2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第四章第1節(jié)　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第四章DISIZI1ΛNG

三角函數(shù)、解三角形

第1節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

考綱要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能進(jìn)行弧度與角度的互化；3.理解任意

角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

知識(shí)分類落實(shí)r回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著抽點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

,、J按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正免、負(fù)角、零角.

(2)分類j按終邊位置不同分為象限角和軸線角

(3)終邊相同的角：所有與角。終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={夕步=α

+??360o,?∈Z}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,弧度記作rad.

⑵公式

IaI=：(弧長(zhǎng)用/表示)

角α的弧度數(shù)公式

。=焉；1

角度與弧度的換算1rad1rad=(?t

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)I=Mr

扇形面積公式5=赳=加.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(X,y),那么Sina=工，cosα=χ,

tanα=*x≠O).

(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在X軸上，余

弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角

α的正弦線,余弦線和正切線.

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制與弧度制可利用180。=兀rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制必須一致,

不可混用.

3.象限角

限

角

的

4.軸線角

∕??終邊落在刀軸上的角αα=A?π,?∈Z

線

角""［終邊落在y軸上的需{a∣a=y+Aπ,4∈z)

的

集

{a∣a=^?τr.A-∈Z∣

終邊落在坐標(biāo)軸上的角

診斷自測(cè)

，思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)小于90。的角是銳角.()

(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.()

(3)角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).()

(4)若a為第--象限角，則Sina+cosa>l.()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析⑴銳角的取值范圍是(0,。

（2）第一象限角不一定是銳角.

〉教材衍化

12

2.已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)P（—12,〃?），CoSe=一萬(wàn)，則〃7的值為（）

A.-5B.5C.±5D.+8

答案C

解析由三角函數(shù)的定義可知COSd=//,八，，；=一片,解得利=±5.

√（一⑵2+m213

3.在一720。?0。范圍內(nèi)，所有與角a=45。終邊相同的角夕構(gòu)成的集合為.

答案｛一675。，-315o｝

解析所有與角α終邊相同的角可表示為：^-45o+?×360o（?∈Z）,則令一720。W45。+%

X360o<0o（?∈Z）,得一765°WjtX360o<-45o（?∈Z）.

解得比=-2或上=-1,；/=一675。或β=-315°.

??考題體驗(yàn)

4.（2021?合肥期末）集合*|航+：WaW航+T,k∈,中的角α所表示的范圍（陰影部分）是

（）

答案C

解析當(dāng)火為偶數(shù)時(shí)，集合｛α∣E+太α<E+全后｝與｛a|gaW,表示的角終邊相同，

位于第一象限；

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，集合｛α∣?π+gαW?π+5,Z∈"ɑ牌≤α≤"表示的角終邊相同，位于

第三象限.故選C.

5.（2020.全國(guó)Il卷）若α為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

答案D

解析?.‘a(chǎn)是第四象限角，.?.sina<O,cos?>0,Λsin2α=2sinacosa<0,故選D.

6.（2021?荷澤質(zhì)檢）密位廣泛用于航海和軍事，我國(guó)采取的“密位制”是6000密位制，即將

一個(gè)圓周分成6OOO等份，每一等份是一個(gè)密位，那么60密位等于rad.

答案

U木?50

解析二周角為2兀rad,

.?.1密位=60θθ=3000(rad),

兀Tr

.'.60密位=獲而?60=否(rad).

、考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一角的概念及其表示自主演練

1.下列與角QTT詈的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()

9兀

A.2?π+45o(Λ∈Z)BA360°+W(AGZ)

C?k360°-315°(kCZ)D,Λπ+y(?∈Z)

答案C

解析與學(xué)Qjr的終邊相同的角可以寫成2E+詈QTT(Z∈Z),但是角度制與弧度制不能混用，排除

A,B,易知D錯(cuò)誤，C正確.

2.(2021?海南調(diào)研)已知α為第三象限角，貝號(hào)的終邊所在的象限是()

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

答案D

3Jr

解析為第三象限角，.??π+2Zπ<α<寧+2E,?∈Z,

.π,[3兀I~

..2+?fπ<2<^^÷kπ,?∈Z,

當(dāng)Z=2〃z,mGZ時(shí)，+2mπ<^<^+2mτt,mGZ,此時(shí)與在第二象限，

當(dāng)k-f2m~?~1,相WZ時(shí)，~+2∕Hπ<,2<^^^+2ιnτt,∕τz≡Z,

此時(shí)與在第四象限.

綜上，為終邊在第二或第四象限.

3.終邊在直線y=√lr上，且在[-2兀，2兀)內(nèi)的角α的集合為.

ff5兀2兀兀4πl(wèi)

答案Fr^T'3'TJ

解析終邊在直線y=√5x上的角ɑ的集合為

∣α∣ot=^÷?π∣,

又由α∈[―2π,2π),即一2π<1+攵兀<2兀，?≡Z,

解得女=-2,-1,0,1,

故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為｛一竽，-y,y∣.

感悟升華1.確定“α,系"GN*)的終邊位置的方法

先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出〃a或2的范圍，然后根據(jù)〃的可能取值

Ct

討論確定na或彳的終邊所在位置(也可采用等分象限角的方法).

2.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集

合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角.

考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用師生共研

【例1】已知一扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長(zhǎng)為/,若a=?R=IOcm,求：

(1)扇形的面積；

(2)扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積.

解⑴由已知得a=$R=IO,

；.S?W=%?R2=3X?∣X102=^y^(cm2).

π10π

(2)∕=a?R=gX10-—?-(cm),

11?H

S弓形=S扇形一S三角形=]?∕?R-]?R'?sin?

√350π~75√3

10—102×(Cm2).

感悟升華應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【訓(xùn)練1】(1)(2021?長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知弧長(zhǎng)4兀的弧所對(duì)的圓心角為2弧度，則這條弧所在的圓

的半徑為()

A.1B.2C.πD.2π

(2)已知扇形的周長(zhǎng)為8cm,則該扇形面積的最大值為cm2.

答案(I)D(2)4

解析(1)：孤長(zhǎng)4兀的弧所對(duì)的圓心角為2弧度，

?,.~=2,解得r=2π,

,這條瓠所在的圓的半徑為2兀.

(2)設(shè)扇形半徑為rcm,弧長(zhǎng)為/cm,

則2r+∕=8,S=；〃=；rX(8-2r)

=-r2+4r=—(r—2)2÷4,

所以SmaX=4(Cm2).

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用多維探究

角度1求三角函數(shù)值

【例2】已知角ɑ的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(一今?

，則sina?tana等于()

A-.c.-∣D.±∣

答案C

解析由0〃=；+)?=1,得?2=,,y=±坐

,sinα=坐,tanα=f,

當(dāng)y=

3

此時(shí)

sina?tana2-

當(dāng)丫=一半時(shí)，sinα=一坐,

tana=y∣3,

3

此時(shí)，

sinσ?tana2-

、3

綜上sina?tana=一另.

角度2由三角函數(shù)值求參數(shù)

4

【例3】已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)P(—8m，—6sin30°),且COSa=一§,則加的值為()

A.—^B.-2C.；D.2

答案C

解析由題意得點(diǎn)P(—8,%-3),r=√6W+9,

rPJ—8，"4

所fi以CoSa=河書=一小

所以m>0,解得J??=/

角度3三角函數(shù)值的符號(hào)

[例4](2020?北京海淀區(qū)質(zhì)量監(jiān)控)已知sin心>0且cos。<0,則角。的終邊所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析由題意及三角函數(shù)的定義可知角6終邊上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，所以

終邊在第二象限，故選B.

感悟升華1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，

確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過(guò)三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.

2.要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦

函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定南所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.

【訓(xùn)練2】⑴若SinO?cos。<0,黑^∣>0,則角。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)己知角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與X軸非負(fù)半軸重合，若A(-l,y)是角9終邊上的一

點(diǎn)，且Sino=一今續(xù)，則y=.

答案(I)D(2)-3

解析(D由黑￡>0，得盛力>°，所以COSG0.

又sinHcos。<0,所以sin所以。為第四象限角.故選D.

(2)因?yàn)镾ind=—=*<0,A(-l,y)是角。終邊上一點(diǎn)，所以y<0,由三角函數(shù)的定義，得

y_3√10

√∕+i^^1°-

解得J=-3.

考點(diǎn)四三角函數(shù)線的應(yīng)用師生共研

［例5］函數(shù)y=lg(2sinx-1)+Λ∕1—2cos無(wú)的定義域?yàn)?

Ti5兀、

答案2?π+β,2?π+^^-J(?∈Z)

解析要使函數(shù)有意義，必須有

1

2sinχ-l>0,su''>2，

即《

1—2COSX20,

COS

如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，

由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

2E+^,2Aπ+?)(k∈Z).

感悟升華1.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向上

為正，向下為負(fù)；余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負(fù).

2.利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍.

【訓(xùn)練3】若一斗α<苫，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察Sina,cosa,tana的大小關(guān)系是

答案sinavcosa<tana

解析如圖，作出角1的正弦線MP,余弦線OM,正切線AT,

觀察可知AT>0M>MP,故有sina<cosa<tana.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.（2021?西安調(diào)研）小明出國(guó)旅游，當(dāng)?shù)貢r(shí)間比北京時(shí)間晚一個(gè)小時(shí)，他需要調(diào)整手表的時(shí)間，

則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為（）

πC兀C兀C兀

??B6C^3D^6

答案B

解析因?yàn)楫?dāng)?shù)貢r(shí)間比北京時(shí)間晚一個(gè)小時(shí)，所以時(shí)針應(yīng)該是逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)

的角的弧度數(shù)為5.故選B.

2.給出下列四個(gè)命題：

①一個(gè)是第二象限角；鱷是第三象限角；③一400。是第四象限角；④一315。是第一象限角.

其中正確的命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

解析一手是第三象限角，故①錯(cuò)誤.華=π+率從而專是第三象限角，②正確.-400。=

-360°-40°,從而一400。是第四象限角，③正確.-315。=-360。+45。，從而一315。是第一

象限角，④正確.

3.（2020?天津期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若角α以X軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過(guò)點(diǎn)

（一坐，￡）,則sinα=（）

A.-2B,-C.坐Dq

答案D

解析由任意角三角函數(shù)的定義得

4.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析設(shè)扇形的半徑為，，弧長(zhǎng)為/,則由扇形面積公式可得2=肯旬戶=∕X4X∕,解得r=l,

∕=ctr=4,所以所求扇形的周長(zhǎng)為2r+∕=6.

5.若角α的終邊在直線丫=一無(wú)上，則角口的取值集合為（）

Alaa=k2π~^fk∈Zj

B.11g=&?2兀+當(dāng)?∈Zj?

CjaQ=上兀一竽，％∈z}

D.{α1=&?兀一；，女∈z]

答案D

解析由圖知，角]的取值集合為{α。=2〃兀+學(xué)，攵∈z}u

{αa=2nπ~^9?≡Z∣

={αa=（2〃+1）?！?；，?∈Z∣U

,

{αa=2nπ-^f?∈Zj

=jαa=kπ-^i?∈Z∣.

4

ON工；

\\

6.設(shè)9是第三象限角，且cosI=-cos則與是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析由。是第三象限角知，卷為第二或第四象限角，

nCn

σσ

所

以

又-=-COSS-

2co2

2,

綜上可知，3為第二象限角.

7.（2021?唐山模擬）已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)

Λ(2sina,3)(sina≠0),則cosa=()

B.—T

A，2

c?2d-23

答案A

解析由三角函數(shù)定義得tanα=云為，即黑￡=五汜，得3cosα=2si∏2α=2（l—CoS?a）,

解得COSQ=T或COSQ=-2（舍去）.故選A.

8.已知點(diǎn)一；）在角。的終邊上，且6∈[0,2π）,則。的值為（）

A5π-2兀1lπ、5兀

ATBTC-DT

答案c

解析因?yàn)辄c(diǎn)d坐，一鄉(xiāng)在第四象限，

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanO=]=一坐,

2

又e∈[0,2π）,可得。=平.

二、填空題

9.己知扇形的圓心角為會(huì)面積為冬則扇形的弧長(zhǎng)等于.

答案f

解析設(shè)扇形半徑為「，弧長(zhǎng)為/,

10.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，點(diǎn)P在角7的終邊上，且IOPl=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

答案（-1,√3）

x=IOPlCOS2π-

3X=-1,

所以V所以點(diǎn)

,P

2π-J=√3>

{），=|。PISin3,

的坐標(biāo)為（一1,√3）.

11.（2021?河北九校聯(lián)考）已知點(diǎn)P（Sin35。,cos35。）為角α終邊上一點(diǎn),若0°Wα<360°,則α

答案55o

解析由題意知COSa=Sin350=cos55°,sina=cos35o=sin55o,P在第一象限,所以Q=

55°.

12.函數(shù)y=√2cosχ-1的定義域?yàn)?

Tl71

答案2E-],2E+](?∈Z)

解析Y2cosX—120,

.>1

..cosX2'