章概率隨機(jī)樣本空間

第15章15.1隨機(jī)事件和樣本空間結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系；了解隨機(jī)事件的并、交含義.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求能夠在實(shí)際問(wèn)題中抽象出隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件的概念，能夠用樣本空間去解釋相關(guān)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象(1)確定性現(xiàn)象：在一定條件下，事先就能斷定______或________某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象.(2)隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，某種結(jié)果______發(fā)生，也______不發(fā)生，事先______斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.發(fā)生不發(fā)生可能可能不能把隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)__________稱為樣本點(diǎn)，用ω表示；所有________組成的______稱為樣本空間，用Ω表示.2.樣本空間可能結(jié)果樣本點(diǎn)集合樣本空間的______稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件.事件一般用A，B，C等大寫(xiě)英文字母表示.當(dāng)一個(gè)事件僅包含____________時(shí)，稱該事件為基本事件.顯然，Ω(全集)是______事件，

(空集)是________事件.3.隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件子集單一樣本點(diǎn)必然不可能點(diǎn)睛隨機(jī)事件與基本事件的再理解(1)隨機(jī)事件是樣本空間的子集，隨機(jī)事件是由若干個(gè)基本事件構(gòu)成的，當(dāng)然，基本事件也是隨機(jī)事件.(2)必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性，是隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形.

4.事件的運(yùn)算

定義符號(hào)圖示子事件事件B發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生B?A

并事件“__________________________即為事件C發(fā)生”.這時(shí)，我們稱C是A與B的并，也稱C是A與B的和C＝A＋B

交事件“事件A與B同時(shí)發(fā)生即為事件C發(fā)生”.這時(shí)，我們稱C是A與B的交，也稱C是A與B的積C＝AB

事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生1.思考辨析，判斷正誤(1)事件“長(zhǎng)度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形”為隨機(jī)事件.(

)提示

為必然事件.(2)事件“長(zhǎng)度為2，3，4的三條線段可以構(gòu)成一直角三角形”為隨機(jī)事件.(

)提示

為不可能事件.(3)事件“方程x2＋2x＋3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為隨機(jī)事件.(

)提示為不可能事件.(4)事件“函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在定義域上為增函數(shù)”為隨機(jī)事件.()×××√2.下列事件是不可能事件的是(

)A.2022年世界杯足球賽期間不下雨B.沒(méi)有水，種子發(fā)芽C.對(duì)任意x∈R，有x＋1>2xD.拋擲一枚硬幣，正面朝上解析

A，C，D是隨機(jī)事件，B是不可能事件.B3.同時(shí)拋擲兩枚硬幣，“向上都是正面”為事件M，“向上至少有一枚是正面”為事件N，則有(

)A.M?N B.M?N

C.M＝N D.以上都不對(duì)解析

M＝{(正，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故M?N.A4.一個(gè)盒子中裝有8個(gè)完全相同的球，分別標(biāo)上號(hào)碼1，2，3，…，8，從中任取一個(gè)球，則其樣本點(diǎn)空間Ω＝_________________________________.{1，2，3，4，5，6，7，8}解析記取得球的標(biāo)號(hào)為i，則Ω＝{1，2，3，…，8}.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一事件類型的判斷【例1】

指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件： (1)某人購(gòu)買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬(wàn)元； (2)三角形的內(nèi)角和為180°； (3)沒(méi)有空氣和水，人類可以生存下去；

解(1)購(gòu)買一注彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，所以是隨機(jī)事件. (2)所有三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必然事件. (3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒(méi)有空氣和水，人類無(wú)法生存，所以是不可能事件.(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上；(5)從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號(hào)標(biāo)簽；(6)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”將會(huì)出現(xiàn).解(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件.(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4號(hào)標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件.(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”不會(huì)出現(xiàn)，所以是不可能事件.判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn)：一看條件，因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的；二看結(jié)果是否發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件.思維升華【訓(xùn)練1】

下列事件不是隨機(jī)事件的是(

)A.東邊日出西邊雨 B.下雪不冷化雪冷C.清明時(shí)節(jié)雨紛紛 D.梅子黃時(shí)日日晴解析B是必然事件，其余都是隨機(jī)事件.B題型二樣本空間的求法【例2】

下列隨機(jī)事件中，一次試驗(yàn)各指什么？試寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間. (1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣多次； (2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個(gè)元素.

解(1)一次試驗(yàn)是指“先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}. (2)一次試驗(yàn)是指“從集合A中一次選取3個(gè)元素組成集合”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.不重不漏地列舉試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)的方法(1)結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必須首先明確試驗(yàn)中的條件.(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的順序列舉出所有可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫(huà)樹(shù)狀圖、列表等方法解決.思維升華【訓(xùn)練2】

袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個(gè)球，分別寫(xiě)出以下隨機(jī)試驗(yàn)的條件和樣本空間. (1)從中任取1球； (2)從中任取2球.

解(1)條件為：從袋中任取1球.樣本空間為{紅，白，黃，黑}. (2)條件為：從袋中任取2球.若記(紅，白)表示一次試驗(yàn)中，取出的是紅球與白球，則樣本空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}.題型三事件間的運(yùn)算【例3】

盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A為“3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球”，事件B為“3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球”，事件C為“3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球”，事件D為“3個(gè)球中既有紅球又有白球”.

求：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？ (2)事件C與A的交事件是什么事件？

解

(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為：1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A＋B. (2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故CA＝A.事件間的運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.(2)利用Venn圖.借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算.思維升華【訓(xùn)練3】

在例3中，設(shè)事件E為“3個(gè)紅球”，事件F為“3個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？

解由事件C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種情況，故B?C，E?C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球2個(gè)紅球，2個(gè)白球1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以CF＝{1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球}＝D.一、牢記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1.隨機(jī)試驗(yàn)(現(xiàn)象).2.樣本空間.3.隨機(jī)事件，必然事件與不可能事件.二、掌握3種方法1.列舉法.2.列表法.3.樹(shù)狀圖法.三、注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)在列舉樣本點(diǎn)時(shí)要按照一定的順序，要做到不重、不漏.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.(多選題)已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，則下列命題為真命題的是(

)A.“若x∈A，則x∈B”是必然事件B.“若x?A，則x∈B”是不可能事件C.“若x∈B，則x∈A”是隨機(jī)事件D.“若x?B，則x?A”是必然事件解析由真子集的定義可知A，C，D是真命題，B是假命題.ACD2.下面的事件：①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值大于或等于0；②車輛到達(dá)十字路口，遇到紅燈；③當(dāng)a>0時(shí)，關(guān)于x的方程x2＋a＝0在實(shí)數(shù)集內(nèi)有解，其中是必然事件的有(

)A.① B.②

C.③ D.①②解析①是必然事件；②是隨機(jī)事件；③是不可能事件.故選A.A3.100件產(chǎn)品中，95件正品，5件次品，從中抽取6件.下列事件：①至少有1件正品；②至少有3件是次品；③6件都是次品；④有2件次品、4件正品，其中隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是(

) A.3 B.4 C.2 D.1

解析100件產(chǎn)品中，95件正品，5件次品，從中抽取6件，在這個(gè)試驗(yàn)中：至少有1件產(chǎn)品是正品為必然事件；至少有3件次品，有2件次品、4件正品為隨機(jī)事件；6件都是次品為不可能事件，所以隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是2.C4.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A為“兩彈都擊中飛機(jī)”，事件B為“兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)”，事件C為“恰有一彈擊中飛機(jī)”，事件D為“至少有一彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系不正確的是(

) A.A?D B.C?D C.A＋C＝D D.A＋B＝B＋D

解析“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，∴A＋B≠B＋D.D5.拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為X，則“X≥5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是(

)A.第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)B.第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)C.第一枚1點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)D.第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)

解析連續(xù)拋擲兩枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子點(diǎn)數(shù)之差X滿足－5≤X≤5，X∈Z，則“X≥5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn).D二、填空題6.(1)種植100棵樹(shù)苗，成活95棵是________事件； (2)某人投籃3次，投中4次是________事件.隨機(jī)不可能7.下面給出五個(gè)事件： (1)某地2月3日將下雪；(2)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在定義域上是增函數(shù)；(3)實(shí)數(shù)a，b都不為零，則a2＋b2＝0；(4)a，b∈R，則ab＝ba，其中必然事件是________；不可能事件是________；隨機(jī)事件是________.

解析(1)隨機(jī)事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪； (2)隨機(jī)事件，函數(shù)y＝ax，當(dāng)a>1時(shí)在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)在定義域上是減函數(shù)；(3)不可能事件；(4)必然事件，若a，b∈R，則ab＝ba恒成立.(4)(3)(1)(2)8.在擲一顆骰子觀察點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)中，若令A(yù)＝{2，4，6}，則用語(yǔ)言敘述事件A對(duì)應(yīng)的含義為_(kāi)___________________________________.擲一顆骰子觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)三、解答題9.連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面. (1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間； (2)“恰有兩枚硬幣正面朝上”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件？

解(1)該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)}. (2)“恰有兩枚硬幣正面朝上”這一事件包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)3個(gè)基本事件.10.擲一枚骰子，給出下列事件： A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，C為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”.

求：(1)AB，BC； (2)A＋B，B＋C.

解

由題意知：A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”＝{1，3，5}，B為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”＝{2，4，6}，C為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”＝{1，2}， (1)AB＝

，BC＝{2}＝“出現(xiàn)2點(diǎn)”； (2)A＋B＝{1，2，3，4，5，6}＝“出現(xiàn)1，2，3，4，5或6點(diǎn)”，B＋C＝{1，2，4，6}＝“出現(xiàn)1，2，4或6點(diǎn)”.11.(多選題)下列事件是隨機(jī)事件的是(

) A.函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱 B.某人給其朋友打電話，卻忘記了朋友電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，就隨意撥了一個(gè)數(shù)字，恰巧是朋友的電話號(hào)碼 C.直線y＝kx＋6是定義在R上的增函數(shù) D.若|a＋b|＝|a|＋|b|，則a，b同號(hào)

解析A為必然事件；B，C，D為隨機(jī)事件.對(duì)于D，當(dāng)|a＋b|＝|a|＋|b|時(shí)，有兩種可能：一種可能是a，b同號(hào)，即ab>0，另外一種可能是a，b中至少有一個(gè)為0，即ab＝0.BCD12.有紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號(hào)碼1，2和3，現(xiàn)任取3面，事件“三面旗幟的顏色與號(hào)碼均不相同”所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________.

解析“三面旗幟的顏色與號(hào)碼均不相同”的樣本點(diǎn)有(1紅，2黃，3藍(lán))、(1紅，2藍(lán)，3黃)、(1黃，2紅，3藍(lán))、(1黃，2藍(lán)，3紅)、(1藍(lán)，2黃，3紅)、(1藍(lán)，2紅，3黃)，共6個(gè).613.從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次. (1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間； (2)設(shè)A為“取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品”，寫(xiě)出A所包含的樣本點(diǎn)； (3)把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，其余條件不變，請(qǐng)繼續(xù)回答上述兩個(gè)問(wèn)題.

解(1)樣本空間為Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. (2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. (3)若改為取出后放回，則樣本空間