【高考數(shù)學(xué)】新題匯編：概率（高考真題+模擬新題）

課標(biāo)理數(shù)13.K1卜福建卷］盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，

黃色球2個.若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于.

課標(biāo)理數(shù)13.K"?福建卷］【答案】I

【解析】從盒中隨機取出2個球，有Cg種取法；所取出的2個球顏色不同，有CjCj種

取法，則所取出的2個球顏色不同的概率是P=*ClCl=言6=；3.

課標(biāo)文數(shù)19.12,Kl［?福建卷］某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)X依

次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率

分布表如下：

X,l,2,3,4,“α,0.2,0.45,6,C(I)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級

系數(shù)為5的恰有2件，求a,b,C的值；

(2)在(1)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為即，及，X3,等級系數(shù)為5的2件

日用品記為力,>2，現(xiàn)從Xl，X2，X3，>,1>)2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取

出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.

課標(biāo)文數(shù)19.12、KlL福建卷］【解答】(1)由頻率分布表得。+0.2+0.45+6+c=l,即

α+?+c-0.35.

3

因為抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以。=∣j=0.15.

2

等級系數(shù)為5的恰有2件，所以c=5=0.1.

從而α=0.35—b—C=O.1.

所以α=0.1,?=O.I5,C=O.1.

(2)從日用品X”X2，%3>yi>>2中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：

｛X1,Xl｝,｛X∣,X3｝>｛X∣>%｝，｛Xl，〉2｝，｛X2，乃｝，｛X2<｝，｛》2，/2**3，丫1｝，｛口，

”｝，｛力，/｝.

設(shè)事件A表示“從日用品XI，及，X3,%，丫2中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包

含的基本事件為：

［X?>X2｝,｛x∣,X3｝，｛及，X3｝,｛yi,y2］>共4個.

又基本事件的總數(shù)為10,

4

故所求的概率P(A)=而=0.4.

課標(biāo)數(shù)學(xué)5.K1卜江蘇卷］從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另

一個數(shù)的兩倍的概率是.

課標(biāo)數(shù)學(xué)5.K1［.江蘇卷］I【解析】一次隨機抽取兩個數(shù)共有1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；

3,4,一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍的有2種，故所求概率為今

??θB8

C.∣D.∣

課標(biāo)文數(shù)9.K2卜安徽卷］D【解析】假設(shè)正六邊形的六個頂點分別為A、B、C、D、

E、F,則從6個頂點中任取4個共有15種基本結(jié)果，所取四個點構(gòu)成矩形四個頂點的結(jié)果

數(shù)為3,所以概率為去

課標(biāo)文數(shù)16.12,K2］北京卷］以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù),

乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示.

甲組乙組

990X89

1]0

(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；

(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為

19的概率.

(注：方差s2=][(χ∣-Xy+(X2—X)2H-------F(X"―X)2],其中X為X],X2，…，X"的平

均數(shù))

課標(biāo)文數(shù)16.12,K2卜北京卷]【解答】⑴當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植

樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

所以平均數(shù)為

—8+8+9+1035

X=4=不

方差為

HG節(jié)+(8韋可9書+(1。一舒]

-16?

分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，它們是：

(4,81),(Ai,

&),(A?9&),(4,&),

(Λ2,8]),(42,%),(A2，B3),(A2，&),

(A3,Bi),(43,&),(A3,%)，(A3，B4)，

(A4,Bi),(4,B?),(A4,B3),(A4,&).

用C表示：“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件,則C中的結(jié)果有4個,

41

它們是：(4,B4),(A2,&),(A3,Bi),(A4,Bi),故所求概率為P(C)=諱=J

課標(biāo)文數(shù)17.12,K2[?廣東卷]

在某次測驗中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分.用心表示編號為〃(〃=1,2,…，6)的

同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?/p>

編號幾1,234,5成績/,70,76,72,70,72⑴求第6位同學(xué)的成績稱及這6位同學(xué)成績的

標(biāo)準(zhǔn)差s；

(2)從前5位同學(xué)中，隨機地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的概率.

課標(biāo)文數(shù)17.12,K2[?廣東卷]【解答】

—16

(I)VX=7O∑n=l,X∏=75,

一5

.?.X6=6X-∑‰=6×75-70-76-72-70-72=90,

n=1

16——1

22222222

.v=e∑ι(Jt?—X)=e(5+1+3÷5+3+15)=49,

：.s=7.

(2)從5位同學(xué)中隨機選取2位同學(xué)，共有如下10種不同的取法：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}?

選出的2位同學(xué)中，恰有1位同學(xué)的成績位于(68,75)的取法共有如下4種：

{1,2},{2,3},{2,4},{2,5},

2

故所求概率為I

課標(biāo)理數(shù)4.K2卜課標(biāo)全國卷]有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組,

每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()

1123

?,?B，2e.?D1

課標(biāo)理數(shù)4.K21課標(biāo)全國卷]A【解析】甲、乙兩名同學(xué)參加小組的情況共有9種,

參加同一小組的情況有3種，所以參加同一小組的概率為3;=/1

課標(biāo)文數(shù)19.K2,12卜遼寧卷]某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品

種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成〃小塊地，在總

共2〃小塊地中，隨機選〃小塊地種植品種甲，另外〃小塊地種植品種乙.

(1)假設(shè)〃=2,求第一大塊地都種植品種甲的概率；

(2)試驗時每大塊地分成8小塊，即〃=8,試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地

上的每公頃產(chǎn)量(單位：kg∕hπ?)如下表：

品種甲,403,397,390.404,388,400,412,406品種乙,419,403,412,418,408,423,400,413分別求

品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該種植哪

一品種？

附：樣本數(shù)據(jù)Xl,X2,…，X"的樣本方差s2=%(x∣-X)?+(X2—X)2H--------F(X?—X)2],

其中丁為樣本平均數(shù).

課標(biāo)文數(shù)19.K2,12卜遼寧卷]【解答】(1)設(shè)第一大塊地中的兩小塊地編號為1,2,第

二大塊地中的兩小塊地編號為3,4,令事件A="第一大塊地都種品種甲”.

從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個：

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

而事件A包含1個基本事件：(1,2).

所以P(A)=

(2)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

Tψ=1(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

O

?=∣[32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25.

品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

—1

XZ.=Q(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

O

S?=∣[72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56.

O

由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本

方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.

課標(biāo)文數(shù)6.K2卜課標(biāo)全國卷】有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，

每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()

??B,^

1>3

c?3D4

課標(biāo)文數(shù)6.K21課標(biāo)全國卷]A【解析】甲、乙兩名同學(xué)參加小組的情況共有9種，

31

參加同一小組的情況有3種，所以參加同一小組的概率為

課標(biāo)文數(shù)18.K2[?山東卷]甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙

校1男2女.

(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名

教師性別相同的概率；

(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自

同一學(xué)校的概率.

課標(biāo)文數(shù)18?K2［?山東卷］【解答】(1)甲校兩名男教師分別用4、8表示，女教師用C

表示；乙校男教師用。表示，兩名女教師分別用E、F表示.

從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：

(A,O),(A,￡),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)共9種.

從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,E)共4種.

選出的兩名教師性別相同的概率為尸=今

(2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,

O),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15種.

從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有：

(A,B),(A,Ch(B,C),(￡>,E),(D,F),(E,F)共6種，

選出的兩名教師來自同一學(xué)校的概率為P=?=∣.

課標(biāo)理數(shù)10.K2∣?陜西卷］甲乙兩人一起去游“西安世園會”，他們約定，各自獨立地

從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景

點的概率是()

A?B9C?DI

課標(biāo)理數(shù)10?K2［?陜西卷］D【解析】對本題我們只看甲乙二人游覽的最后一個景點，

最后一個景點的選法有CAXa=36(種)，若兩個人最后選同一個景點共有C?=6(種)選法，

所以最后一小時他們在同一個景點游覽的概率為P=以黑?=/

大綱文數(shù)12.K2［?四川卷1在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一個偶數(shù)”和一個奇數(shù)6構(gòu)成以原點

為起點的向量α=(α,Z?).從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行

四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為n,其中面積等于2的平行四邊形的個數(shù)為m,

則%

)

??B5C?D?3

大綱文數(shù)12?K2［?四川卷］B【解析】因為當(dāng)??=(α∣,㈤，曲=("，仇)，則以5>，

<?為鄰邊的平行四邊形的面積S=Id>||的ISinZPOQ=?OP??OQ∣?√I-Cos2ZPOQ=

“55%而產(chǎn)一(次.麗)2=、(鬲+6S計磅一m6+M2)2=∣α也一MV.根據(jù)條件知平行四

邊形面積等于2可轉(zhuǎn)化為Mb2—s歷l=2(X).由條件知,滿足條件的向量有6個,即幻=(2,1),

02=(2,3),“3=(2,5),α√=(4,7),為=(4,3),qj=(4,5),易知九=C?=15.而滿足你)式的意向

I

量α∣和04、ɑ?和悠、。2和46共3個，即G=亍

大綱理數(shù)12.K2∣?四川卷］在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一個偶數(shù)”和一個奇數(shù)方構(gòu)成以原點

為起點的向量α=(α,b),從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行

四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為〃,其中面積不超過4的平行四邊形的個數(shù)為m,

則￡=()

??β?3CIDI

大綱理數(shù)12?K2［?四川卷］B【解析】因為當(dāng)OP=(α∣,㈤，OQ=Si,bi),則以0尸,

而為鄰邊的四邊形的面積S=?OP^OQ∣sinZPOQ^?OP??OQ?-√1-cos2ZPOQ=

^j∣?p∣2∣?β∣2-(OP??β)2=y∣(ar+c^)(b?+bi)-(aιb↑+a2b2)2=∣α也一”2611.根據(jù)條件知平行四

邊形面積不超過4可轉(zhuǎn)化為儂歷一sRW4(X).由條件知，滿足條件的向量有6個，即勾

=(2,7),a.2=(2,3),ɑj=(2,5),a√=(4,/),as=(4,3),c?=(4,5),易知"=C看=15.而滿足你)

ιγι1

式的有向量幻和"2、幻和14、幻和⑥、M和久八。2和"6共5個，即

課標(biāo)理數(shù)16.K2,K6［?天津卷］學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個

白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球.這些球除顏色外完全相同.每次游戲

從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.(每次游戲結(jié)束后

將球放回原箱)

(1)求在1次游戲中，

⑴摸出3個白球的概率；

(ii)獲獎的概率；

(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

課標(biāo)理數(shù)16.K2,K6［?天津卷］【解答】⑴⑴設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件

AG=O,1,2,3),則P(A3)=|送=/

(ii)設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B,則B=4UA3,又尸(A2)=方哥詈魯4,

一117

且42，4互斥，所以P(B)=P(Az)+P(A3)=5+5=記.

(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.

P(X=OW2=需，

P(X=I)=C?(L??)=∣?,

P(X=2)=闔2=蓋.

所以X的分布列是

O2149Q21497

x-o,1,2p,7oδ,5θ,Ioδx的數(shù)字期望x5o+2xwo=5?

課標(biāo)文數(shù)15.K2卜天津卷］編號分別為4,A2,???,A∣6的16名籃球運動員在某次訓(xùn)練

比賽中的得分記錄如下：

運動員編號4,4,ASAAAAA得分,15,35,21,28,25,36/8,34

運動員編號,A%Aio,A11,4⑵A13,A14,45,A∣6

得分,17,26,25,33,22,12,31,38(1)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格：

區(qū)間,［10,20),［20,30),［30,40］人數(shù)(2)從得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，

①用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2人得分之和大于50的概率.

課標(biāo)文數(shù)15.K2［?天津卷］【解答】(1)4,6,6.

(2)①得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運動員編號為A3,A4,4,A10-An，A13,從中隨機抽取2

人，所有可能的抽取結(jié)果有：{4，A4},{A3,4},{4，Aιo}.{Λ3,A∏},{A3,AI3),{A4,

A5}，{4，A∣o},{A4,A”}，{4，Ais},{A5>A10}，{4，A”}，{4，Al3}，{Aιo>A∣ι},{Aιo>

A13},{4u,A13},共15種.

②''從得分在區(qū)間［20,30）內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，這2個得分之和大于50”（記為

事件B）的所有可能結(jié)果有：{4,A5］,{A4,A10},{A4,Au},{4,AM，{4o,A↑↑},共5

種.

所以P（B）=卷=/.

課標(biāo)理數(shù)9.K2卜浙江卷］有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，

若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是（）

1234

A.§B.§CqD.g

課標(biāo)理數(shù)9.K2卜浙江卷］B【解析】由古典概型的概率公式得P=I—也吟產(chǎn)藥

課標(biāo)文數(shù)8.K21浙江卷］從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個

球中至少有1個白球的概率是（）

1c3-9

A?1OB1OC?5DIO

課標(biāo)文數(shù)8?K2卜浙江卷］D【解析】由古典概型的概率公式得P=IT=得.

大綱文數(shù)14.K2卜重慶卷］從甲、乙等10位同學(xué)中任選3位去參加某項活動，則所選3

位中有甲但沒有乙的概率為.

7

大綱文數(shù)14.K2卜重慶卷］A【解析】從10位同學(xué)中選3位的選法有C而種，其中有

甲無乙的選法有Cs種，故所求的概率為恁=

課標(biāo)理數(shù)4.K3卜福建卷］如圖1-1,矩形ABC。中，點E為邊CO的中點.若在矩形

A8C。內(nèi)部隨機取一個點Q,則點。取自BE內(nèi)部的概率等于()

D.----------其-----,C

圖1一1

課標(biāo)理數(shù)4.K3［福建卷］C【解析】因為SMBE=;IABMBeI，S^i=?AB?-?BC?,

則點。取自AABE內(nèi)部的概率P=管=；，故選C.

課標(biāo)文數(shù)7.K3卜福建卷］如圖1-2,矩形ABC。中，點E為邊C。的中點，若在矩形

A8CD內(nèi)部隨機取一個點Q,則點。取自AABE內(nèi)部的概率等于()

圖1一2

課標(biāo)文數(shù)TK3［2011?福建卷］C【解析】因為S板=扣劃IBcl,S=?AB???BC?,

則點。取自△>!即部的概率P=故選C.

圖1―5~

課標(biāo)理數(shù)15.K3［2(H1?湖南卷］如圖1-5,E尸GH是以。為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正

方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用力表示事件“豆子落在正方形即'G訥”，B表示

事件“豆子落在扇形。幽陰影部分)內(nèi)”，貝卜

(DR⑷=；⑵R耶尸______*

2

課標(biāo)理數(shù)15.K31湖南卷］⑴W(2)1【解析】(1)5∣sι=π,SI∣?Λ>=(√2)=2,根據(jù)幾何概

型的求法有：P(A)=用二

〉圓兀

11S,?21

(2)由NEO∕7=90°,SAEOH=WSiE方彩=］，故尸(為4)=<「""'=菱=疝

課標(biāo)文數(shù)15.H4,K3卜湖南卷］已知圓C：f+y2=12,直線/：4x+3y=25.

(1)圓C的圓心到直線/的距離為；

(2)圓C上任意一點A到直線I的距離小于2的概率為.

課標(biāo)文數(shù)15.H4,K3卜湖南卷］(1)5(2)1

【解析】(1)圓心到直線的距周為：(/=^^+[2=5

圖1—4

(2)當(dāng)圓C上的點到直線/的距離是2時有兩個點為點B與點D,設(shè)過這兩點的直線方

程為4x+3y+c=0,同時可得到的圓心到直線4x+3y+C=O的距離為OC=3,

又圓的半徑為r=2√5,可得/800=60。，由圖1—2可知點A在弧衣上移動，弧長

-----1c1bd1

IBD=qXc=q,圓周長c,故P(A)=~^—=不.

課標(biāo)理數(shù)12.K31江西卷]小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓

內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于今則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于：，則

去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為_______.

果楊堤數(shù)12K3[2(m?江西卷]【答案】H

由電

圖1—5+1

【解析】設(shè)4=｛小波周末去看電影｝，B=｛小波周末去打籃球｝，小波周末在家

看書｝,D=｛小波周末不在家看書｝,如圖1―5所示，則R功=I-RC?=1

13

I?

大綱理數(shù)18.K4,K6卜全國卷］根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,

購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設(shè)各車主購買保險相互獨立.

(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；

(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的期望.

大綱理數(shù)18.K4,K6卜全國卷］【解答】記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保

險；

8表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；

C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；

。表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買.

(I)P(A)=O.5,P(B)=0.3,C=A+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

(2)D=^C,P(D)=I一產(chǎn)(C)=I-0.8=0.2,

X-B(100,0.2),即X服從二項分布，

所以期望EX=IooXo.2=20.

大綱文數(shù)19.K4,K5［?全國卷］根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,

購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立.

(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；

(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率.

大綱文數(shù)19.K4,K51全國卷］【解答】記4表示事件：該地的1位車主購買甲種保

險；

B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；

C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；

。表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；

E表示事件：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買.

(I)P(A)=O.5,P(B)=O.3,C=A-?-B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

(2)D=~C,P(Z))=I一尸(C)=I-0.8=0.2,

P(E)=Ci×0.2×0.82=0.384.

課標(biāo)理數(shù)18.K4,K6卜湖南卷］某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷售量(件),0,1,2,3頻數(shù),1,5,9,5試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),

設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天

進貨補充至3件，否則不進典將頻率視為概率.

⑴求當(dāng)天商店不涉貨的概纂

(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

課標(biāo)理數(shù)18.K4,K6卜湖南卷］【解答】(1)P(“當(dāng)天商店不進貨”)=P("當(dāng)天商品銷

售量為0件”)十尸(“當(dāng)天商品銷售量為1件”)

=-1-+,-5-=-3-

20^20W

(2)由題意知，X的可能取值為2,3.

P(X=2)=P("當(dāng)天商品銷售量為1件")=H；

P(X=3)=P("當(dāng)天商品銷售量為0件")+P(“當(dāng)天商品銷售量為2件")+P(“當(dāng)天商

品銷售量為3件")=今1+9券+a5=*3

故X的分布列為

1?1311

X,2,3"jX的數(shù)學(xué)期望為EX=2Xχ+3><］=不

課標(biāo)文數(shù)18.12,K4卜湖南卷］某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量K單

位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān).據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)X=70時，Y

=460；X每增加10,y增加5.已知近20年X的值為：

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

(1)完成如下的頻率分布表：

近20年六月份降雨量頻率分布表

142

降雨量,70,110,140,160,200,220頻率,而,,而,,,而(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六

月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于

490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.

課標(biāo)文數(shù)18.12,K4卜湖南卷］【解答】(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，

為160毫米的有7個，為200毫米的有3個.故近20年六月份降雨量頻率分布表為

134732

降雨量,70,110,140,160,200,220頻率,而赤刀,而,市西⑵尸(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或

超過530萬千瓦時”)

=P(Y<490或Y>53O)=P(X<13O或X>210)

=P(X=70)+P(X=I10)+P(X=220)

1,3,23

=2δ+2δ+2δ=lo?

故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率

*3

??

課標(biāo)文數(shù)16.K4卜江西卷］某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別，公司

準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為4飲料，另外2杯為B

飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料.若該員工3杯都選對，

則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為合格.假設(shè)此人對A和B兩種飲料

沒有鑒別能力.

(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率；

(2)求此人被評為良好及以上的概率.

課標(biāo)文數(shù)16.K%?江西卷］【解答】將5杯飲料編號為：1,2,345,編號1,2,3表示A飲

料,編號4,5表示B飲料,則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：(123),(124),(125),

(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),可見,共有10種.

令。表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，尸表示此人被評為良

好及以上的事件，則

⑴P(Q)==

37

(2)P(E)=,,P(E)=P(E>)+P(E)=

課標(biāo)理數(shù)20.K4,K6［?陜西卷］

圖1—12

如圖1—12,A地到火車站共有兩條路徑小和小，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互

不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：

時間(分鐘),10?20,20?30,30?40,40?50,50?60Zd的頻率,0.1,0.2,0.3,0.2,0.2^2的頻

率,0,0.1,0.4,0.4,0.1現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站.

(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？

(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(1)的選擇方案，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

課標(biāo)理數(shù)20.K4,K6[?陜西卷]【解答】(1)4表示事件“甲選擇路徑卻時，40分鐘內(nèi)

趕到火車站”，

Bi表示事件“乙選擇路徑L?時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1,2.

用頻率估計相應(yīng)的概率可得

P(Al)=O.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=O.1+0.4=0.5,

?.?P(Aι)>P(A2),二甲應(yīng)選擇％;

P(BD=O.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=OJ+0.4+0.4=0.9,

VP(B2)>P(Bi),：.乙應(yīng)選擇L2.

(2)A,B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，

由(1)知P(A)=O.6,P(B)=O.9,又由題意知，A,B獨立，

.?.P(X=0)=P(7^~B)=P(T)P(^β)=0.4X0.1=0.04,

P(X=I)=P(了B+AB)=P(N)P(B)+P(A)P("β)

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6X0.9=0.54.

.?.x的分布列為

X,0,1,2^0.04,0.42,0.54.,.EX=OX0.04+IX0.42+2X0.54=1.5.

課標(biāo)文數(shù)2O.K1[?陜西卷]如圖1—13,A地到火車站共有兩條路徑心和匕，現(xiàn)隨機抽

取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

所用時間(分鐘),10?20,20?30,30?40,40?50,50?60選擇L?的人數(shù),6,12,18,12,12選擇

心的人數(shù),0,4,16,16,4

圖1—13

⑴試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；

(2)分別求通過路徑Li和心所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；

(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允

許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

課標(biāo)文數(shù)2().K1[?陜西卷]【解答】(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕

到火車站的有12+12+16+4=44人，

用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.

(2)選擇辦的有60人，選擇立的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：

所用時間(分鐘),10?20,20?30,30?40,40?50,50?60Zd的頻率,0.1,02030.2,0.2反的頻

率,0,0.1,040.4,0.1(3)4、Az分別表示甲選擇LI和二時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；

Bi,昆分別表示乙選擇心和乙2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.

由(2)知P(AD=O.1+0.2+0.3=0.6,

P(A2)=O.1+0.4=0.5,

P(AI)>P(A2),

.?.甲應(yīng)選擇LL

P(S)=O.1+0.2+0.3+0.2=0.8.

P(B2)=O.1+0.4+0.4=0.9,

P(B2)>P(Bt).

：.乙應(yīng)選擇L2.

大綱文數(shù)19.K4,K5卜全國卷］根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,

購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立.

(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；

(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率.

8表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；

C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；

。表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；

E表示事件：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買.

⑴尸(A)=O.5,P(B)=0.3,C=4+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(8)=0.8.

(2)D=^C,P(D)=1-P(Q=I-0.8=0.2,

P(E)=CgX0.2X0.82=0.384.

課標(biāo)理數(shù)12.K5卜湖北卷］在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期，從這30瓶飲料中任

取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為.(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)

課標(biāo)理數(shù)12.K5［?湖北卷］言【解析】所取2瓶全沒有過保質(zhì)期的概率為晉,

所以至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為1—裴=慧.

課標(biāo)文數(shù)13.K5卜湖北卷］在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期，從這30瓶飲料中任

取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為_______.(結(jié)果用最簡分數(shù)表不)

課標(biāo)文數(shù)13.K5卜湖北卷］能【解析】所取2瓶全沒有過保質(zhì)期的概率為忌=畜,

所以至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為1—祟=條.

大綱理數(shù)18.K5、K6［?四川卷］本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越

多，某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分

每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車

騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為上?:兩小時以上且不超過

三小時還車的概率分別為去?;兩人租車時間都不會超過四小時.

(1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量&求。的分布列及數(shù)學(xué)期望Et

大綱理數(shù)18.K5、K6［?四川卷］【解答】⑴由題意得，甲、乙在三小時以上且不超過

四小時還車的概率分別為方?

記甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件A,則

P<A>=4×2+2×4+4×4=?

答：甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為微.

(2—可能取的值有0,2,4,6,8,

P(<?=0)=∣×∣=∣;

p^=2)=l×4+2×2=?

p(<=4)=2×4+4×2+4×4=?

p(^=6)=∣×∣+∣×∣=?;

P(?=8)=∣×∣=?.

甲、乙兩人所付的租車費用之和。的分布列為

15531I5S317

'°，2,4,6,820行,正,京,正所以“<=°**+2義京+4><言+6><言+8*正=亍

大綱理數(shù)13.K5卜重慶卷］將一枚均勻的硬幣拋擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)

的次數(shù)多的概率為.

大綱理數(shù)13.K5卜重慶卷］聶【解析】將一枚均勻的硬幣投擲6次，可視作6次獨立

重復(fù)試驗.

正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的情況就是出現(xiàn)了4次、5次、6次正面，所以所

求概率為品?G)2+cQX∣)+C(I)6=技

課標(biāo)理數(shù)20.K6,K7卜安徽卷］

工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個

人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派

下一個人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別p∣,pi,

P3,假設(shè)0，P2,P3互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立.

(1)如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率.若改變?nèi)齻€

人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

(2)若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為切，仇，幻，其中印，

仇，衣是P"P2,P3的一個排列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)破；

(3)假定1>P1>P2>P3,試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的

均值(數(shù)學(xué)期望)達到最小.

課標(biāo)理數(shù)20.K6,K7［?安徽卷］【解析】本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散

型隨機變量及其分布列、均值等基本知識，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括

能力、合情推理與演繹推理，分類討論思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.

【解答】(1)無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是(l-p∣)(l-P2)(l

—曲)，所以任務(wù)能被完成的概率與三個人被派出的先后順序無關(guān)，并等于

1-(1一0)(1-〃2)(1-P3)=P1+p2+p3-piP2-P2P3-P30+p0P3?

(2)當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為夕1，仇，鉛時，隨機變量X的分布

列為

X,1,2,3∕?］,(1一3)仇,(1-qD(l一伙)所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)EX是

EX=切+2(1一夕］)仇+3(1一切)(1一伙)

=3-2^1-?2÷^l√2.

(3)(方法一)由(2)的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，

EX=3~2p?~p2+p?p2.

根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.

下面證明：對于Pl，P2,P3的任意排列切，伙，夕3，都有

3—24|一飲+夕聞223—2pi-P2+0P2，(*)

事實上，

/=(3-2/一伙+夕同2)—(3-2pi-p2+p∣p2)

=2(pi-印)+3—仇)一〃1〃2+410

=2(PLql)+(p2-q2)~~(PLql)P2-qi(P2-q2)

=(2-p2)(p∣-^ι)+(l-^ι)φ2-<72)

2(1一團)［(pι+"2)一(切+伙)］

≥0.

即(*)成立.

(方法二)⑴可將⑵中所求的EX改寫為3—(切+伙)+542一如若交換前兩人的派出順序,

則變?yōu)?—(q1+q2)+q∣42^-伙，由此可見，當(dāng)42>qι時，交換前兩人的派出順序可減小均值.

(ii)也可將(2)中所求的EX改寫為3—2S—(1一夕|)仇，若交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?/p>

2>-2q?-[?-q?)qi,由此可見，若保持第一個派出加人選不變，當(dāng)外?42時，交換后兩人的

派出順序也可減小均值.

綜合(i)(ii)可知，當(dāng)(s，/，公)=(/力，P2,pa)時，EX達到最小，即完成任務(wù)概率大的人

優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.

課標(biāo)理數(shù)17.12,K6,K8[?北京卷]以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵

數(shù)，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示.

甲組,,乙組9,9,0,X,8,9

1,1,1,0圖1一8

(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；

(2)如果X=9,分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)y

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(注：方差s2=%(χ∣-Xy+(X2—X)2H------F(χ,,-X)2],其中X為X1，X2，…，X"的平

均數(shù))

課標(biāo)理數(shù)17.12,K6,K8[?北京卷]【解答】(1)當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)

__Q-LQ-I-Q-I-inas

的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10.所以平均數(shù)為G=-ζ-=y；

方差為$21(8—引2+(8—引2+(9—引2+

0θ-y)2]=?

(2)當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9,9,11,11：乙組同學(xué)的植樹棵

數(shù)是:9,8,9,10.

分別從甲、乙兩組中隨機選取1名同學(xué)，共有4X4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植

樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.

事件“y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以

21

該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y=I7)=??=[

IO0

同理可得p(y=i8)=；；p(y=19)=1：

P(y=20)=∣;P(K=21)=∣.

40

所以隨機變量丫的分布列為：

K17,18,19,20,21?,∣,∣,7?y=17×P(y=17)+18×P(y=18)+19×P(y=19)+20×P(y

0M-440

=20)+21XP(Y=21)

=17×∣+18×∣+19×∣+20×∣+21×∣

O444÷0

=19.

大綱理數(shù)18.K4,K6[?全國卷]根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種,保險的概率為0.5,

購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設(shè)各車主購買保險相互獨立.

(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；

(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的期望.

大綱理數(shù)18.K4,K6卜全國卷]【解答】記4表示事件：該地的1位車主購買甲種保

險；

3表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險;

C表示事件：該