高中數(shù)學(xué)選擇性課時(shí)評價(jià)5-2-1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

三十四基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(15分鐘30分)1．(2021·徐州高二檢測)若函數(shù)f(x)＝x2，則f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為()A．2xB．2C．3D．4【解析】選B.因?yàn)閒′(x)＝2x，所以f′(1)＝2.2．下列結(jié)論正確的是()A．若y＝cosx，則y′＝sinxB．若y＝sinx，則y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】選C.因?yàn)?cosx)′＝－sinx，所以A不正確；因?yàn)?sinx)′＝cosx，所以B不正確；因?yàn)?eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，所以D不正確．3．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，則下列α的值中滿足條件的是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(2,3)πD．eq\f(5,6)π【解析】選A.因?yàn)閒(x)＝sinx，所以f′(x)＝cosx.又因?yàn)閒′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，所以α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z).當(dāng)k＝0時(shí)，α＝eq\f(π,3).4．已知直線y＝kx是曲線y＝3x的切線，則k的值為________．【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0).因?yàn)閥′＝3xln3，所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x，又因?yàn)?x0，y0)在曲線y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，所以x0＝eq\f(1,ln3)＝log3e.所以k＝eln3.答案：eln35．求曲線y＝eq\f(1,x)與y＝x2在它們交點(diǎn)處的兩曲線的切線與x軸所圍成的三角形的面積．【解析】聯(lián)立兩條曲線方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1).因?yàn)閗1＝－eq\f(1,x2)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝1＝－1，k2＝2x))|x＝1＝2，所以兩條切線的方程分別為x＋y－2＝0，2x－y－1＝0，與x軸所圍成的圖形如圖(陰影部分)所示．因?yàn)閮蓷l切線與x軸的交點(diǎn)分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).所以三角形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))×1＝eq\f(3,4).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．下列命題正確的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x)B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3xln3D．(lnx)′＝ex【解析】選C.根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知，(logax)′＝eq\f(1,xlna)，(3x)′＝3xln3，(lnx)′＝eq\f(1,x).所以A，B，D均不正確，C正確．2．已知曲線y＝x3在點(diǎn)(2，8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b＝()A．4B．－4C．28D．－28【解析】選C.因?yàn)閥′＝3x2，所以點(diǎn)(2，8)處的切線斜率k＝f′(2)＝12.所以切線方程為y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，所以k＝12，b＝－16，所以k－b＝28.3．若曲線y＝eq\r(x)在點(diǎn)P(a，eq\r(a))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是()A．4B．－4C．2D．－2【解析】選A.y′＝eq\f(1,2\r(x))，y′|x＝a＝eq\f(1,2\r(x))|x＝a＝eq\f(1,2\r(a))，所以切線方程為y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a).令x＝0，得y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a.由題意知S＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(a),2)＝2，解得a＝4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若曲線y＝在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________．【解析】因?yàn)閥′＝－eq\f(1,2)，所以曲線y＝在點(diǎn)處的切線方程為：y－＝－eq\f(1,2)(x－a)，令x＝0得y＝eq\f(3,2)，令y＝0得x＝3a，所以eq\f(1,2)·eq\f(3,2)·3a＝18，解得a＝64.答案：644．對任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為()A．f(x)＝x3B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1D．f(x)＝x4－1【解析】選B.由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4項(xiàng)，然后將x＝1代入選項(xiàng)中驗(yàn)證可得．【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則當(dāng)k＝3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))【解析】選B.因?yàn)閥′＝3x2，k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1.故P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)或(1，1).二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．下列曲線的切線中，不存在互相垂直的切線的曲線是()A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx【解析】選ABC.若存在互相垂直的切線，則其斜率之積為－1，或一條切線的斜率不存在，另一條切線的斜率為0.A中，f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝eq\f(1,x)(x>0)，故ABC中均不存在互相垂直的切線．而D中f′(x)＝cosx，其可正可負(fù)，一定存在使cosx1·cosx2＝－1的情形．6．直線y＝eq\f(1,2)x＋b能作為下列函數(shù)圖象的切線是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinxD．f(x)＝ex【解析】選BCD.f(x)＝eq\f(1,x)，故f′(x)＝－eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2)，無解，故A排除；f(x)＝x4，故f′(x)＝4x3＝eq\f(1,2)，故x＝eq\f(1,2)，即曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,16)))處的切線為y＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,16)，B正確；f(x)＝sinx，故f′(x)＝cosx＝eq\f(1,2)，取x＝eq\f(π,3)，故曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))處的切線為y＝eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)＋eq\f(\r(3),2)，C正確；f(x)＝ex，故f′(x)＝ex＝eq\f(1,2)，故x＝－ln2，曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ln2，\f(1,2)))處的切線為y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)ln2＋eq\f(1,2)，D正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．點(diǎn)P是f(x)＝x2上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－1的最短距離是________．【解析】與直線y＝x－1平行的f(x)＝x2的切線的切點(diǎn)到直線y＝x－1的距離最小．設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f′(x0)＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直線y＝x－1的距離最短，所以d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),8).答案：eq\f(3\r(2),8)8．函數(shù)f(x)＝eq\r(5,x3)，則f′(x)＝________，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝________．【解析】因?yàn)閒(x)＝eq\r(5,x3)＝xeq\s\up6(\f(3,5))，所以f′(x)＝eq\f(3,5).f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝eq\f(3,5)×＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(12,5).答案：eq\f(3,5)eq\f(12,5)四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，(1)分別求過P點(diǎn)，Q點(diǎn)的曲線y＝x2的切線方程；(2)求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．【解析】(1)因?yàn)閥′＝2x.P(－1，1)，Q(2，4)都是曲線y＝x2上的點(diǎn)．過P點(diǎn)的切線的斜率k1＝y(tǒng)′|x＝－1＝－2，過Q點(diǎn)的切線的斜率k2＝y(tǒng)′|x＝2＝4，過P點(diǎn)的切線方程為y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.過Q點(diǎn)的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因?yàn)閥′＝2x，直線PQ的斜率k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，與PQ平行的切線方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.10．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgeq\f(1,xn)，計(jì)算a1＋a2＋a3＋…＋a2019.【解析】因?yàn)閥＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲線在(1，1)處的切線斜率為k＝n＋1，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1).令y＝0，得x＝eq\f(n,n＋1)，即xn＝eq\f(n,n＋1)，所以an＝lgeq\f(1,xn)＝lg(n＋1)－lgn，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝lg2－lg1＋lg3－lg2＋lg4－lg3＋…＋lg2020－lg2019＝lg2020＝1＋lg202.1．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2020(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx【解析】選A.f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4為最小正周期．故f2020(x)＝f4(x)＝sinx．2．已知兩條曲線y1＝sin