練2(1)(2022?浙南名校聯(lián)盟寐考)已知命題p：a>b>O,命題q：

是4成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

22

解析?.?Q>?>0,則a+b>2ahf

2222

.*.2(a÷b)>a+?÷2ab9

，2(o2÷b2)>(a+?)2,

.卓?(?%

???由P可推出q,

當“<0,〃<0時，命題q成立，

,,a2+b2（a+β?^

如a=-1,6=—3時，-2-J-=4,

由q推不出p,

：,P是q成立的充分不必要條件.

⑵（2022,漳州質(zhì)檢）已知小人為互不相等的正實數(shù)，則下列四個式子中最大的是（）

?.?B1+：

a+bab

D

C?相?Λ∕??

答案B

解析?.Z,。為互不相等的正實數(shù),

22_1____2

a+b2?[ahy[ahy[ah9

I2ΓT_12

?/a2+b2<\l2aby/ab^^[ab9

.?.最大的是5+今

拓展視野

柯西不等式

柯西不等式是法國著名的數(shù)學家、物理學家、天文學家柯西（CaUChy,1789—1857）發(fā)現(xiàn)的，

故命名為柯西不等式.柯西不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證

明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的

技巧可以達到事半功倍的效果.

1.（柯西不等式的代數(shù)形式）設α,b,C,d均為實數(shù)，則（42+廿）（，+42）2（4。+切）2,當且僅

當ad=bc時，等號成立.

推廣一般情形：設S,。2,…，斯，bi,bz,???,?n∈R,

則@+龍+…+/）（房+慶+…+硝2（06+4歷+…+〃滴〃）2（當且僅當?z=0（Z=l,2,…，n）

或存在一個實數(shù)%,使得￠=//Mi=I,2,…，〃)時，等號成立).

2.(柯西不等式的向量形式)設a,Q為平面上的兩個向量，則∣a∣W∣2∣a∕∣,其中當且僅當“是

零向量，或存在實數(shù)k,使α=k∕?時等號成立.

3.(柯西不等式的三角不等式)設xι,y?,xι,yι,Λ?,”為任意實數(shù)，則：

?√(x∣—X2)2+GJ1-y2)2+√(X2-X3)2+0?-J3)2

22

≥√(Λ-∣-x3)+0n-y3)?

一、利用柯西不等式求最值

例1已知X,y滿足x+3y=4,則4x2+y2的最小值為.

64

答案37

解析(x+3y)2≤(4Λ2+∕)Q+9),

464

所以4Λ2+)*2216X萬=方，

當且僅當y=12x時，等號成立，

所以4%2+y2的最小值為第.

例2已知正實數(shù)X,y,z滿足x2+y2+z2=l,正實數(shù)a,b,C滿足層+〃+/=%則0χ+

by+cz的最大值為.

答案3

解析(0x+外+cz)2W32+b2+c2)?ɑ2+γ2+z2)=9,

??ajc+by+cz^3,

當且僅當α=3x,b=3y9c=3z時取“=”,

.,.ax+by+cz的最大值為3.

例3函數(shù)y=5y∕χ-l+=10——的最大值為.

答案6√3

解析/=(5√xzrl+√10-2Λ)2=(5√XZ71+√2?√5ZX)2≤(52+2)(χ-1+5-?)=108,當且僅

當X=苧時等號成立，.?.yW6√5.

二、利用柯西不等式證明不等式

例4已知α∣,a2,b?,岳為正實數(shù)，求證：3向+。2治)(胃+f02(α∣+42)2.

證明3仍1+“2歷)(曹■+韻

=[（耐）2+（辰H（稠2+（渭2]

乂師卷+師#）2

=3]+怎）2.

當且僅當仇=歷時，等號成立.

2

例5已知。1，a?,…，4〃都是實數(shù)，求證：[（m+zH-----}-a,1）^ai+ai-?---?-a}l.

證明根據(jù)柯西不等式，有（上土上土二±1W）3彳+----F星）2（1×aι+1XaiH-----H

1義斯）2,

所以531+々2H------F^,）2≤^+aH----F居.

課時精練

生基礎保分練

1.下列函數(shù)中，最小值為2的是()

2

A.y=x÷^

_Λ2+3

C.y=ex+e~x

D.y=Iogu+logv3(0<x<1)

答案C

2

解析當x<0時，y=x+-<09故A錯誤;

y=^?=尸^+而聶女，

當且僅當乒=言，

即/=一1時取等號，

Vx2≠-1,故B錯誤；

y=e?+e"22y∣e'?e'—2,

λx

當且僅當e=e~9

即X=O時取等號，故C正確；

當x∈（O,l）時，γ=log3x<0,故D錯誤.

2.（2022?漢中模擬）若a>0,b>0且2+b=4,則必的最大值為（）

A.2B.gC.4D.；

答案A

解析4=2^+?≥2√2^?,

即2A?∣2ab,平方得67?≤2,

當且僅當2α=b,即α=l,b=2時等號成立，

?ab的最大值為2.

3?（2022?蘇州模擬）若mb是正常數(shù)，a≠bχγ∈（0,+∞）,則，當且僅

1fXyx~?y

當仁與時取等號?利用以上結論，函數(shù)式x）=W+7?,χe（θ,或取得最小值時X的值為（）

?y?1ZJC\

A?5B4C平?-l

答案A

解析^=χ+?=2^+?

(2+3)2

2x+1~2x

當且僅當:?2=產(chǎn)3丁，即L1與時等號成立.

2XI—ZX?

4.(2022?重慶模擬)已知X>2,γ>l,(χ-2)(γ-1)=4,則x+y的最小值是()

A.1B.4

C.7D.3+√17

答案C

解析Vx>2,y>?,(%—2)(y-1)=4,

Λx+γ=(χ-2)+(γ-1)+3

≥2√(χ-2)(?-1)+3=7,

x=4

當且僅當‘時等號成立.

b=3

19

5.已知函數(shù)y(x)=%+M?(χ<i),下列結論正確的是()

A.於)有最大值￥

B../(X)有最大值一日

,13

c.y(x)有最小便2

7

D.y（x）有最小值z

答案B

解析,/（A-）=?i+?+∣=-+∣≤-2^-?Δ?+∣=-?.當且僅當X

=-5時等號成立.

6.已知函數(shù)KX）=f_》+4二>0），則（）

A.於）有最大值3B.y（x）有最小值3

C.於）有最小值WD./）有最大值上

答案D

Y

解析/）==力

=—L-V-L-J

x+--l2幣T3,

X

當且僅當X=。4，即x=2時等號成立，

.'√（x）的最大值為;.

7.（2022?濟寧模擬）已知4,6為正實數(shù)，則“坐<2"是“必≤16"的（）

a-vD

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由4,方為正實數(shù)，

Λa+?≥2√^,當且僅當“=/?時等號成立，

若H≤16,可得端《條=呼W呼=2,故必要性成立；

cι+b2'ab22

當α=2,6=10,此時-?^W2,但α6=20>16,故充分性不成立，

a^rb

因此“黑W2”是“MW16”的必要不充分條件.

8.已知正實數(shù)d人滿足α>0,h>0,且α+b=l,則下列不等式恒成立的有（）

①2"+2峰2吸;②

(≡A+∣<4:④α+[>2.

A.(D@B.①③

C.0(2)?D.②③④

答案C

解析V2o+2fe≥2√F？i=2√Fτ*=2√2,當且僅當a=〃時取等號，，①正確;

,.,cr÷b2<a2+b2+lab=(a+Z?)2=1,

.?.②正確；

V?+τ=(Λ+?)(~+τ‰2+~+τ

abv?abjab

^2+2Λ∕!×∣=4>

當且僅當α=6時取等號，；.③錯誤；

V6Z>0,b>09a+b=1,

/.0<a<?,

,.?a+^2y∣a^=2,當且僅當α=l時取等號，

Λ^÷^>2,④正確.

9.若0<x<2,則周4—%2的最大值為.

答案2

解析V0<x<2,

???x?∣4-χ1=??∕x2(4-X2)≤A+；~-=2,

當且僅當x2=4—即X=啦時取.

10.若〃>0,b>0fIgtz÷lgh=?g(a+b)f則α+〃的最小值為.

答案4

解析依題意αb=α+b,.?.α+b=αbw("^^')2,

口,,(a+b)2

即rπ+?≤--,

.?.α+"24,當且僅當4=b時取等號，

.*.a+b的最小值為4.

11.已知x>0,y>0且3x÷4v-Ay=O,貝IJ3x+y的最小值為

答案27

解析因為x>0,y>093x+4y=xy,

所以3科4

所以3x+γ=（3Λ-+>-）（j+^）=15+y+^≥15+2^^^=27,

（9x4y,

當且僅當"即=時取等號，

.3x+4y—孫=O9

所以3x+y的最小值為27.

12.（2021.天津）若G>0,b>0,則/+b的最小值為.

答案2&

解析V?>0,b>0,

；.%表+b》2$^+b=*+b22《b=2?

當且僅當I=/且W=6,即α=b=?√5時等號成立，

；.%表+b的最小值為2√Σ

應技能提升練

13?（2022?南京模擬）若實數(shù)X,y滿足x2+y2+"=1，則x+y的取值范圍是（）

A?[一半,明B（一歲,平）

C[一半明