2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第四章三角函數(shù)、解三角形4-2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

?最新考綱?

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2a÷cos2a=1,號吧=tana

CoSa

2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出＞α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.

?考向預(yù)測?

考情分析：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用仍將是高考考查的熱點,

題型仍將是選擇題與填空題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：.

(2)商數(shù)關(guān)系：.

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

組數(shù)一二二四五六

22兀+aπ

角π+a~a兀-a--a-+a

(MZ)22

正弦sina

余弦cosa

正切tana_____________

3.特殊角的三角函數(shù)值

_______‰_______Oo30°45。60。90°120。150。180。

角a的ππππ2π5π

0π

弧度數(shù)6432飛

√2

sina10

——T———

√2

cosa———0——-1

tana________]____________0

二、必明2個常用結(jié)論

I.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指與的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函

數(shù)名稱的變化.

2.sinα+cosa,Sina-COSa與SinaCoSa的關(guān)系

(sinot±cosa)2=l±2sinctcosa；

(sina÷cosa)2+(sina-cosa)2=2;

(sinct÷cosct)2-(sina-cosa)2=4sinacosa.

對于Sina+cosa,sinacosa,Sina—cosa這三個式子，已知其中一個式子的值，可求

其余兩式的值.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或"X”).

(1)若a,夕為銳角，則sitAz+cos?夕=1.()

(2)若a∈R,則tana=迎巴恒成立.()

cosa

(3/皿(兀+團=—5由。成立的條件是1為銳角.()

(二)教材改編

2.［必修4?P29B組T2改編］已知a為銳角，且Sina=K則CoSm+a)=()

44

A.B.C.D.

55

I-Cos220

3.［必修4?P2∣練習(xí)T4改編］化簡:

cos2θtan2θ

(三)易錯易混

4.(不會運用請元思想)已知tan6=2,則%匕答+sii??的值為()

s?n。

19162317

A.B.C.D.

551010

5.(未(Ii意角的范囹出錯)若Sina=一。，則tana=

(四)走進高考

6.［2019?全國卷1311255°=()

A.-2一V3B.一2+V3

C.2-√3D.2+√3

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一誘導(dǎo)公式的應(yīng)用［基礎(chǔ)性］

?.sin(-1200o)cos1290°=.

2.若加C)=Singx+α)+l,且式2020)=2,則.?2022)=.

九已知刎=崇嚅?則7(-等)的值為一.

4.已知COS(>e)=a,則COS(乎+。)+$出(等一。)=.

反思感悟

1.誘導(dǎo)公式應(yīng)用的步驟

(1)負(fù)化正：符■負(fù)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)；

(2)大化?。簩⒋笥?60°的角的三角函數(shù)化為0°~360°角的三角函數(shù);

(3)小化銳：將大于90°的角的三角函數(shù)化為0°~90°角的三角函數(shù)；

(4)銳求值：得到0。~90。角的三角函數(shù)后直接求值.也就是：“負(fù)化正，大化小，化到

銳角為終了”.

2.常見的互余和互補的角

互余的角a與塔+a,g+a與%—a,與;一a等

互補的角g+e與半一仇Jo與手一夕等

考點二同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用［基礎(chǔ)性、綜合性］

角度1公式的直接應(yīng)用

［例1］⑴已知α是第四象限角，且tana=-則Sina=()

4

A.-?B.-C.-D.--

5555

(2)已知GC是三角形的內(nèi)角，且tana=—%則Sina+cosa的值為

聽課筆記：

反思感悟同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法

(1)利用sin2a+cos26c=l可實現(xiàn)1的正弦、余弦的互化，利用過吧=tan。可以實現(xiàn)角a

cosa

的弦切互化.

(2)由一個角的任意一個三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，因為利用

“平方關(guān)系”公式，需求平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當(dāng)角所在的

象限不明確時，要進行分類討論.

角度2sina,cosa的齊次式問題

［例2］已知產(chǎn)1,求下列各式的值.

tana-1

∕ι?s?na-3cosa

⑴Sina+cosa；

(2)sin2?+sin?cosa+2.

聽課筆記：

反思感悟三角函數(shù)式中“弦化切”常見形式及解決辦法

角度3“sin6t±cosa,sinacosQ”之間的關(guān)系

[例3]⑴[2022?成都七中實驗學(xué)校高三模擬]已知sina-cosa=γ,則sin2a=()

A.西b?ICTD.-∣

3

⑵[2022?遼寧高三模擬]已知[W(0,π),且Sina+cosα=g,貝IJSina—cos0=()

?-4b?1c?Yd?S

(3)[2022?河北張家口市模擬]若α∈g,π),2sinα+cosa=￥，則tanα=()

2

A.-2B.2C.?D.2

1111

聽課筆記:

反思感悟?qū)τ赟ina+cosa9sina—cosa,SinaCoSa這三個式子，知一可求二.

若令sin?+cosa=f(∕∈[-V∑,y∣2?),則sinacosct=^-y^?,sina-cosa=÷√2—t2(?

意根據(jù)a的范圍選取正、負(fù)號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

【對點訓(xùn)練】

1.[2022?上海格致中學(xué)高三模擬]已知a是第二象限角，且Sina=I,tana=.

2.已知tan0=2,貝!∣si/O+sin。CoS夕一2COS2。=()

A.--B.?C.--D.-

3445

3.已知Sina—cosa=V∑,<z∈(0,兀)，則tana=()

A.-1B.--C.—D.1

22

考點三同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用［綜合性］

［例4］已知α,［為銳角，sina=竽，sin(α一0=一察.

⑴求sin2?的值；

(2)求tan(a+/?)的值.

聽課筆記：

反思感悟利用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系

求解綜合問題的思路和要求

(1)分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)公式；

思路(2)利用公式化成單角三角函數(shù)；

(3)整理得最簡形式___________________________________________________________

(1)化簡過程是恒等變換；

要求

(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值

【對點訓(xùn)練】

1.［2022?鄲城縣第一中學(xué)高三一模偌cos(2。+兀)=工，則cosΘ=________.

4

2.［2022?遼寧沈陽市一模］已知2sin(π-a)=3sin(5+a)，則sin2ct—∣sin2(z—cos2ct=

()

A.?B.--C.--D.—

13131313

微專題15三角函數(shù)式的化簡與求值數(shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算能讓學(xué)生進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力；能有效借助運算方法解決實際問題；能夠

通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣；形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)

精神.

√io

［例］［2021?湖北宜昌期末］已知］是第三象限角，且COSa

101

⑴求tana的值;

(2)化簡并求一,3(n-α1的值.

2sιn(-α)+sιn^+αj

解析：(1)因為Q是第三象限角，COSa=一嚕，

所以sina=7?—cos2。=一亞旦所以tana=3上=3.

10cosa

(2)由(1)知tana=3,所以原式=二。Sa=c。Sa=_ι_=」_=±

-2sιna+cosa2sma-cosa2tana-12×3-l5

名師點評三角函數(shù)運算是重要的“數(shù)學(xué)運算”，在正確分析條件和所求的基礎(chǔ)上明確

運算的方向，靈活地選用三角函數(shù)公式，完成實際函數(shù)運算.

［變式訓(xùn)練］

［2022?天津一中月考］已知sina—cosa=∣(O<<x<π),則cos4β÷sin4ct的值為.

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

積累必備知識

sin

1.(l)sin2a+cos2a=1(2)tana=a

cosa

2.—sina-sinasinacosacosa-cosacosa—cosasina-sina

tana—tana-tana

3.11?Of√3-√3

。Ξ22

三、

I.答案:(D×⑵X⑶X

2.解析：因為α為銳角，所以COSa=71-siMα=∣,所以cos(兀+a)=-cosa=一|.

答案：A

l-cos22θsin22θ

3.解析:sιn2=sin2θ.

cos2θtan2θc0s2θ?θ

cos2θ

答案：sin2θ

sinθ+cosθsin2θtanθ+ltan2θ

4.解析：則絲答+shτ≈e=，將tand=2代入,

sinθsinθ+sin2θ+cos2θtanθ+tan2θ+l

得原式=含

答案：c

5.解析：Tsina=一卷＜0,，］為第三象限或第四象限角.當(dāng)a為第三象限角時，cosa

=71-SiMaT

???1@110=2吧=三.當(dāng)Q為第四象限角時,cosCC=Vl—sin2a=—

CoSa1213

?,.tana=-s-i-n-a-=———5.

cosa12

答案：亮或一V

6-解析：tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(3。。+45。)=黑黑M=白=2

+√3.

答案：D

提升關(guān)鍵能力

考點一

1.解析：原式=-Sin1200ocos1290o=-sin(3×360o+120o)?cos(3×360o+210°)=-

sin120ocos210。=-sin(1800-600)?cos(180o+30o)=sin60ocos30。=苧×當(dāng)=*

答案:?

4

2.解析:因為/(2020)=

sin2020+α)+l=

sin(1OlOπ+a)+1=sina+1=2,所以Sina=I.所以正2022)=sinɑ×2022+a)+

I=sin(1Ollπ+a)+1=—sina+1=0.

答案：0

3.解析：因為用勸

cos(≡+a)sin(--a)

cos(-π-α)tan(π-α)

-sin?(-cos?)cosa,所以

-cos

?cosa√

√25π?=cos(25πλH_1

A,--)(一丁尸803~2

答案：?

4.解析：由題意得COSC+e)=cos[π—(9—0)]=—cos償―θ)=-a,sin得一

=Sing+C—θ)j=cos(、-e)=α,所以COS管+0)+Sin管-8)=—α+α=0.

答案：O

考點二

例1解析：⑴因為tanα=膽=-

COSCt4

所以COSa=—gsinα①，

sin2ct÷cos2α=1②.

由①②得si/ɑ=去又。是第四象限角，

所以Sina<0,則sina=—∣.

(2)由tanα=-?,

得sina=-?eosa9

將其代入sin2α÷cos2a=l,得*OS2Q=1,

所以cos2a=工易知cosα<0,

3√io

所以cosa

10

故sina÷cosa=——.

答案：(I)A(2)一詈

例2解析：由上a=—1解得tanα=i

tanα-l2

sina-3cosatana-3∣-35

(z1ix)-------------=--------=--=——.

7sina+cosatana+1-+ι3'

2

22

(2)sin2a+sinacosa+2=sina+sinacosa2_tana+tana

sin2a+cos2atan2a+1

例3解析：(1)由題設(shè)知：(Sina-CoSa)2=1—2SinaCOSa=I—sin2a=5

2

?"?sin2a=—.

3

(2)由sina+cosa=：得(Sina+cos?)2=^,化簡得2sinɑeosa=-1∣<0,

因為a∈(0,π),所以Sina>0,所以COSQ<0,

所以sina—cosa=?/(sina—cosa)2=√1—2sinacosa=Ji+IH

4sin2a+cos2a+4sinacosa

(3)(2sina+cosa)2=4sin?÷cos?÷4si∏ttcosa

sin2a+cos2a

=4tana：i+4tan。=?,所以Iltan%+20tanα-4=0,解得tana=-2或tana=—,又

tanzα+l511

a∈C，n),所以tana=—2.

答案：(I)B(2)B(3)A

對點訓(xùn)練

4

1.解析：由a是第二象限角，知COSa=7?—第二a=一

5

貝miHlt*ana_=-s-ι-n-a-=—3.

cosa4

答案：一:

sin2θ+sinθcosθ-2cos2θtan2θ+tanθ-2

2.解析:sin20÷sin0cos6—2COS汨=

sin2θ+cos2θtan2θ+l

_4+2-2_4

4+15'

答案：D

3.解析：方法一由［si^α-cos,=√∑

(SinZa_|_cos」a=1

得2cos2a÷2V2cosa÷1=0,

5P(√2cosa+l)2=0,

所以CC)Sa=一冬又a￡(0,π),所以a=*,

所以tana=tan—=—1.

4

方法二因為Sina—cosa=V2,

所以√∑sin(a.g=√∑,

所以Sin(a—B)=l.

因為a∈(0,π),所以a=7，所以tana=-1.

答案：A

考點三

例4解析：(l)：a為銳角，sina=誓，,cosa=√l-siMa=Jl-(.)=?,

??cc?W2√5V54

..sιn2a=2sιn?cosa=2×-X-

(2)Va,(為銳角,Λ0<a<pOqq,?~~<~β<0,Λ~^<a-β<^,

噂<0,.?.cos(β-^)=√l-sin2(a-β)=Jl-(-?)

Vsin(a~β)=

,,3√10

10

2√53√10√5

，sinS=Sin[cc—(a—￡)]=Sincccos(a-β)-cosasin(μ