2023年高考數(shù)學一輪復習講義：第五章平面向量與復數(shù)

第五章平面向量與復數(shù)

§5.1平面向量的概念及線性運算

【考試要求】L理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運

算，并理解其幾何意義及向量共線的含義?3.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.向量的有關概念

(1)向量：既有大小又有力囪的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)零向量：長度為止的向量，記作0.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量

法則(或幾何意義)運算律

運算

Nb

a

交換律：a+b=b+a;

加法三角形法則

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四邊形法則

減法a-b=a+(-b)

a*

兒何意義

數(shù)乘,∣2α∣=川“I，當2>0時，2。的方向與“的方向λ(∕ιa)=(λμ)a↑

相同;(λ+μ)a=λa+μa↑

當2<0時，加的方向與。的方向相反;λ(a-?-b)=λa+λb

當A=O時，Aa=O

3.向量共線定理

向量”(α≠0)與B共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)人使得b=λa.

【常用結論】

I.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向

量，即用￡+無益+用用4-----FA,,-∣A,=XjX,,特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量

和為零向量.

2.若產(chǎn)為線段48的中點，。為平面內(nèi)任意一點，則泣'=∕δλ+5h).

3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點，則莉+而+無=OoP為AABC的重心，崩=IGM

~?~AC).

4.若宓=7??+〃拉7(九〃為常數(shù))，則A,B,C三點共線的充要條件是a+p=l.

5.對于任意兩個向量4,b,都有IkII-I訓WkslWl⑷+向.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(I)IaI與Ibl是否相等，與a,5的方向無關.(√)

(2)若向量“與》同向，且間>|例，則a>b.(×)

(3)若向量初與向量δb是共線向量，則A,B,C,。四點在一條直線上.(X)

(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(J)

【教材改編題1

1.給出下列命題：

①若a與b都是單位向量，則a=b?,

②直角坐標平面上的X軸、y軸都是向量；

③若用有向線段表示的向量而與而不相等，則點M與N不重合；

④海拔、溫度、角度都不是向量.

則所有正確命題的序號是()

A.①②B.①③

C.②③D.@@

答案D

解析①錯誤，由于單位向量長度相等，但是方向不確定；②錯誤，由于只有方向，沒有大

小，故X軸、），軸不是向量；③正確，由于向量起點相同，但長度不相等，所以終點不同；

④正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.

2.下列各式化簡結果正確的是（）

A.AB+A＜J=BC

B.AM+MB+BO+OM=AM

C.AB+BC-AC=O

D-AB-AD-DC=BC

答案B

3.已知“與方是兩個不共線的向量，且向量α+勸與-S-3α）共線，則4=.

答案S

解析由題意知存在Z∈R,

使得α+M=M-（b—3α）］,

-探究

題型一平面向量的概念

例1（1）給出下列命題，正確的有（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點，且Q=皮，則四邊形ABCO為平行四邊形

C.α=Z＞的充要條件是IaI=向且“〃力

D.已知九"為實數(shù)，若/.a=μb,則。與B共線

答案B

解析A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定

有相同的起點和終點；

B正確，因為贏=灰?，所以而|=|成!且油〃皮，又4,B,C,。是不共線的四點，所以

四邊形48C。為平行四邊形；

C錯誤，當a〃Z＞且方向相反時，即使Ial=Ib也不能得到α=b,所以Ial=Ibl且a〃b不是。

=6的充要條件，而是必要不充分條件；

D錯誤，當2=〃=0時，α與》可以為任意向量，滿足癡=曲，但α與b不一定共線.

(2)如圖，在等腰梯形ABe。中，對角線AC與8。交于點尸，點E,F分別在腰AQ,BC上,

EF過點P,且E77"A8,則下列等式中成立的是()

A,AD=BCB.AC=BD

C.PE=PFD.EP=PF

答案D

【教師備選】

下列命題為假命題的是()

A.若α與b為非零向量，且a〃b,則α+5必與α或人平行

B.若e為單位向量，且a〃e,則a=∣a∣e

C兩個非零向量a,b,若|a—。I=Ial+|可，則a與方共線且反向

D.“兩個向量平行”是“這兩個向量相等”的必要不充分條件

答案B

思維升華平行向量有關概念的四個關注點

(1)非零向量的平行具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

⑷Ai是與a同方向的單位向量.

Ial

跟蹤訓練1(1)下列命題不正確的是()

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于O

C.若a,5都為非零向量，則使聲喘=O成立的條件是a與b反向共線

D.若a=》，b—c,則a=c

答案A

解析A項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；

B項，由零向量的定義知，零向量的長度為0,故B正確；

C項，因為合與言都是單位向量，所以只有當與l是相反向量，即a與b是反向共線時才

成立，故C正確；

D項，由向量相等的定義知D正確.

（2）對于非零向量α,b,%+》=0"是%∕?”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若α+?=0,

則α=-b,則α〃兒即充分性成立；若a〃b,則a=-b不一定成立，即必要性不成立，

即飛+5=0”是“all6'的充分不必要條件.

題型二平面向量的線性運算

命題點I向量加、減法的幾何意義

例2（2022?濟南模擬）已知單位向量ei，?2,…,?2023,則期+e?+…+e2023∣的最大值是>

最小值是.

答案20230

解析當單位向量e∣,€2,…，02023方向相同時，

∣eι+e2∏----He2023∣取得最大值，

∣ei+e2H----F￠2023∣—kll+k2HHe2023∣

=2023；

當單位向量e∣,C2,????e2023首尾相連時,

ei+e2+…+e2O23=O,

所以∣e1+e2T----Fe2023∣的最小值為0.

命題點2向量的線性運算

例3如圖，在四邊形A8C。中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD^2CD,E是BC邊上一點,

且反?=3比，尸是AE的中點，則下列關系式不正確的是（）

-A1——?—?

λ.BC=~^AB+AD

—?1—?1—?

BAF=^AB+-jAD

C.B>=-∣Aβ+∣AD

—*If2-

-τAB-^AD

D.CF=0?

答案C

AAAAA--A?A?A?

解析因為BC=BA+A。+OC=-AB+A。+/B=~^AB+AD,

所以選項A正確；

―?1―?1—?—?

因為A∕7=]AE=1(4B+BE)

=KAM砌,

而反=V贏+病，

-A1-A?-?

代入可得A尸=鏟B+,AO,

所以選項B正確；

因為游'=4＞一贏，

~?1-?1―?

而4尸=1A8+§4￡),

.2—]一

代入得B尸=一鏟8+養(yǎng)。，

所以選項C不正確；

因為#=歷+扇+赤

=-^AB-AD+AF9

f1-1-*

而4/=養(yǎng)3+?￡),

.fIf2f

代入得CT7=-τAB~τAD,

O3

所以選項D正確.

命題點3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

例4(2022.青島模擬)己知平面四邊形ABCO滿足Ab=I正，平面內(nèi)點E滿足讀'=3無，CD

與AE交于點M,^BM=xAB+yAD,則x+y等于()

,55

?ib--2

44

e,?D.—?

答案C

解析如圖所示，

AD

易知BC=4ADf

CE=2AD9

BM=AM-AB

=∣AE-AB

1—?―?—?

=^AB+BE)-AB

1―?——?—?

=W(AB+6AQ)-AB

2-?—?

=-^AB+2AD,

4

.?x+y=g?

【教師備選】

1.（2022?資陽模擬）在AABC中,AD為BC邊上的中線,若點。滿足?5=2?b,則無'等于（）

A.一qAB+%C2-1→

B.^AB—^AC

C.∣AB-∣ΛCD.—∣AB+∣AC

答案A

解析如圖所示,

,：D為BC的中點，

.?.ΛD=∣(AB+AC),

t

?AO=2θb9

.?AO=^AI)=^AB-?-^AC9

：.OC=AC-AO=AC-(∣AB+∣AC

=—∣AB+∣AC.

2.(2022?長春調(diào)研)在aABC中，延長BC至點M使得3C=2CM,連接AM,點N為AM上

一點且AN=%M,若AN=Λ48+"AC,則λ+μ等于()

11

-B-

A.32

11

C-D-

2?3

答案A

解析由題意，知病=g贏=/贏+的

If13->

=^AB+^×^BC

=∣A?+^(AC—AB)

1一1一

=~7AB+τAC,

O2

又病=癡+癡?,

所以％=一焉，//=|,貝!∏+A=?∣.

思維升華平面向量線性運算的常見類型及解題策略

(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.

(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.

跟蹤訓練2(1)點G為AABC的重心，設壽=α,GC=b,則B等于()

31

A.b-2aB./a—/b

C.∣α÷^?D.2a+?

答案A

解析如圖所示，由題意可知

^AB+BG=^GC9

故贏=Gb—2灰;=~一20.

(2)(2022?大連模擬)在AABC中，AD=2DB,AE=2EC,P為線段。E上的動點，^AP=λAB+

μACfλf/ER,貝!|丸+〃等于()

23

A.1BqC，2D.2

答案B

解析如圖所示，由題意知，

AE=∣AC,AD—^AB,

設麗=x5k

所以布=Q)+5>=Q)+x虎

-AD-?-χ(AE-AD)

=ΛAE+(I-X)AD

2-2―

=QXAC+g(l—x)AB,

22

所以〃=Wx,λ=^(l-X),

222

所以2+〃=]x+§(l-χ)-y

題型三共線定理及其應用

例5設兩向量”與b不共線.

(1)若最="+Z>,BC=2a+Sb,CD^3(a-b).求證：A,B,。三點共線；

(2)試確定實數(shù)化使Aα+b和。+心共線.

⑴證明'：AB=a+b,BC=2a+Sb,

CD=3(a—b).

.?Bb=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5Aβ..'.AB,而共線,

又它們有公共點8,

.?.A,B,。三點共線.

⑵解?.??α+b與α+劭共線，.?.存在實數(shù)九

使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,

.,.(k—λ)a=(λk—1)6.

Vα,b是不共線的兩個向量，

:.k——λ=λk——1=0,Λ?2——1=0,Λ?=÷l.

【教師備選】

1.已知P是aABC所在平面內(nèi)一點，且滿足該+崩+正=2初，若SAMC=6,則△/?B的

面積為()

A.2B.3

C.4D.8

答案A

解析,：PA-?-PB-\-PC=IAB=I(PB-PA),

J.3PA^PB-PC^CB,

J.PA//CB,且兩向量方向相同，

.SAABC_BC_\CB\

,.SA/MBAP∣→∣，

又SAA8C=6,S?β?β-T-2.

2.設兩個非零向量。與8不共線，若α與〃的起點相同，且α,力，∕α+b)的終點在同一條

直線上，則實數(shù)，的值為.

答案g

解析■：a,tb,g(α+Z>)的終點在同一條直線上，且a與b的起點相同，

.,.a-tb與α一;(α+A)共線，

即a—Ib與多;一?∣5共線，

存在實數(shù)λ,使a—fb=∕(∣a—切，

又a,8為兩個不共線的非零向量，

思維升華利用共線向量定理解題的策略

(l)a∕/力SQ=助(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).

⑵若a與b不共線且λa=μb,則2=//=0.

(3)OA=λOB+μOC(λf"為實數(shù))，若A,B,。三點共線，則∕l+"=l.

跟蹤訓練3(1)若a,》是兩個不共線的向量，已知質(zhì)V=a-2b,PN=2a+kb,PQ=3a-b,

若M,N,Q三點共線，則％等于()

A.-1B.1C.∣D.2

答案B

解析由題意知，

NQ=PQ-PN=a-(k+?)b,

因為M,N,。三點共線，故存在實數(shù)大,

使得訪/=2液,

即α-2B="4—(A+1)R,解得2=1,k=?.

(2)如圖，已知A,B,C是圓。上不同的三點，線段C。與線段AB交于點。(點。與點。不

重合)，若灰=疝?+∕∕δ?G,〃WR),則什"的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+∞)

C.(1,√2]D.(-1,0)

答案B

解析因為線段Co與線段AB交于點

所以。，C,。三點共線，

所以歷與山)共線，

設歷=〃?而，則加＞1,

因為沆=2萬l+∕∕5?,

所以加元＞=2總+〃協(xié)，

可得OO=-m04+m

因為A,B,。三點共線，

所以5+2=1,可得，+〃=加＞1,

mm

所以2+〃的取值范圍是(1,+∞).

課時精練

C基礎保分練

1.如圖所示，在正六邊形ABCQE尸中，晶+δb+祥等于（）

DE

cOf

β----A

A.0B.BE

CADD.CF

答案D

解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，

易得，BA+CD+BA+AF+EF

^BF+CB=CF.

2.若a,b為非零向量，則噎=方是％，b共線”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析W卷分別表示與db同方向的單位向量，育=看，則有α,b共線,而α,辦共線，

則含，卷是相等向量或相反向量，所以"1?=Q是％，力共線”的充分不必要條件?

3.設α=（A?+δb）+（應:+蘇I）,〃是一個非零向量，則下列結論不正確的是（）

A.a∕∕bB.a+b=a

C.a+b=bD.∣α+?∣=∣α∣+∣6∣

答案B

解析由題意得，α=（AB+eb）+（BC+DA）=AC+C?=O,且分是一個非零向量，所以a〃b

成立，所以A正確；由α+∕>=b,所以B不正確，C正確；由∣α+Z>∣=步|,∣α∣+∣Z>∣=網(wǎng)，

所以∣α+b∣=∣α∣+∣b∣,所以D正確.

4.（2022?汕頭模擬）下列命題中正確的是（）

A.若“〃），則存在唯一的實數(shù)力使得α=M

B.若a〃b,b〃c,W∣Ja∕7c

C.若“√>=0,則α=0或8=0

D.∣α∣-∣ft∣≤∣fl+*∣≤∣α∣+∣*l

答案D

解析若α〃從且5=0,則可有無數(shù)個實數(shù)/使得α=勸，故A錯誤；

若“〃仇?√c（*≠0）,則a〃c,若8=0,

則4,C不一定平行，故B錯誤；

若Λ??=0,也可以為aJLb,故C錯誤；

根據(jù)向量加法的三角形法則和向量減法的幾何意義知，⑷一例W∣a+MWlal+步|成立，故D正

確.

5.在平行四邊形ABeQ中，n與而交于點O,E是線段。。的中點.若最?="，BD=b,

則能等于（）

I21

A-4β?30+36

1,2,

Cqa+%D.鏟+下

答案C

解析如圖所示,

'：AC=a,BD=b,

.?AD=AO+δb

I,1,

^2a+2b'

.,.AE=AD-ED=ya+^b~τb

1l

-?+

4ft

6.下列說法正確的是（）

A.向量油與向量防的長度相等

B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同

C.向量“與》平行，則。與6的方向相同或相反

D,向量的模是一個正實數(shù)

答案A

解析A項，贏與俄的長度相等，方向相反，正確；

B項，兩個有共同起點且長度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點相同，故錯誤；

C項，向量。與平行時，若?；蚍譃榱阆蛄?，不滿足條件，故錯誤；

D項，向量的模是一個非負實數(shù)，故錯誤.

7.如圖，在平行四邊形ABCZ）中，E為BC的中點，/為Z）E的中點，若喬=Λ成+加，則

X等于（）

1

clD

4

答案C

解析連接AE（圖略），因為F為OE的中點，

-1—→

所以AF=5（AO+AE）,

—?―?—?-A1—>—?1―?

而AE=A5+3E=A5+/?=43+'AO,

-*If-

所以AF=子4。+A￡）

=XAL+贏+地）

-^AB+^AD,

→—3—

又AF=X4B+jAD,

所以x=∣.

8.莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何

圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂

點的多邊形為正五邊形，且整=耳?.下列關系中正確的是（）

∕i√乙

B

R

CD

λ.BP-TS=y^^iRS

B.&+力=呼」點

C.ES~AP^~lBQ

D.AT+BQ=^~iCR

答案A

解析由題意得，成一點=花一點=豆=1誓」忌，所以A正確；CQ+TP=PA+

2

)=6=呼1?,所以B錯誤；ES-AP=RC-QC=RQ=^~iQB,所以C錯誤；而'+的

^SD+RD,^γ^-CR=^=RD-SD,若后+麗=夸二無，則豆)=0,不符合題意，所以

D錯誤.

9.(2022?太原模擬)已知不共線向量a,h,AB=∕α-?(r∈R),AC=2a+3b,若A,B,C三點

共線，則實數(shù)t—.

2

較案—-

口呆3

解析因為A,B,C三點共線，所以存在實數(shù)使得B=盛，

所以ta~b=k(2a+3b)=2ka+3kb,

即Q-2k)α=(3k+l)4

t-2k=O,

因為α,力不共線，所以“，

3/+1=0,

10.己知AABC的重心為G,經(jīng)過點G的直線交AB于。,交AC于E,若Ab=弱,AE=μAC,

w?+Λ=-------------

答案3

解析如圖，設尸為BC的中點，

A

則AG=IA∕7=g(A8+AC),

又AC=~AEf

.'.AG=^^AD+^AE,

又G,D,E三點共線，

.?.]+4=l,即;+'=3.

3Λ3μλμ

11.若正六邊形ABCZ)EF的邊長為2,中心為O,W∣J∣EB+δb+CA∣=.

答案2√5

解析正六邊形ABCQEF中，EB+θb+CA=E?+DC+θb+CA=ED+DA=EA,

在AAE尸中，ZAFE=UOo,AF=EF=2,

.,.∣E4∣=√22+22-2×2×2×cos120o=2√3,

≡P∣?+δb+CA∣=2√3.

12.在平行四邊形ABC。中，點M為BC邊的中點，AC=λAM+μBD,則2+〃=,

答案3

解析京=4（贏+；Ab）+〃（Ab-石）

=（2~μ）AJi+Ab,

又因為啟=初+最?,

λ-//—1>['=]，

所以"解得《:

ELg

所以2+〃=/

過技能提升練

13?點P是AABC所在平面內(nèi)一點,且滿足I麗一麗1一|麗+正一2兩|=0,則AABC是

________三角形，

答案直角

解析因為點P是BC所在平面內(nèi)一點,

^?PB-PC?-?PB+PC-2PA?=0,

所以|乃|一|（兩一詼）+（元1一說）|=0,

gP∣Cβ∣=∣AB+AC∣,

所以I成一啟I=I/+@|,

等式兩邊平方并化簡得啟?贏=0,

所以元，贏，ZBAC=90°,則4ABC為直角三角形.

14.在AABC中，ZA=60o,ZA的平分線交BC于點。，若AB=4,一旦標=裁'+2贏QGR）,

貝IJ2=,AO的長為.

答案I3√3

解析VB,D,C三點共線，

13

；[+2=1，解得A=]

如圖，過。分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點M,N,

則俞=；啟，AM=-AB,

；在AABC中，N4=60。，NA的平分線交BC于。，

四邊形AMrW是菱形，

VAB=4,AN=AM=3,

ΛAD=3√3.

過拓展沖刺練

15.（2022?滁州模擬）已知P為XABC所在平面內(nèi)一點，AB+PB+PC^0,∣AB∣=∣PB∣=∣PC∣

=2,則AABC的面積為（）

A.√3B.2√3C.3√3D.4√3

答案B

解析設8C的中點為。，AC的中點為M,連接PO,MD,BM,如圖所示，

A

M,

則有麗+正=2而.

由贏+麗+元=0,

得贏=—2訪,

又。為BC的中點，M為4C的中點，

所以贏=一2成，則防=血，

貝∣JP,D,例三點共線且。為PM的中點,

又。為BC的中點，

所以四邊形CPBM為平行四邊形.

又而|=|而|=|正|=2,

所以I而=I而1=2,則IAbI=4,

且I詼I=I的=2,

所以AAMB為等邊三角形，ZBAC=60o,

則SAABC=3X2X4X坐=2yβ.

16.若2d+無+3詼=0,5ΔA0C.SAABC分別表示AAOC,Z?4BC的面積，則SAAOC：S9死

答案1：6

解析若2晶+為+3沆1=O,

設。彳=20A,OC'=30C,

可得。為△/!'BC的重心，如圖,

設SAAOB=X,S4BOC=y,SAAOC=Z,

,,

貝IJSΔΛ08=2X,S&BOC=3y,SΔΛOC=6zf

由2x=3y=6zf

可得SΔAOC:S4ABC=Z:(X+y+z)=l:6.

§5.2平面向量基本定理及坐標表示

【考試要求】1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.

會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

-落實

【知識梳理】

1.平面向量基本定理

如果e∣,e?是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量α,有且只有

一對實數(shù)2∣,λz,使α=九eι+∕e2.

我們把不共線的向量e∣,62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設4=(X1，X),)=(X2，")，則

α+Z>=(xι+x2,丫|+丫2)，(Xl—Λ?,丫1一1'2)，λa=(λx?,λy?),?a?=yjxi+y^.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設4(xι,X),B(X2，m)，則AB=(刈一XI，刀一yι),?AB∣=??∣(.xz-x?)2+(yι^-7∣)2?

4.平面向量共線的坐標表示

設a=(x”yι),b=(×2>刃)，其中b≠0,則XzH=O.

【常用結論】

已知P為線段AB的中點，若A(X乃)，B(X2,y2),則點P的坐標為(口^也，畛目；已知

?ΛBC的頂點A(XI,yl),8(X2，為)，C(x3,y3)，則∕?ABC的重心G的坐標為

網(wǎng)十m+心yi+)、+)。

V3，3y

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一組基底.(×)

(2)設a,?是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)為，μ?,彩，〃2滿足力α+4ι)=A2。+〃2瓦則九=石，

4ι="2?(J)

（3）若α=（xι,%）,?=（x2,yι）,則α/%的充要條件可以表示成￡=1.（X）

（4）平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變.（√）

【教材改編題1

1.下列各組向量中，可以作為基底的是（）

A.eι=(O,O),e2=(l,—2)

B.ei=(—1,2),e2=(5,—10)

C.e∣=(3,5),￠2=(6,10)

C2=&3、

D.eι=(2,3),

答案D

2.若尸∣(1,3),P2(4,0),且尸是線段PB的一個三等分點（靠近點多），則點尸的坐標為（）

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析設P{x,y)>

由題意知耳？=；八后,

?φ?(x~1,y-3)=β(4-1,0—3)=(1,—1),

X—1=1,X^~2.9

即，

?-3=-1,y=2?

3.已知向量a=(x,l),5=(2,χ-l),若(2。一①〃α,則X為.

答案2或一1

解析2α-?=(2χ-2,3—%),

"."(2a-b)//a,

2x—2=x(3—x),

即9一X—2=0,

解得x=2或x=-l.

■探究核心題型

題型一平面向量基本定理的應用

例1（1）在BC中，AD為BC邊上的中線，E為A拉的中點，則EB等于（）

AtABACIf3->

BaAB-WAC

C^AB+^ACD.∣ΛB+∣AC

答案A

(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個向量?λ,OB,OC,其中5λ與勵的夾角為120°,以與歷的夾

角為30。，?δA∣=∣δβ∣=l,?OC?=2yβ.^OC=λOA+μOB(λ,;∕∈R),則2+幺=.

OA

答案6

解析方法一如圖，作平行四邊形OBC4,

則δ?=旃+而，

因為蘇與無的夾角為120。，蘇與沆的夾角為30。，

所以NBloC=90。.

在Rt4OB∣C中，NoCBl=30。，∣δq=2√3,

所以I兩∣=2,I瓦下|=4,

所以|5前|=|京忑|=4,

所以δ?=4-+2(?,

所以2=4,〃=2,

所以2+〃=6.

方法二以。為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系,

則4(1,0),fif-?里)，C(3,√3).

由歷=疝!+〃δk

f3=2^?'μ=4,

得〈解得所以2+〃=6.

,—亞『4=2.

[?√3-2μ9

【教師備選】

JT

1.（2022?山東省實驗中學等四校聯(lián)考）如圖，在RIZ?ABC中，ZABC=^AC=2AB,ZBAC

的角平分線交AABC的外接圓于點。，設B=",啟="則向量Q）等于（）

C.α÷^?D.α÷∣?

答案C

解析設圓的半徑為r,

JT

在RtZVLBC中，NABC=2,AC=IAB,

所以NBAC=ZACB=V,

?o

又/BAC的角平分線交4A3C的外接圓于點D,

TT

所以ZACB=NBAD=ZCAD=V

o1

則根據(jù)圓的性質(zhì)得Bo=A3,

又因為在RtZ?ABC中，AB=2ΛC=r=OD,

所以四邊形ABOO為菱形，

所以Zi）=魂+AO=α+g力.

2.（2022?鄭州質(zhì)檢）如圖，在平行四邊形A8C。中，E,尸分別為邊A8,Be的中點，連接CE,

DF,交于點G.若δ?=∕lδb+〃為（九∕z∈R）,則。=.

AEB

答案2

解析由題圖可設&7=x函0<x<I）,

則??=x6+函=[①+；同

X―?—?

=^CD+xCB.

因為G=Zdb+〃次,詼與無不共線，

Y

所以4=2，μ=x,

所以鋁

思維升華(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進行向量的加、減或數(shù)乘運算.

(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

跟蹤訓練1(1)如圖，矩形ABC。的對角線相交于點O,E為Ao的中點，若5k=?+aAb

{λ,M為實數(shù))，則”+〃2等于()

A，Bi

A-8坎4

5

C.1D.T7

Io

答案A

解析DE=^DA÷^DO

=昴+那

1—?1—?—?

135

所以2=不"=一不故》+〃2=京

(2)如圖，以向量才1=〃，加=b為鄰邊作平行四邊形QAZ)8,BM=∣BC,C7√=∣cb,則加=

.(用a，b表示)

BD

答案2a~6b

解析?'BA=OA-OB^a-b,

：.OM=OB+BM=b+(^a~^

'J0iy=a+b,

C.σN=OCA-?cD=?δb^OD

?+??

題型二平面向量的坐標運算

例2(1)已知α=(5,-2),*=(-4,-3),若a-2b+3c=0,則C等于()

<134、C13

C.(?p于D?T'

答案D

解析Va—2b+3c=O,

Λc=-∣(α-2?).

Va-2?=(5,-2)-(-8,—6)=(13,4),

1(134A

.?c=-?(ɑ-2fr)=l-?,—?j.

(2)如圖，在直角梯形A8CD中，AB∕∕DC,ADLDC,AD=DC=IAB,E為AQ的中點，若無

^λCE+μDB(λ^∕z∈R),則2+〃的值為()

A./BC.2DT

答案B

解析建立如圖所示的平面直角坐標系,

則￡>(0,0).

不妨設AB=1,則CD=AD=2,

ΛC(2,0),A(0,2),8(1,2),￡(0,1),

3=(—2,2),CE=(-2,1),Z)β=(l,2),

?'CA=λ^+μDB,

.?.(—2,2)=晨-2,1)+〃(1,2),

r/=6

—2λ~?~μ=-2,I5,

???丁H,解得［l,

故2+∕∕=∣.

【教師備選】

己知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-l,-2),C(3,l),且說?=4b,則頂點O的坐標

為()

C.(3,2)D.(1,3)

答案A

解析設D(x,>■),

則4B=(x,y-2),詼=(4,3),

又反?=助，

思維升華向量的坐標表示把點與數(shù)聯(lián)系起來，引入平面向量的坐標可以使向量運算代數(shù)化,

成為數(shù)與形結合的載體.

跟蹤訓練2⑴向量α,b,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若C=癡+油（九"∈R）,則（

等于（）

A.IB.2

C.3D.4

答案D

解析以向量“和》的交點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系（設每個小正方形邊長

為1）,

則4(1,-1),8(6,2),C(5,-I)，

.,.a=AO=(-l,l),b=OB=(6,2),

C=謊=(—1,-3),

?c-^λcιΛ~,ιb,

?β?(-1?-3)=Λ(-1,1)÷∕z(6,2),

-2+6〃=-1,

則

λ+2μ=-39

λ—-2,

解得(__1

（2）在AABC中，點P在5C上，且麗=2正，點Q是AC的中點，若前=（4,3）,的=（1,5）,

則屁=，BC=.

答案(-3,2)(-6,21)

解析通=的一方=(1,5)—(4,3)

=(-3,2),

PC=PA+AC=PA+2AQ=(4,3)+2(-3,2)

=(-2,7).

BC=3PC=3(-2,7)=(-6,21).

題型三向量共線的坐標表示

例3(1)已知Q=(1,2+sinx),5=(2,COSx),c=(—1,2),若(a—b)〃c，則銳角X等于()

A.15oB.30o

C.45oD.60o

答案C

(2)已知在平面直角坐標系XOy中,Pl(3,l),P2(-l,3),PI,P2,B三點共線且向量萬甚與向

量α=(l,-1)共線，若旗=2褊+(1—2)?不耳，則力等于()

A.-3B.3

C.1D.-1

答案D

解析設而i=(x,>'),

則由0月〃α知x+y=O,

所以0^=(x,—x).

若5K=而K+(IT)旗，

則(x,—x)=2(3,1)÷(1—Λ)?(-1,3)

=(4λ—1,3—2A),

4Λ-l=x,

即

[3—2λ=-X,

所以42—1+3—27=0,解得2=—1.

【教師備選】

1.己知向量α=(l,2),?=(2,—2),C=(Lλ).若。〃(2α+b),則2=.

答案I

解析由題意得2α+b=(4,2),

因為c=(l,z),c∕∕(2a+b),

所以42—2=0,解得2=；

2.已知O為坐標原點，點A(6,3),若點尸在直線OA上，且∣δ>∣=3該|,P是OB的中點,

則點B的坐標為.

答案(4,2)或(一12,-6)

解析：點P在直線OA上,

:,OP//PA,

又?.?∣δ>∣=m的，

：.OP=^PA,

設點P(m,ri),

則。P=(∕%,H),24=(6一3—〃).

①若δ>=g或，

則(加，n)=^(6-∕n,3-n),

m=g(6-m),

{H=∣(3-H),

m=2,

解得

In=I,

???P(2,1),

Y尸是03的中點，ΛB(4,2).

②若δ?=一多有，

則(加，〃)=-g(6一肛3一〃)，

m=-2(6-τn),

{"=-(3+),

m=-6,

解得

n=-3,

；?P(—6,—3),

Y尸是08的中點,

ΛB(-12,-6).

綜上所述，點3的坐標為(4,2)或(一12,-6).

思維升華平面向量共線的坐標表示問題的解題策略

(1)若α=(xι,y∣),b=(x2,yi)f其中5≠0,則。〃方的充要條件是Xly2=x2)k

(2)在求與一個已知向量α共線的向量時，可設所求向量為2Λ(Λ∈R).

跟蹤訓練3平面內(nèi)給定三個向量α=(3,2),*=(-l,2),c=(4,l).

(1)若(a+h)〃(28—a),求實數(shù)左；

(2)若d滿足(d-c)〃(“+b),且Id-Cl=黃，求d的坐標.

解(l)α+kc=(3+4k,2+Z),

2*-α=(-5,2),

由題意得2X(3+4火)一(-5)X(2+Q=0,

解得太=-

(2)設d=(x,y),

則d—c=(X—4,y—1),

又α+Z>=(2,4),∣<Z-c∣=√5,

.?.d的坐標為(3,一1)或(5,3).

課時精練

過基礎保分練

1.(2022.巴中模擬)若向量油=(2,3),AC=(4,7),則心等于()

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

答案B

2.(2022?TOP300尖子生聯(lián)考)已知A(T,2),2(2,-1),若點C滿足啟+通=0,則點C的

坐標為()

?(?2)B.(—3,3)

C.(3,13)D.(-4,5)

答案D

3.下列向量組中，能表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底是()

A.α=(l,2),?=(0,0)

B.a=(l,-2),6=(3,5)

C.α=(3,2),5=(9,6)

D.α=f-1,鄉(xiāng),b=（3,—2）

答案B

4.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為4,b,c,m=（a,b）,zι=（cosB,cosA）,則

''m∕7n''是"XABC是等腰三角形”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案D

解析由m//n,

得?cosB-αcosA=O,

即sinBCoSB=sinAcosA,

所以sin2B=sin2A,

所以24=28或2A+2B=7t,

即A-B或A+B=^,

所以AABC為等腰三角形或直角三角形；

反之，ZVlBC是等腰三角形，若α=c≠Z>,

則不能得到機〃”，

所以“mHn"是"AABC是等腰三角形”的既不充分也不必要條件.

5.（2022?聊城一中模擬）在梯形A8CZ）中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是AB,CT）的中

點，AC與BO交于點M,設誦=α,AD=b,則下列結論不正確的是（）

A,AC=^a+bB.8C=~^a+b

C.BM-~?a+^bD.際=Ta+，

答案C

解析AC=AD+DC=AD+^AB=^a+b,

故A正確；

BC=BA-?-AIJ+DC=-Aβ+AI）+^AB

——^a+b,故B正確；

————7—22

BM=BA+AM--AB+^AC--^a+^^b,

故C錯誤；

-A->-A-A1-?—A1-A

EF=EA+AD+DF=