第6章 三角（基礎(chǔ)、典型、易錯、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

第6章三角（基礎(chǔ)、典型、易錯、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023秋·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀┮韵旅}正確的是（

）A．終邊重合的兩個角相等 B．小于的角都是銳角C．第二象限的角是鈍角 D．銳角是第一象限的角【答案】D【分析】根據(jù)象限角的定義判斷求解即可.【詳解】對于A,例如和終邊相同，但兩個角不相等，故A錯誤；對于B,例如，但不是銳角，故B錯誤；對于C,例如是第二象限角，但不是鈍角，故C錯誤；因?yàn)殇J角為大于小于的角，所以銳角在第一象限，故D正確.故選:D.2．（2022秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┤?，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的正負(fù)性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以在第三象限或第四象限，或終邊為y軸非正半軸，因?yàn)?，所以在第二象限或第三象限，或終邊為y軸非正半軸，所以是第三象限角.故選：C3．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┫铝懈鹘M角中兩個角終邊不相同的一組是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】根據(jù)終邊相同的角的知識求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，由于，所以和終邊相同.B選項(xiàng)，由于，所以和終邊相同.C選項(xiàng)，由于，所以和終邊相同.D選項(xiàng)，由于，所以和終邊不相同.故選：D4．（2022春·上海楊浦·高一?？计谥校┲?，，的對應(yīng)邊分別為，，且，，，那么滿足條件的三角形的個數(shù)有（

）A．一個； B．兩個； C．0個； D．無數(shù)個【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理即可求得.【詳解】有已知及余弦定理可得：故所以方程無實(shí)數(shù)根.故選：C5．（2022秋·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）若是銳角，.那么銳角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，即得.【詳解】因?yàn)?，是銳角，所以，，所以.故選：.6．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎?、是的內(nèi)角，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)大邊對大角定理、正弦定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可出結(jié)論.【詳解】在中，.所以，“”是“”的充要條件.故選：C.7．（2022春·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用反三角函數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】由題意得：.故選：D二、填空題8．（2023秋·上海徐匯·高一南洋中學(xué)校考期末）已知扇形的弧長為，其圓心角為，則該扇形的面積是____________．【答案】【分析】計算出扇形的半徑，利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】扇形圓心角的弧度數(shù)為，故該扇形的半徑為，因此，該扇形的面積為.故答案為：.9．（2023秋·上海楊浦·高一?？计谀┮阎堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)定義計算【詳解】由題意．故答案為：．10．（2022春·上海黃浦·高一格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若，則角__．【答案】【分析】由正弦余弦三角函數(shù)關(guān)系得出正切值，再根據(jù)三角形中角的性質(zhì)求出即可.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，又，所以，故答案為?11．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎堑慕K邊與角終邊關(guān)于軸對稱，則的關(guān)系是_____．【答案】##【分析】利用角與終邊關(guān)于y軸對稱的關(guān)系及周期性求解【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于y軸對稱，在一個周期中，，即，所以由周期性知，．故答案為：，．12．（2022秋·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谀┙鞘堑赺_________象限角．【答案】三【分析】利用終邊相同的角的表示判斷出與的終邊相同，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以與的終邊相同，為第三象限角.故答案為：三13．（2022春·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┤酎c(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則_________．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，所以．故答案為：.14．（2022秋·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┮阎?，則___________.【答案】##【分析】利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】.故答案為：15．（2022秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┡c終邊相同的最小正角是______．【答案】【分析】用誘導(dǎo)公式（一）轉(zhuǎn)化即可.【詳解】因?yàn)?，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.16．（2022春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校懗傻男问?，其中，則__．【答案】【分析】結(jié)合三角恒等變換公式的逆運(yùn)用即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為?17．（2022春·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┤艨苫癁?，則角的一個值可以為__．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二倍角公式和輔助角公式即可化簡得，進(jìn)而可得,即可求解.【詳解】，所以，則角的一個值可以為．故答案為：18．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┰谥?，角??所對邊分別是??，若，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【詳解】，，，.故答案為：.19．（2022春·上海虹口·高一華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┮阎?，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)的取值范圍，利用平方關(guān)系得，利用兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，則，則.故答案為：.三、解答題20．（2022春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，求的值．【答案】0【分析】將原式化為關(guān)于的式子即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?21．（2022春·上海奉賢·高一?？茧A段練習(xí)）化簡：.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值即可.【詳解】22．（2022春·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合，，，，分別求，，．【答案】；；.【分析】根據(jù)任意角的弧度表示及交集的概念即可計算.【詳解】；；分別令k＝－1，0，1，即可得：.【典型】一、單選題1．（2022春·上海徐匯·高一南洋中學(xué)校考階段練習(xí)）若的三個內(nèi)角滿足，則（

）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形【答案】C【分析】由，得出，可得出角為最大角，并利用余弦定理計算出，根據(jù)該余弦值的正負(fù)判斷出該三角形的形狀.【詳解】由，可得出，設(shè)，則，，則角為最大角，由余弦定理得，則角為鈍角，因此，為鈍角三角形，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，只需得出最大角的屬性即可，但需結(jié)合大邊對大角定理進(jìn)行判斷，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.2．（2021春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谥校M足下列條件的三角形中，有1解的個數(shù)是（

）（1）

（2）（3）

（4）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)各組條件中的兩邊一對角的值，利用正弦定理，求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)其值的大小，結(jié)合大邊對大角，判定角的解的個數(shù)，即為△ABC的解的個數(shù).【詳解】（1）又∵,∴為銳角，故有唯一解，∴滿足（1）中的條件的三角形有唯一解；（2）又∵,∴,∴為銳角，故有唯一解，∴滿足（2）中的條件的三角形有唯一解；（3）無解，∴滿足（3）中的條件的三角形無解；（4）又∵,∴,∴為銳角或鈍角，故有兩解，∴滿足（4）中的條件的三角形有兩解；故選：C.【點(diǎn)睛】由兩邊一對角判定三角形的解的個數(shù)，利用正弦定理求得這兩邊中另一邊的對角的正弦，若正弦值大于1，則無解；若正弦值等于1，則只有一解；若正弦值小于1，要結(jié)合大邊對大角進(jìn)行判定解的個數(shù).3．（2021春·高一課時練習(xí)）若角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得在第四象限，利用各象限三角函數(shù)的符號得出結(jié)論．【詳解】由題意可得在第四象限，則為正數(shù)，且，，，所以選項(xiàng)A，B，C錯誤；正確，故選：D4．（2021春·高一課時練習(xí)）若是第三象限角，則等于（

）A．1 B．-1 C． D．0【答案】B【分析】先切化弦，再根據(jù)的象限，去掉絕對值符號，即可.【詳解】解：又是第三象限角，故,所以故選：B.5．（2021春·高一課時練習(xí)）已知A是三角形的一個內(nèi)角，則的值是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有可能【答案】D【分析】將銳角、直角、鈍角帶入求值即可.【詳解】解：，故選：D.6．（2021春·高一課時練習(xí)）的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先利用誘導(dǎo)公式化為只含有兩個角的三角函數(shù)的積與和差的式子,然后逆用兩角和差的三角函數(shù)公式化為一個特殊角的三角函數(shù),從而得解.【詳解】由題意可知cos66°=sin24°，cos54°=sin36°，所以原式=cos24°cos36°cos66°cos54°=cos24°cos36°sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差的三角函數(shù)公式的逆用，關(guān)鍵是先利用誘導(dǎo)公式調(diào)整為只含有兩個角的三角函數(shù)的積與和的形式.7．（2021春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮粋€扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的中心角是A．2弧度 B．3弧度 C．4弧度 D．5弧度【答案】A【解析】設(shè)出扇形的半徑與弧長，根據(jù)面積與周長列出方程組，求解出半徑與弧長，根據(jù)弧長公式求出圓心角即為中心角.【詳解】設(shè)半徑為，弧長為，圓心角為，因?yàn)?，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用扇形的弧長和面積公式求扇形的圓心角，難度較易.已知扇形的半徑為，圓心角為，則扇形弧長為，面積為.8．（2021·上?！じ咭黄谀┦钩闪⒌牡囊粋€變化區(qū)間是A． B．C． D．【答案】A【解析】利用三角函數(shù)線解不等式得解.【詳解】如圖所示當(dāng)和時，，故使成立的的一個變化區(qū)間是.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)線的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題9．（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）中，，為邊上的中點(diǎn)，則與的外接圓的面積之比為___________.【答案】【分析】根據(jù)邊長，在中利用正弦定理求得的正弦值比，據(jù)正弦定理求得與外接圓直徑，即可得外接圓的面積之比.【詳解】因?yàn)?，，，由正弦定理?從而△與△的外接圓的半徑分別為和，∴,因此對應(yīng)外接圓的面積之比為故答案為：10．（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）為第三象限的角，且，則是第________象限的角．【答案】二【分析】根據(jù)為第三象限的角，寫出的范圍，再根據(jù)題意得，即可判斷所在象限．【詳解】因?yàn)闉榈谌笙薜慕?，有，所以，又，所以；?dāng)為偶數(shù)時，是第二象限角，滿足；當(dāng)為奇數(shù)時，是第四象限角，不滿足；故答案為二．【點(diǎn)睛】本題主要考查象限角的范圍以及三角函數(shù)值在各象限的符號．11．（2022春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考期末）在相距2千米的、兩點(diǎn)處測量目標(biāo)，若，則、兩點(diǎn)之間的距離是_______________千米．【答案】【詳解】解：由A點(diǎn)向BC作垂線，垂足為D，設(shè)AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB?sin60°=xx="6"（千米）答：A、C兩點(diǎn)之間的距離為千米．故答案為下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°又相距2千米的A、B兩點(diǎn)∴，解得AC=答：A、C兩點(diǎn)之間的距離為千米．故答案為12．（2021春·高一課時練習(xí)）若是第三象限的角，則點(diǎn)在第_________象限.【答案】二或四【分析】直接由終邊在第三象限寫出對應(yīng)角的范圍，求出的范圍，則答案可求．【詳解】由終邊在第三象限，得，．，．終邊在第二或四象限．當(dāng)終邊在第二象限時，在第四象限，當(dāng)終邊在第四象限時，在第二象限，故答案為：二或四．13．（2021春·高一單元測試）已知函數(shù)，若，則__________．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式先將中的化為,然后將中替換成，進(jìn)而再利用誘導(dǎo)公式化簡即得.【詳解】,故答案為：.14．（2021春·高一課時練習(xí)）下列四個關(guān)系式中錯誤的個數(shù)__________.①；②；③；④.【答案】3個【分析】根據(jù)三角函數(shù)和差化積公式，可直接判斷①②③，對于④先將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角函數(shù)的和差化積公式，化成積的形式，即可判斷是否正確.【詳解】由和差化積公式，可知：對于①，，故①正確；對于②，，故②錯誤；對于③，，故③錯誤；對于④，，故④錯誤.故答案為3個.15．（2021春·高一課時練習(xí)）若，則__________.【答案】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式將原式化為，再根據(jù)和差化積公式可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由所以.故答案為：.16．（2021春·高一課時練習(xí)）化為，，的形式：___________.【答案】【分析】結(jié)合余弦的和差公式，即可求解.【詳解】解：故答案為：三、雙空題17．（2021春·高一課時練習(xí)）計算下列三角比的值.__________；

__________.【答案】

【分析】根據(jù)利用兩角和與差的正弦公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)計算.【詳解】=；=；故答案為：；.18．（2021春·高一課時練習(xí)）若，，則__________，__________.【答案】

【分析】利用正弦的和差公式展開，即可求解.【詳解】解：①②①+②得，②-①得，故，故答案為：；四、解答題19．（2022春·上海虹口·高一上海財經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）證明：．【答案】證明見解析；【分析】交叉相乘，結(jié)合平方關(guān)系，即可證明.【詳解】證明：只要證只要證只要證只要證只要證得證.20．（2021春·高一課時練習(xí)）在中，已知.（1）若，，求的外接圓的面積；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理求得，利用正弦定理求得外接圓半徑，進(jìn)而計算外接圓面積；（2）利用兩角和差，二倍角公式整理化簡已知等式，得到或，然后分類研究三角形的形狀，并根據(jù)已知條件求得三角形的面積.【詳解】（1）,外接圓半徑外接圓面積為;（2）由，,得，，或，當(dāng)時，,,,S△ABC；當(dāng)時，由正弦定理得,又,所以△ABC為等邊三角形，由于,所以，所以，所以S△ABC=；所以的面積為.21．（2021春·高一課時練習(xí)）化簡：．【答案】0【分析】利用“奇變偶不變，符號看象限”化簡求值.【詳解】解：原式.故答案為：0.22．（2021春·高一課時練習(xí)）求函數(shù)的最小正周期.【答案】【分析】利用輔角公式化簡可得，再根據(jù)最小周期公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為.23．（2021春·高一課時練習(xí)）已知，求，并指出角終邊的位置．【答案】，終邊在第一、三象限【分析】直接運(yùn)算求得，分k是奇數(shù)和偶數(shù)討論終邊位置.【詳解】∵，∴，當(dāng)k是偶數(shù)時，角的終邊在第一象限，當(dāng)k是奇數(shù)時，角的終邊在第三象限,∴角終邊在一、三象限.24．（2021春·上?！じ咭黄谥校┮阎獮殇J角，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正切公式求解即可；（2）利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值即可．【詳解】（1）因?yàn)闉殇J角，且.所以，所以，

所以.（2）因?yàn)?，?/p>

所以25．（2021春·高一單元測試）已知，，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）原式除以，分子分母再同時除以即可得解；（2）由及二倍角公式求出、，再由求出、，代入的展開式即可得解.【詳解】（1）原式；（2）且，，則，，，，，，，又，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡求值、二倍角公式、兩角和的余弦公式、配湊法求三角函數(shù)值，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸和計算能力，屬于中檔題型.【易錯】一．選擇題（共2小題）1．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知角α是第二象限角，且|cos|＝﹣cos，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】根據(jù)α的范圍判斷出的范圍，再由含有絕對值的式子得到角的余弦值的符號，根據(jù)“一全正二正弦三正切四余弦”再進(jìn)一步判斷的范圍．【解答】解：由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．又∵|cos|＝﹣cos，∴cos＜0，∴是第三象限角．故選：C．【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)值的符號判斷，需要利用題中三角函數(shù)的等式以及角的范圍和“一全正二正弦三正切四余弦”，進(jìn)行判斷角所在的象限．2．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，1），將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出∠xOA的三角函數(shù)值，利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，1），∴設(shè)∠xOA＝θ，則sinθ＝＝，cosθ＝＝，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，則OB的傾斜角為θ+，則|OB|＝|OA|＝，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y＝|OB|sin（θ+）＝7（sinθcos+cosθsin）＝7（×+）＝+6＝，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）3．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知，且，則＝．【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得sinα的值，在利用誘導(dǎo)公式對原式化簡整理，把cosα和sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵∴sinα＝﹣＝﹣∴原式＝＝＝﹣2故答案為：﹣2【點(diǎn)評】本題主要考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值的問題．解題時注意三角函數(shù)的正負(fù)．4．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，則cosα＝．【分析】由二倍角公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系，計算即可．【解答】解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α，即2sin2α＝4sinαcosα；又α∈（0，π），所以sinα≠0，所以sinα＝2cosα＞0；由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)求值問題，是基礎(chǔ)題．5．（2021春?金山區(qū)校級月考）已知sinα?cosα＝，且＜α＜，則cosα﹣sinα＝﹣．【分析】根據(jù)α的范圍，確定cosα﹣sinα的符號，然后利用平方，整體代入，開方可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，所以cosα﹣sinα＜0，所以（cosα﹣sinα）2＝1﹣2＝，所以cosα﹣sinα＝﹣．故答案為：【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，注意平方關(guān)系的應(yīng)用，角的范圍以及三角函數(shù)的符號是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，推理能力．6．（2021春?金山區(qū)校級月考）在△ABC中，已知，則AC＝1或2．【分析】由已知中在△ABC中，，根據(jù)余弦定理cosA＝，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于AC的一元二次方程，解方程即可求出AC的長．【解答】解：∵在△ABC中，，由余弦定理可得：cosA＝即＝即AC2﹣3AC+2＝0解得AC＝1或AC＝2故答案為：1或2【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是余弦定理，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，構(gòu)造關(guān)于個關(guān)于AC的一元二次方程，是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）7．（2021春?寶山區(qū)校級月考）已知α，β都是銳角，sinα＝，cos（α+β）＝，求sinβ的值．【分析】由α，β都是銳角，得出α+β的范圍，由sinα和cos（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出cosα和sin（α+β）的值，然后把所求式子的角β變?yōu)椋é?β）﹣α，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入即即可求出值．【解答】解：∵，，∴0＜α+β＜π，，，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝．【點(diǎn)評】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，同時注意角度的范圍．8．（2021春?浦東新區(qū)校級月考）已知sin（3π+θ）＝．（1）求cos2θ的值；（2）求+的值．【分析】由已知求出isnθ，然后了基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式求值．【解答】解：由已知sin（3π+θ）＝，所以sinθ＝﹣，（1）cos2θ＝﹣1sin2θ＝1﹣＝；（2）+＝＝＝＝＝32．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及基本關(guān)系式的混合運(yùn)用；注意三角函數(shù)的名稱以及符號．9．（2021春?靜安區(qū)期中）已知函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx（a，b為常數(shù)且a≠0，x∈R）．當(dāng)x＝時，f（x）取得最大值．（1）計算f（）的值；（2）設(shè)g（x）＝f（﹣x），判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．【分析】首先，根據(jù)已知得到f（x）＝sin（x+θ），然后根據(jù)最值建立等式，得到a＝b，再化簡函數(shù)f（x）＝asin（x+），（1）將代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函數(shù)定義判斷奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）＝sin（x+θ），又x＝時，f（x）取得最大值．所以a＝b，f（x）＝asin（x+），所以（1）f（）＝asin（3π）＝0；（2）g（x）為偶函數(shù)．理由：設(shè)g（x）＝f（﹣x）＝asin（﹣x）＝acosx，所以函數(shù)g（﹣x）＝g（x），為偶函數(shù)．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及奇偶性的判定；屬于基礎(chǔ)題．10．（2021春?浦東新區(qū)校級月考）某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB＝2米，BC＝0.5米．上部CmD是個半圓，固定點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿（MN和AB、DC不重合）．（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時，求此時三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積；（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)S＝f（x）；（3）當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積最大？并求出這個最大面積．【分析】（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時，MN應(yīng)位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，從而可求MN的長，由三角形面積公式求面積（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，由三角形面積公式建立面積模型．當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，由三角形面積公式建立面積模型．（3）根據(jù)分段函數(shù)，分別求得每段上的最大值，最后取它們當(dāng)中最大的，即為原函數(shù)的最大值，并明確取值的狀態(tài)，從而得到實(shí)際問題的建設(shè)方案．【解答】解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時，MN應(yīng)位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，又因?yàn)镋M＝EN＝1米，所以MN＝米，所以，即三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積為（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，△EMN的面積；當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，△EMN的面積綜上可得；（3）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動時，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則f（x）＜f（0）＝；當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動，等號成立時，因此當(dāng)（米）時，每個三角形得到最大通風(fēng)面積為平方米．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數(shù)求最值以及基本不等式法等解題方法．【壓軸】一、單選題1．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若函數(shù)的定義域與區(qū)間的交集由個開區(qū)間組成，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)，將區(qū)間進(jìn)行分區(qū)，在每一個區(qū)間內(nèi)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的正負(fù)，從而得出結(jié)果?！驹斀狻亢瘮?shù)的定義域需要滿足，可以先考慮，因?yàn)樗援?dāng)時，或；當(dāng)時，或或；當(dāng)時，或或或；當(dāng)時，或或或或；這時區(qū)間自然就被分為六個區(qū)間，分別為，，，，，，然后對每一個區(qū)域分析函數(shù)的符號，根據(jù)圖象可得，當(dāng)時，，，，，所以，故滿足題意；同理可得時，，故不滿足題意；時，，故滿足題意；時，，故滿足題意；時，，故不滿足題意；時，故滿足題意.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域問題，考查了分類討論的思想方法，還考查了函數(shù)的圖象的畫法。二、填空題2．（2021春·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)?？计谥校┰O(shè)的內(nèi)角A、B、C滿足，則的最小值為________．【答案】【分析】首先利用基本不等式求得，再根據(jù)余弦定理變形得，將余切轉(zhuǎn)化為正余弦，再利用正弦定理邊角互化，轉(zhuǎn)化為，最后利用角的范圍求最值.【詳解】由題意得，另一方面，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值．故答案為：3．（2021春·上?！じ咭黄谀┰O(shè)銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為，且，，則的周長的取值范圍為______________.【答案】【分析】根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)判斷出，然后利用正弦定理將三角形的周長轉(zhuǎn)化為用來表示，從而求得的周長的取值范圍.【詳解】由于三角形是銳角三角形，所以，所以.，所以.由正弦定理得，可得，.所以.由于，所以.而在上遞增，，，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理求三角形周長的取值范圍，屬于中檔題.4．（2021春·上?！じ咭黄谀┮阎嵌x域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，都有，則______.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)解析式,利用換元法表示出.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,令代入后可求得的解析式.結(jié)合三角函數(shù)的化簡求值及對數(shù)運(yùn)算將化簡,代入解析式即可求解.【詳解】對任意實(shí)數(shù),都有令則因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)所當(dāng)時,函數(shù)值唯一,即代入可得,即化簡可得,經(jīng)檢驗(yàn)可知為方程的解而為單調(diào)遞減函數(shù),為單調(diào)遞增函數(shù)所以兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn),即只有一個根為所以而所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)解析式的求法,換元法求解析式的應(yīng)用,三角函數(shù)化簡及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用,屬于難題.5．（2022春·上海嘉定·高一?？茧A段練習(xí)）下面這道填空題，由于一些原因造成橫線上的內(nèi)容無法認(rèn)清，現(xiàn)知結(jié)論，請在橫線上填寫原題的一個條件，題目：已知、均為銳角，且，______，則.【答案】【分析】注意到，將已知條件代入上式，求得的值，由此得出正確結(jié)論.【詳解】，，，，解得.故答案為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的余弦公式，考查三角恒等變換，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題6．（2022春·上海奉賢·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，函數(shù)，設(shè).（1）求證：是函數(shù)f（x）的一個周期；（2）當(dāng)k=0時，求F（x）在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)F（x）在區(qū)間內(nèi)恰好有奇數(shù)個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或或.【分析】（1）根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，利用分類討論思想、換元法，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以是函?shù)f（x）的一個周期；（2）當(dāng)k=0時，因?yàn)?，所以，令，因?yàn)?，所以，因此，即，因?yàn)?，所以，因此有，對稱軸為：，因?yàn)?，所以?dāng)時，函數(shù)，即F（x）在區(qū)間上的最大值為；（3）當(dāng)時，由可得：，令，因?yàn)?，所以，因此，即，因?yàn)?，所以，因此，該二次函?shù)的對稱軸為：，因此當(dāng)時，該二次函數(shù)單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時，即時，有一解，當(dāng)時，即時，有一解，當(dāng)時，即時，有二解，當(dāng)時，由可得：，令，因?yàn)?，所以，因此，即，因?yàn)?，所以，因此，該二次函?shù)的對稱軸為：，因此當(dāng)時，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以所以當(dāng)時，即時，有一解，當(dāng)時，即時，有一解，當(dāng)時，即時，有二解，綜上所述：當(dāng)函數(shù)F（x）在區(qū)間內(nèi)恰好有奇數(shù)個零點(diǎn)，或或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分類討論思想，結(jié)合換元法是解題的關(guān)鍵.7．（2021春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谥校┰诜侵苯侨切沃?，角的對邊分別為.（1）若，且，判斷三角形的形狀；（2）若，（i）證明：；（可能運(yùn)用的公式有）（ii）是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的m，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件的，并證明之；若不存在，請給出一個理由.【答案】（1）等邊三角形；（2）（i）證明見解析；（ii）存在，，證明見解析.【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）（i）由正弦定理及三角形的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式可得，再由三角恒等變換即可求證；（ii）根據(jù)三角恒等變換代數(shù)式可化為，比較可知存在.【詳解】（1）由余弦定理得，將代入得到，所以為等邊三角形.（2）（i）由及正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，有，由兩角?差的余弦公式可得，整理得，故.（ii）由及半角正切公式可得，展開整理得，即，即，即，與原三角式比較可知存在且.8．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）借助三角函數(shù)定義及向量知識，可以方便地討論平面上點(diǎn)及圖象的旋轉(zhuǎn)問題.試解答下列問題.（1）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，如果終邊經(jīng)過點(diǎn)的角記為，那么終邊經(jīng)過點(diǎn)的角記為.試用三角函數(shù)定義，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，設(shè)向量，把向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得向量，試用h、k、θ表示向量的坐標(biāo)；（3）設(shè)、為不重合的兩定點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得點(diǎn)C.判斷C是不能夠落在直線上，若能，請求出θ的三角函數(shù)值（正弦、余弦、正切不限），若不能，說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)能，【分析】（1）計算出以及、的值，利用兩角和的正弦和余弦公式可求得和，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）記，，，可得出，利用兩角和的正、余弦公式可求得向量的坐標(biāo)；（3）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)在直線上可得出，分與兩種情況討論，結(jié)合反三角函數(shù)可得出角.【詳解】（1）由于點(diǎn)，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，所以，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）記，，，則，其中，，因此，；（3），由（2）可知，，即點(diǎn)，由于點(diǎn)在直線上，可得，整理得.①當(dāng)時，即當(dāng)時，，此時；②當(dāng)時，即當(dāng)時，可得，此時，.綜上所述，.9．（2021·上?！じ咭黄谀┯梅謩e表示的三個內(nèi)角所對邊的邊長，表示的外接圓半徑.（1），求的長；（2）在中，若是鈍角，求證：；（3）給定三個正實(shí)數(shù)，其中，問滿足怎樣的關(guān)系時，以為邊長，為外接圓半徑的不存在，存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在存在的情況下，用表示.【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【分析】（1）先根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)余弦定理求的長；（2）先根據(jù)余弦定理得，再根據(jù)正弦定理放縮證明結(jié)果；（3）先根據(jù)正弦定理討論三角形解的個數(shù)，再根據(jù)余弦定理求.【詳解】（1）

由正弦定理得所以（負(fù)舍）；（2）

因?yàn)?，是鈍角，所以因此；（3）當(dāng)時,不存在，當(dāng)時，不存在，當(dāng)時，存在一個，此時當(dāng)時，存在一個，此時，當(dāng)時，存在兩個，當(dāng)A為銳角時，當(dāng)A為鈍角時，【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難題.10．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習(xí)）如圖，某公司要在兩地連線上的定點(diǎn)處建造廣告牌，其中為頂端，長35米，長80米，設(shè)在同一水平面上，從和看的仰角分別為.（1）設(shè)計中是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？（2）施工完成后.與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得求的長（結(jié)果精確到0.01米）？【答案】（1）米；（2）米．【詳解】（1）由題得，∵，且，即，解得，，∴米由題得，，∵，∴米∵，∴米11．（2021春·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).（1）化簡；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【詳解】試題分析：（1）利用誘導(dǎo)公式可化簡；（2）代入已知，從而得，結(jié)合平方關(guān)系可求得值；（3）同樣由誘導(dǎo)公式化已知為，代入平方關(guān)系可求得，也即得的值．試題解析：（1）.(2)，因?yàn)?，所以，可得，結(jié)合，，所以.（3）由（2）得即為，聯(lián)立，解得，所以.點(diǎn)睛：誘導(dǎo)公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，這六公式可統(tǒng)一寫成：，，可歸納為：奇變偶不變，符號看象限．12．（2021春·上?！じ咭黄谀┮阎瘮?shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；（2）若是一個“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；（3）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當(dāng)時，的值域?yàn)?，求?dāng)時函數(shù)的值域.【答案】(1)是(2)滿足是一個“S-函數(shù)”的常數(shù)（a,b）=(3)【詳解】解：（1）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)，使得(a+x)(a-x)=b.即x2=a2-b時，對一切實(shí)數(shù)恒成立.而x2=a2-b最多有兩個解，矛盾，因此不是“S-函數(shù)”.………………3分若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得，即存在常數(shù)對（a,32a）滿足.因此是“S-函數(shù)”………6分（2）是一個“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對（a,b）滿足:則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.當(dāng)a=時，tan(a-x)tan(a+x)=-cot2(x)，不是常數(shù).……7分因此，,則有.即恒成立.……………9分即,當(dāng),時，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.