安徽省十校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021級高二下學(xué)期4月期中考數(shù)學(xué)(人教A版)試題

本試卷分第I卷(選擇題)和第U卷(非選擇題)兩部分.滿分150分，考試時

間120分鐘.請在答題卡上作答.

一、選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的

1.在正項等比數(shù)列｛4｝中,%+%=5,%+%=20,則｛%｝的公比等于()

a??b?2c?4d-±2

答案：B

解析：設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為4,則^==4，

解得4=2(負值舍去).

故選：B.

2設(shè)1加1(4+3-"43)=-10,貝"'(4)=()

V

ArToAχ'

A.-5B.-20C.5D.20

答案：A

解析：Iim八4+?)_/?_?x)=2Iim/⑷+泡-2-醺)-2/(4)=70,即

?Λ→0ΔΛAtTO2?x一

∕,(4)=-5.

故選：A.

3.已知函數(shù)/(x)導(dǎo)函數(shù)為r(χ),則“>=∕'(x)在(0,2)上有兩個零點”是“/(無)在

(0,2)上有兩個極值點”的()

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：D

解析：只有當(dāng)/'(x)在(0,2)上有兩個變號零點時，/(x)在(0,2)上才有兩個極值點，故

充分性不成立；若/(x)在(0,2)上有兩個極值點，則r(χ)在(0,2)上有兩個變號零點，

則/'(X)在(0,2)上至少有兩個零點，故必要性不成立.綜上，“尸(X)在(0,2)上有兩個零

點''是"/(x)在(0,2)上有兩個極值點”的既不充分也不必要條件，

故選：D.

4.傳說古代希臘的畢達哥拉斯在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題：把1,3,6,10,叫做三角形數(shù)；把

1,4,9,16,叫做正方形數(shù)，則下列各數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()

A.36B.49C.64D.81

答案：A

解析：三角形數(shù)：1,3,6,10,,可得其通項公式為％=；

正方形數(shù)：1,4,9,16,,可得其通項公式為a=A?,

'an=49,4=64,%=81均無正整數(shù)解,且b7=49也=64也=81,

所以49,64，81是正方形數(shù)不是三角形數(shù)，

又?.6=36,4=36,.?.36既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù).故選：A.

5.某廠安排5名工人到三個崗位值班，每名工人只去一個崗位，每個崗位至少安排1名工人,

則安排工人甲、乙到同一個崗位值班的方法數(shù)為()

A.24B.36C.60D.90

答案：B

解析：依題意，可分兩步安排：

第一步，將5人分為3個小組，按小組人數(shù)可分為2人、2人、1人和3人、1人、1人兩類,

2人、2人、1人分組，甲、乙同組，另外3人中，選出2人同組，有C；種方法，

3人、1人、1人分組，除甲、乙的另外3人中，選出1人與甲、乙同組，剩余2人各自一組,

有C；種方法，

.?.第一步共有C：+C；種方法；

第二步，將3組分別安排到三個崗位，有A：種方法，

...滿足題意的安排方法數(shù)有(c；+CDA：=(3+3)x6=36種.故選：B.

6.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,α,=(2〃一I)Sin皇，則立必=()

A.-1012B.1012C.-2024D.2024

答案：C

解析：=(2〃-I)Sin萬，

.71..3Tl.

則aλ=sin—=1,a2=3sinπ=O,%=5sin?=-5,a4-7sin2π=0,

a5=9,4=0,%=—13,%=0，

.?.4+%+4+%=-4,%+&+%+/=—4,依次類推，

，々2021+β2022+。2023+β2024=T'

*

..S2O24=4+%+/+4++?024=506(α∣+/+/+4)=506X4)=-2024.

故選：C.

7.已知a=l+C‰2+Co22+C023++C^2">,則。被10除所得的余數(shù)為()

A.9B.3C.1D.O

答案：C

解析：?α=l+C12+Co22+0o23++C∞220=(1+2)20=320=910.

109829

.?.a=(IO-I)=Cθ010'°+CJ0IO(-l)+Cf010(-l)++C^010(-l)+1,又

ιl0982

qoιo,c]oιo(-1),croιo(-1),fc：°io(—i)9都是10的倍數(shù)，

?X被10除所得的余數(shù)為1.故選：C

8.在等比數(shù)列｛4,,｝中，4=1,4=9,函數(shù)/(x)=x(x-q)(X—。2)…(X—4o)，則

/⑼=()

A.0B,1C.-3'°D.310

答案：D

解析：^g(x)=(x-0∣)(x-a2)?(?v-010)-則

〃X)=Xg(X),????f(x)=g(x)+xg'(x),(O)=g(O)=a/％?io>

數(shù)列｛α,,｝是等比數(shù)列，且4=1,%=9,

10

.'.ai?ato-a2?ag=a3?aii-a4?a7-a5?a6-9,.'.f'^O)-g(0)-al?a2?10—3.

故選：D.

二.多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.)

9.若曲線〃x)=2d+χ-3的一條切線垂直于直線x+7y-l=0,則切點的坐標(biāo)可以是

()

A.(0,-3)B.(1,0)C.(-1,-6)D.(2,15)

答案：BC

解析：由題意，

在直線x+7y-1=0中，>=一！％+1

77

設(shè)切點為尸(分，人)，

/(X)=2ΛJ+X-3中，∕,(X)=6X2+1,一條切線垂直于直線x+7y—1=0

.?.∕'(XO)=6片+1=7,解得x0=±l,

當(dāng)Λ0=1時，%=/(%)=2+1-3=0,此時點P的坐標(biāo)為(1,0)；

當(dāng)/=-1時，％=/(%)=—2—1—3=-6,此時點尸的坐標(biāo)為(―1,-6).

故選：BC.

10.下列各式正確的是()

0

?-Co=C/B,Cj0+Cj0+Cj0++C,θ=2^

C?A：I=西FD/+":=A解

答案：AD

解析：對于A,由C：=C；"'得CO=CI,A正確；

對于B,Go+(?+(?++C∞=220-l,B錯誤;

-∣n?n?

對于C‘Aa"wFY"1)曠西而'C錯誤；

對于D,("+DA"。］)?溫r所鏢旬『A*D≡

故選：AD

11.已知正項數(shù)列｛4｝前”項和為s“，且滿足4S.=(α,,+l)2()

A.數(shù)列&｝是等差數(shù)列B.q=l

C.數(shù)列｛向+4｝不是等差數(shù)列D.S20=400

答案：ABD

,22

解析：數(shù)列｛q,｝中，?∕ι∈N,a,,>0,4S,,=(a,,+l),當(dāng)〃≥2時，4S,1.∣=(a,,-1+1),

則44=a：+2an+l-(<l+2a?_,+1),即(%+anJ(aπ-a?_,)=2(an+a?_,),

因此α,,一α,ι=2,而44=(4+if,解得％=1,即數(shù)列｛α,,｝是首項為1,公差為2的

等差數(shù)列，A,B都正確：

%=4+2(〃-1)=2〃-1,S,,=""」)=",叵+a,,=3n-Λ,

于是(歷+。,出)一(底+%)=3(〃+1)—1一(3〃-1)=3,數(shù)列｛#7+"“｝是等差數(shù)列,

C錯誤；

2

S2O=2O=4OO,D正確.

故選：ABD

—X>0

12.已知函數(shù)"x)=Je，'，若函數(shù)g(x)=/(X)-I恰有3個零點，則實數(shù)

2xi-mx-3,x≤0

用的值可以為()

A.5B.6C.7D.8

答案：CD

解析：令g(x)=∕(x)-1=0,解得/(χ)=l,故問題轉(zhuǎn)化為方程/(x)=l恰有3個實數(shù)

根.

2

當(dāng)x>0時，令一=1,解得％=ln2,

e

故當(dāng)x<0時，方程/(x)=l有2個實數(shù)根.

令2d—Mx—3=1，即Zr?-4=Znr，顯然X=O不是該方程的根，

.*.m-2X2--.?^(X)=2X2--(X<0),

XX

則心)=4X+%≤?1L1?上,

XJr廠

故當(dāng)x<-l時，夕'(x)<0,當(dāng)χ>-l時，°'(x)>0,

故當(dāng)尸一1時，e(x)有極小值6,而χ→-8時，^(χ)→+∞,當(dāng)x<O,且χ→0時，

夕(X)->+∞,

故實數(shù)〃?的取值范圍為(6,+8).故選：CD

第∏卷(非選擇題共90分)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.在(3x-l)6的展開式中，含/的項的系數(shù)為.

答案：135

解析：在(3x-1)，展開式中，第&+1項為M=C：(3X嚴(yán)(一1);C>36-*(TyX6M,

0≤Z≤6,左∈N,

令％=4,得含有產(chǎn)的項的系數(shù)為c：?32.(-1)4=135

故答案為：135.

14.某鄉(xiāng)村道路上有12盞照明路燈，為了節(jié)約用電，需要關(guān)閉其中兩兩不相鄰的4盞，但

考慮行人夜間出行安全，兩端的路燈不能關(guān)閉，則關(guān)燈方案的種數(shù)為.(用數(shù)字

作答）

答案：35

解析：由題意得，讓4盞需要關(guān)閉的燈插空到8盞亮燈的7個空中，有C；=35種關(guān)燈方案.

故答案為：35

15.已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S,，若q>0,公差d<0,當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時，S“取

得最大值，則&的取值范圍是.

a

答案：（一30,-18）

?>0a1+7d>0∩

解析：由題意得，<八，即1+8公。’解得一8</一7.又

佝<0

S∣,=12q+66d,.?.也=」+66,玉的取值范圍是（-30,-18）.

ddd

故答案為：（-30,-18）

16.如圖，某款酒杯的上半部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為96cm2的正三角形.若

在該酒杯內(nèi)放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，當(dāng)放置的圓柱形冰塊的

體積最大時，其高度為__________cm.

答案：√3

解析：由題意作出圓錐軸截面的平面圖，如圖所示，過等邊三角形ABC頂點。作

CDlAB,則Ar）=BZ），NACO=NfiCO=30°,

設(shè)圓錐底面圓的半徑為RCm,則AQ=R,Ae=2R,

所以8=JAC2-AD2=√4/?2-/?2=√3∕?-

因為圓錐的軸截面是面積為96cπ√，

所以LAB?CD=L?2R/R=拒R2=9下,

22

解得R=3,

易知冰塊體積最大時上底與杯口齊平,

設(shè)圓柱形冰塊的底面圓半徑為XCm,其中0<χ<3,高為Acm,則AP=(3-X)C加,

NPhf-

在RjAPN中，IanZNAP=——=——=下,

AP3-X

則∕Z=6(3-X)(0<X<3),

設(shè)圓柱形冰塊的體積為Vcm3,

則V=Gπχ2.(3-X)(O<χ<3).

設(shè)/(X)=招πr2(3-x)(0<x<3),

則∕,(X)=3^7U(2-X),

當(dāng)0<x<2時，f↑χ)>Oi

當(dāng)2<無<3時，∕,(χ)<0,

?/(χ)在X=2處取得極大值，也是最大值，

即/(x)ma×="2)=4后，

所以∕ι=gχ(3—2)=JL

故當(dāng)放置的圓柱形冰塊的體積最大時，其高度為JKm,

故答案為：G?

四、解答題（本題共6小題，第17題10分，第1822題每題12分，共70分.解

答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.）

17.若(l+∕nx)"=4)+qx+a2》？+，+4/"'其中%=—252.

(1)求實數(shù)加的值；

(2)求(q+/+%+%+為『-(%+/+04+4+4+4。)二

答案：(1)-1

(2)0

1.由題意，

在(l+mx)o=<?+α∣x+o2χ2++α∣oX∣°中，a5=-252,

?.?(1+小)’°展開式的通項為小=C%?(皿)*=C：。?“f,

a5=-A/?=-252,

解得：∕w=-l.

2.由題意及(1)得，

l

在(l+mrjo=%+qx+02χ2++α10x°Φ,

令X=],得。()+4+/+/++Go=。，

2α+fl++α2+fl+a+fl-flα-fla

.?.(01+α3+α5+6z7+α9)-(αo+α2+46?∣o)=(?ι2+ιo)(o+ι2+~?o)

18.已知數(shù)列｛aj滿足：a2=-6,4=0,αn+2+α,l=2α,,+1,

(1)求｛4,｝的通項公式；

(2)若數(shù)列3,氣,％,,?,是等比數(shù)列，且K=8,求女“關(guān)于”的表達式?

答案：⑴an=2n-W

(2)ξ,=3×2/,-'+5

aa

?--4+2+n~2a〃+i9??Cln+2~4+1=4"+l—n

所以數(shù)列｛qj是等差數(shù)列，

設(shè)其公差為"，則I=X2=2,

3

,

..an=a2+^n-2)d=2/1-10.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為q=2〃70.

2.?(1)知％=2〃一10,二.%“=2勺-10.

因為數(shù)列3,氣,氣，,”，是等比數(shù)列，且乂=8,

.?.數(shù)列3,%,%,,akn,的公比q=牛=3∣1°=2,

由等比數(shù)列的通項公式可得4“=3x2”

2(,—10=3X2",.?.k,,=3×2"-'+5

19.(1)用五種不同的顏色給下圖中的四塊區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域顏色不同，則一共

有多少種不同的涂色方法？

(2)記正方體中兩條平行的棱為一對“平行棱”，現(xiàn)從正方體所有棱中任取4條，要求至少

得到2對“平行棱”，則一共有多少種不同的取法？

答案:(1)180；(2)207

解析：(1)若選擇四種顏色，則有A；=120種不同的涂色方法;

若選擇三種顏色，則有C；A；=60種不同的涂色方法,

故一共有120+60=180種不同的涂色方法.

(2)正方體中一共有3組，每組4條分別平行的直線，則：

若4條棱中恰有2對“平行棱”，則2對分別來自不同2組，每組2條，不同的取法有

C?C=IO8種;

若4條棱中恰有3對“平行棱”，則3對分別來自不同2組，一組1條，一組3條，則不同的

I

取法有Cie：C；=96種；

若4條棱中恰有6對“平行棱”，則6對均來自同一組，一組4條，則不同的取法有C；C；=3

種.

故從所有棱中任取4條，且至少得到2對“平行棱”一共有108+96+3=207種不同的取法.

20.若函數(shù)/(x)=2Sin(X+0)(0<0<?),且/(x)+/'(x)為偶函數(shù).

(I)求9的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(X)+x,xw(0,2π),求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

..Tt

答案：(1)-

4

(2)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,^,2πj,單調(diào)遞減區(qū)間是5π13兀

l2,~12^

1./(x)+∕,(x)=2sin(x+?c>)+2cos(x+?9)=2V2sinlx+φjr兀-I,

4

/(χ)+/'(X)為偶函數(shù)，則夕+：=E+],Z∈Z,.?.夕=：+EZ∈Z,

π

又0＜夕＜兀，.?.°二一；

4

ππ

2.由(1)知/(x)=2SinX+一，則g(x)=2sinXH--+x,x∈(θ,2π),

44

π

則，(X)=2cosX+一+l,x∈(θ,2π),

4

令g'(x)>0,得O<x<—，或——<%<2π;令g'(x)<0,得二<%<——,

v'1212`,1212

故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［θ,^∣%,2π；單調(diào)遞減區(qū)間是5π13n]

^12,"12^J-

21.已知數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S“，滿足25.=%+|+2(〃-2)且4=4.

(1)求證：｛%-1｝是等比數(shù)列；

(I—11

(2)設(shè)a=」一，數(shù)列抄“｝的前〃項和為《，求證：Tn<-.

anan+?8

答案：(1)證明見解析

(2)證明見解析

［由2Sn=%+2(〃-2)得:2S.T=q+2(〃-3)(〃N2),

兩式相減得2(S“一Si)=α,用一4+2,則2?！?%+∣-α,,+2,

所以%7=3(α,,T("≥2),

又4=4,則2α∣=%+2x(l—2),解得4=10,滿足4-1=3(α∣-1),

綜上，a”+1-1=3(?！耙?)(〃∈N*),又α∣-l=3,

所以｛凡一1｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.

ππ

2由(1)知：an-l=3×3-'=3,則α.=3"+l,

1y

hn-?-_,,fl+1-?p___/