3.3 拋物線（精練）（解析版）

3.3拋物線（精練）1．（2023春·陜西西安）已知為拋物線上一點(diǎn)，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得，解得，所以，拋物線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.2．（2023春·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）拋物線上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】設(shè)，由拋物線方程化為，得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由拋物線定義可得，解得，故選：B.3．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與拋物線，則“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”時(shí)，如圖，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是此時(shí)與不相切.所以“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的不充分條件；當(dāng)“與相切”時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的必要條件.綜上，“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的必要不充分條件.故選：B4．（2023春·上海虹口·高二上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€方程，過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】點(diǎn)在拋物線上，易知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不滿足；當(dāng)直線斜率時(shí)，易知滿足條件；當(dāng)直線斜率存在且時(shí)，設(shè)直線方程為，即，，整理得到，，，解得，直線方程為.綜上所述：滿足條件的直線有2條.故選：C5．（2023春·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】A【解析】如圖，過點(diǎn)P作PH垂直于準(zhǔn)線，垂直為H，根據(jù)拋物線的定義，所以當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí).故選：A．

6．（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，

因?yàn)?，且關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點(diǎn)，所以.當(dāng)P在線段AF上時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A7．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為

拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線：又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以拋物線的方程為.故選：C.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)A是該拋物線上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，的外接圓的圓心在C上，且該圓周長等于，則p的值是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】設(shè)的外接圓的圓心為，設(shè)外接圓的半徑為，則，解得，則，根據(jù)拋物線的定義及圓心B在C上得，即，又圓心在的垂直平分線上，則，所以，即，故選：B.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，l是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若，，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，所以可得，由拋物線的定義得所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是．故選：B10．（2023春·四川成都）截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1）．觀測(cè)時(shí)它可以通過4450塊三角形面板及2225個(gè)觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時(shí)軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個(gè)FAST模型，觀測(cè)時(shí)呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)拋物線的方程為，由題可得拋物線上一點(diǎn)，代入拋物線方程可得，所以，即拋物線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：A.11．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線過點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為.由得，.

設(shè)，則.因?yàn)?，整理得，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選：D.12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【答案】C【解析】設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得，則，解得，由已知得，解得或（舍去）．故選：C.13．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎獟佄锞€，直線交該拋物線于兩點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，故，由于線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故由拋物線對(duì)稱性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直線的斜率為.故選：C14．（2023·重慶渝中）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由于焦點(diǎn)在直線上，則當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，令，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，令，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的方程為：，故選：BC.15．（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，直線與拋物線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說法中正確的是（

）A．B．準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，由直線，可化為，可得直線過定點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，可得，則，所以A正確；對(duì)于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.16．（2023春·江西九江·高二校考期末）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．的取值范圍是D．時(shí)，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)【答案】AD【解析】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，則，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程得，消去得，可得，解得且，故Ｃ錯(cuò)誤；則，故A正確；可得，易知同號(hào)，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)為直角，即以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，故D正確.故選：AD.

17．（2023春·陜西安康·高二校考期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值.【答案】4【解析】設(shè)圓心為，則為拋物線的焦點(diǎn)．設(shè)，則，要使最小，則需最大，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值是4．故答案為：4．

18．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值為．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖所示．根據(jù)拋物線的定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．

故答案為：.19．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）已知是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】由拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點(diǎn)與重合，此時(shí)與重合，即，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時(shí)，所以的最小值為.故答案為：.20．（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時(shí)的限制高度為m.【答案】3.8【解析】由題意，如圖建系：則，，，，如圖可設(shè)，拋物線方程為，將代入，可得，求得，故拋物線方程為，將代入拋物線方程，可得，.故答案為：3.8.21．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則．【答案】2【解析】設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，過的直線為，與拋物線聯(lián)立可得，，故．，故當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線有且僅有一條，即，故．故答案為：2.22．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作的一條切線，切點(diǎn)為，則的面積為【答案】/【解析】過點(diǎn)作的一條切線，該切線的斜率必定存在，可設(shè)為，則切線方程為：，由可得即，所以，故，所以，而，故的面積為.

故答案為：23．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．【答案】【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，，因?yàn)?，所以，，可得，，代入得，整理得，所以?dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為．24．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過動(dòng)點(diǎn)作拋物線的切線（斜率不為0），切點(diǎn)為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：雙曲線的一條漸近線為，又拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由題可得：，解得，故拋物線方程為：.（2）解：設(shè)過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，則，又，則，所以，，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，代入，可得，又，故；則點(diǎn)的軌跡方程為：.25．（2023春·廣東深圳·高二校考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為.(1)求；(2)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若求直線方程.【答案】(1)4(2)或【解析】（1）解：根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)為，可得，所以.（2）解：由（1）知，拋物線方程為，因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以直線斜率不為，又由焦點(diǎn)為，可設(shè)所求直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，設(shè)，可得，則又因?yàn)?，即，解得，即，所以所求直線方程為或.1．（2023·福建三明）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸上一點(diǎn)滿足，若的面積為，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為，由題意得，，若過點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，與拋物線聯(lián)立得，設(shè)，則，因?yàn)?，設(shè)，則，即，將代入中得，，如圖所示，可知，，因?yàn)椤?，所以，故，即，解得，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為，

假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為同理可得，故到拋物線準(zhǔn)線的距離為，綜上，到拋物線準(zhǔn)線的距離為.故選：B2．（2023春·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過點(diǎn)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，作，垂足為，則軸，設(shè)，則，，由拋物線的定義得，則有，在中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，，，∴，于是直線l的傾斜角為，斜率．當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得斜率為.故選：D．3．（2023·江西贛州）已知拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），以AB為直徑的圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)D.若，則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】過作垂直于準(zhǔn)線為

拋物線的焦點(diǎn)為，所以，即，拋物線為準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，設(shè),，,，可得，則，所以的中點(diǎn)為，，由圓與準(zhǔn)線相切，可得，兩邊平方，化簡可得，即直線的方程為，可得直線經(jīng)過焦點(diǎn)，則由圓與準(zhǔn)線相切于，可得，由準(zhǔn)線，且，可得，即，由，可得，即有，，直線的斜率為，所以，則所以點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為.故選：D.4．（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期末）過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】因?yàn)閳A的一條通徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，而拋物線的通徑與軸垂直，所以圓的這條通徑與軸垂直，且圓的通徑的右端點(diǎn)就是拋物線通徑的上端點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以該圓與軸垂直的通徑的右端點(diǎn)為，即拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，即.故選：C.

5．（2023春·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考期末）已知A，B，M，N為拋物線上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，且．因?yàn)榈拿娣e為，所以，代入拋物線的方程可得，則．又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為：，化簡可得：．由，得，所以，則．直線的方程，同理可得．因?yàn)?，所以四邊形的面積為．

故選：D.6．（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】D【解析】由拋物線的準(zhǔn)線為，則，故，由題意，故A正確；拋物線的準(zhǔn)線，且，以為直徑的圓的半徑，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故B正確；拋物線的焦點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以，故C正確；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消得，當(dāng)時(shí)，方程得解為，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故D錯(cuò)誤.故選：D

7．（2023春·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，過，分別作的切線交于點(diǎn)，若的面積為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由得，．因?yàn)椋?，，故．由，則，拋物線經(jīng)過點(diǎn)的切線方程是，將代入上式整理得，同理得到拋物線經(jīng)過點(diǎn)的切線方程是．解方程組得，所以．所以到直線的距離，的面積，所以故選：A8．（2023春·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谀ǘ噙x）上甘嶺戰(zhàn)役是抗美援朝中中國人民志愿軍進(jìn)行的最著名的山地防御戰(zhàn)役.在這場(chǎng)戰(zhàn)役中，我軍使用了反斜面陣地防御戰(zhàn)術(shù).反斜面是山地攻防戰(zhàn)斗中背向敵方、面向我方的一側(cè)山坡.反斜面陣地的構(gòu)建，是為了規(guī)避敵方重火力輸出.某反斜面陣地如圖所示，山腳，兩點(diǎn)和敵方陣地點(diǎn)在同一條直線上，某炮彈的彈道是拋物線的一部分，其中在直線上，拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離為100米，長為400米，，，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使得拋物線的方程為，則（

）

A． B．的準(zhǔn)線方程為C．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．彈道上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為【答案】ABD【解析】如圖所示，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸平行于，軸垂直于.此時(shí)，，，拋物線的方程為，即，解得，故A正確；拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，故，所以直線的方程為即，不妨設(shè)上一點(diǎn)為，，當(dāng)該點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，其到直線的距離最大.由可得，故，解得，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.

9．（2022秋·江西南昌·高二?？计谥校ǘ噙x）已知是拋物線內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．時(shí)，的最小值為B．的取值范圍是C．當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為D．當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，軸上存在一定點(diǎn)，都有【答案】ABD【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，設(shè)直線的方程為，，由消去x并整理得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，A正確；

對(duì)于B，顯然點(diǎn)在直線上，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，可得，由點(diǎn)在拋物線內(nèi)，知，所以的取值范圍是，B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，若，直線的斜率不存在，若，則直線的斜率，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，當(dāng)時(shí)，線段的中垂線斜率為，方程為，即，此直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段的中垂線為，過點(diǎn)，所以線段的中垂線恒過定點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，軸上存在一定點(diǎn)，都有，D正確.故選：ABD10．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知A，B是拋物線：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A．直線AB過焦點(diǎn)F時(shí)，最小值為4B．直線AB過焦點(diǎn)F且傾斜角為時(shí)，C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5D．【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線的傾斜角為，畫圖為：

根據(jù)拋物線的定義：，從圖可知，，，在中，，所以，同理，則，故當(dāng)時(shí)，故最小值為，此時(shí)垂直于軸，所以A不正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為5，故C正確；當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線不過焦點(diǎn)時(shí)，不是定值，舉例當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，即，，，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程，直線：，過點(diǎn)且方向向量為的直線與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條拋物線B．直線與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡只有一個(gè)交點(diǎn)C．D．【答案】CD【解析】將兩邊平方可得，當(dāng)時(shí)，，這表示拋物線，當(dāng)時(shí)，，表示射線，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條拋物線和一條射線，故A錯(cuò)誤，聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，令，所以直線與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為，故B錯(cuò)誤，由題意可知直線的方程為，由于直線與射線無交點(diǎn)，所以，設(shè)，所以，由于直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，所以，故C正確，由于，故D正確，故選：CD12．（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）（多選）過拋物線上一點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，與的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為，則（

）A．的準(zhǔn)線方程是B．過的焦點(diǎn)的最短弦長為2C．直線過定點(diǎn)D．若直線過點(diǎn)，則的面積為24【答案】AC【解析】將代入中得，即，則拋物線為，所以的準(zhǔn)線方程是，故A正確；拋物線的焦點(diǎn)為，可設(shè)過的焦點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，可得，設(shè)交點(diǎn)為，則，，所以，即過C的焦點(diǎn)的最短弦長為4，故B不正確；設(shè)，，直線為，聯(lián)立，可得：，所以，，又，所以，因?yàn)?，，即，所以，化簡整理得，即，得，所以直線為，所以直線過定點(diǎn)，故C正確；若直線過點(diǎn)，則，即，，所以，，直線為，即，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，故D不正確.故選：AC.13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）（多選）拋物線C：，AB是C的焦點(diǎn)弦（

）A．點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上，則的最小值為0B．以AB為直徑的所有圓中，圓面積的最小值為9πC．若AB的斜率，則△ABO的面積D．存在一個(gè)半徑為的定圓與以AB為直徑的圓都內(nèi)切【答案】ABD【解析】由題意可知：拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，若點(diǎn)P是以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線的切點(diǎn)，則，所以；若點(diǎn)P不是以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線的切點(diǎn)，則為銳角，所以；綜上所述：的最小值為0，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，當(dāng)時(shí)，取到最小值6，此時(shí)以AB為直徑的圓的面積最小，最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若AB的斜率，則，直線，即，由選項(xiàng)B可得：，點(diǎn)到直線直線的距離，所以△ABO的面積，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知：以AB為直徑的圓的圓心為，半徑，設(shè)圓的圓心為，半徑，若圓與圓內(nèi)切，則，即，整理得，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，則，解得，即圓心為，半徑的圓恒與以AB為直徑的圓都內(nèi)切，故D正確；故選：ABD.14．（2023春·云南臨滄·高二校考期末）（多選）已知拋物線，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點(diǎn)【答案】BD【解析】因?yàn)闉闇?zhǔn)線上的點(diǎn)，所以，解得，故A錯(cuò)；根據(jù)拋物線方程得到，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，整理得，同理得，所以，為方程的解，，所以，則，故B正確；由B選項(xiàng)得，所以，故C錯(cuò)；由B選項(xiàng)得，又，聯(lián)立得，同理得，所以直線AB的方程為，恒過點(diǎn)，故D正確．故選：BD．

15．（2023春·江蘇常州·）（多選）已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．直線一定過拋物線的焦點(diǎn)C．線段長的最小值為 D．【答案】ACD【解析】由拋物線可知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，故選項(xiàng)A正確；設(shè)，顯然直線存在斜率且不為零，設(shè)為，方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，因?yàn)槭窃搾佄锞€的切線，所以，即，且的縱坐標(biāo)為：，代入拋物線方程中可得的橫坐標(biāo)為：，設(shè)直線存在斜率且不為零，設(shè)為，同理可得：，且的縱坐標(biāo)為：，橫坐標(biāo)為，顯然、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，因?yàn)?，所以，因此選項(xiàng)D正確；由上可知：的斜率為，直線的方程為：，即，又，所以，所以，即，所以直線AB一定過，顯然該點(diǎn)不是拋物線的焦點(diǎn)，因此選項(xiàng)B不正確，由題意知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，，，由得，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；故選：ACD

16．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．的面積最小值為2C．當(dāng)取到最大值時(shí)，直線AP與C相切D．當(dāng)取到最大值時(shí)，【答案】AC【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為：，由消去x得：，則，

對(duì)于A，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)，此時(shí)直線方程為，由消去x得：，，直線AP與C相切，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，當(dāng)最大時(shí)，軸，顯然，即，，D錯(cuò)誤.故選：AC17．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知拋物線，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，垂足為，設(shè)，則（

）A．過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有2條B．已知曲線上的兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為10，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4C．的最小值為D．的最小值為4【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)樵趻佄锞€外，顯然過與拋物線相切的直線有2條，當(dāng)此直線與x軸平行時(shí)，與拋物線也是僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以過點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，即，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，，（當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取等號(hào)），故C正確；對(duì)于D，設(shè)，設(shè)直線的方程為，由，得，易得，則，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故D正確；故選：BCD

.

18．（2023春·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（

）A．B．若，則的面積為C．若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為D．若，則直線的傾斜角的正弦值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由拋物線的性質(zhì)可知，所以，，又因?yàn)檩S，所以，，所以，，則有，得證，所以A正確；對(duì)于B，設(shè)，由，可得，所以，代入拋物線的方程可得，可得，所以，所以B不正確；

對(duì)于C，過作垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，則，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最大，此時(shí)最小，設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即，由，可得，即直線的傾斜角為或，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，，則，所以．所以C正確；對(duì)于D，由焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即，設(shè)，，其中，，則，，，，連接，可得，則整理可得即，解得，則直線的斜率為，即，所以，故D正確．故選：ACD．19．（2023秋·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知拋物線與圓交于、兩點(diǎn)，且，直線過的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．B．C．存在某條直線，使得D．若點(diǎn)，則周長的最小值為【答案】ABD【解析】由對(duì)稱性得點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，故A選項(xiàng)正確；設(shè)直線和雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程可得：，，所以，所以：故B選項(xiàng)正確；則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線，

過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD．20．（2023春·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為P，以線段為直徑的圓P交y軸于M，N兩點(diǎn)，過P且與y軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)H，則（

）A．圓P與拋物線的準(zhǔn)線相切 B．存在一條直線l使C．對(duì)任意一條直線l有 D．有最大值，且最大值為【答案】ACD【解析】若直線軸，則直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意．設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，，因?yàn)?，，，所以，從而到?zhǔn)線的距離為，而圓P的直徑為，所以，故圓P與拋物線的準(zhǔn)線相切，選項(xiàng)A正確；由韋達(dá)定理可得，，，，所以不存在一條直線l使，選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椋?，，所以，從而，所以，由拋物線的定義可得，從而，選項(xiàng)C正確；

因?yàn)椋?，，所以圓P的直徑為，則，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，∴，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，D正確．故選:ACD．21．（2023春·江西宜春·高二灰埠中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則（

）A．拋物線為B．若，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為4C．直線與拋物線相交所得弦長最短為4D．若拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，，則的最小值為【答案】BCD【解析】因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，從而拋物線的方程是，所以A錯(cuò)誤；設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，由題可知準(zhǔn)線為，則，故B正確；拋物線的焦點(diǎn)為，直線過焦點(diǎn)，由，可得，設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為，則，所以直線與拋物線相為所得弦長，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，連接，在中，設(shè)，則，要求的最小值，即最小，即最小，所以當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，角最小，設(shè)切線方程為存在，且，由，聯(lián)立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正確.故選：BCD.22．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）（多選）已知過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．為定值－8 B．的最小值為4C．的最小值為 D．點(diǎn)的軌跡方程為【答案】ACD【解析】由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，顯然，兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，設(shè)，且，，聯(lián)立，整理可得，顯然，，，，，所以A正確；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B不正確；因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；由題意可得的中點(diǎn)，設(shè)，則，消參可得，整理可得，所以D正確．故選：ACD．23．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學(xué)?？计谀ǘ噙x）拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，為垂足，，為垂足，則下列說法正確的是（

）A．若以為圓心，為半徑的圓與相交于和，則是等邊三角形B．若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是4C．D．兩條直線，的斜率之和為定值【答案】AD【解析】因?yàn)橐詾閳A心，為半徑的圓與相交于和兩點(diǎn)，所以，又，所以為等邊三角形，故A正確；

因?yàn)椋忍?hào)當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)成立，所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值3，故B錯(cuò)誤；

設(shè)直線的方程是，代入并消去得，設(shè)，，則，.由，，得，所以，即，故C錯(cuò)誤；，，所以，故D正確.故選：AD.

24．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)與直線相切，且與圓外切的圓的方程.【答案】（答案不唯一，只需滿足即可）【解析】如下圖所示：設(shè)所求圓的圓心為，圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓的半徑為，則，且圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，則，可得，所以，圓心的軌跡方程為，則，所以，圓心的坐標(biāo)可表示為，則圓的半徑為，所以，圓的方程為，故滿足條件的一個(gè)圓的方程為.故答案為：（只需滿足即可）.25．（2023春·浙江臺(tái)州·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線及曲線均相切，切點(diǎn)分別為，若，則【答案】4【解析】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去得，則且，即，代入，得，得，得，則，則.聯(lián)立，消去得，則，且，即，將代入，得，得，得，又，所以，則，則，由，得，解得，所以或，當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：.故答案為：.26．（2023春·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考期末）已知A，B，M，N為拋物線上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為