新設(shè)計一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（理）通用版講義第五講解題的必備積淀把根留住

第五講解題的必備積淀——把根留住許多考生雖然做了大量的習(xí)題，但遇到類似的題目仍不知所措，“這道題我好像做過，但還是做不出來”是學(xué)生普遍反映的現(xiàn)象；“這道題，我上課講過的，學(xué)生怎么還是不會”，這是一線教師的口頭禪；學(xué)生平時解題也知道要進(jìn)行化歸，但總找不到歸根何處．這就是平時只顧埋頭做題，不注重歸納領(lǐng)悟而造成的高耗低能現(xiàn)象．為什么會有這樣的偏差？什么是數(shù)學(xué)的“根”？如何把“根”留??？高考數(shù)學(xué)題既考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，又考查對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平．如果學(xué)習(xí)中僅就題論題，對問題的理解只停留在知識、方法表象層次上，而沒有體會到問題背后的“根”，那么做再多的習(xí)題，也只是事倍功半.它應(yīng)該是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，是數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)核心價值的理解、數(shù)學(xué)理性精神(依靠思維能力對感性材料進(jìn)行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理)的體驗(yàn)等.可通過研究問題的變式，留住知識之“根”；通過優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”．只有這樣，高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)才能強(qiáng)“根”固本，枝繁葉茂.一、研究問題的變式，留住知識之“根”一題多變，總結(jié)規(guī)律．可培養(yǎng)思維的探索性和深刻性，通過對變式問題的研究，可以解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開拓解題思路．在分析解決問題的過程中，既構(gòu)建知識橫向聯(lián)系，又養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣．[例1]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.[解析]因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，又因?yàn)閑q\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝eq\f(1,2)(52－32)＝8.[答案]8[變式1]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點(diǎn)P為△ABC的外心，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.[解析]取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→)).因?yàn)辄c(diǎn)P為△ABC的外心，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，所以eq\o(DP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，則eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0.于是eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝8.[答案]8[變式2]在△ABC中，AB＝m，AC＝n，D為BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P為線段BC垂直平分線上的任意一點(diǎn)，求證：eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(n2－m2)．[證明]由題意，可得eq\o(DP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，從而eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→)).又因?yàn)閑q\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝eq\f(1,2)(n2－m2)．[反思領(lǐng)悟]以平面幾何圖形作為命題背景的向量數(shù)量積問題是高考命題的常見題型．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，有兩種體系，一是數(shù)量積的幾何運(yùn)算，二是向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．對于三角形中相關(guān)線段構(gòu)成的向量數(shù)量積計算問題，其中三角形中線的向量表示、向量加減法的三角形法則是求解這類問題的突破口．二、優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”一題多解，觸類旁通．培養(yǎng)發(fā)散思維能力，培養(yǎng)思維的靈活性．一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結(jié)論的必然本質(zhì)聯(lián)系．從各種途徑，用多種方法思考問題，可開拓解題思路，掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并從多種解法的對比中選出最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，使分析問題、解決問題的能力提高．[例2]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則()A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c>9[解析]法一：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，,－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7＋3a－b＝0，,19－5a＋b＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝11.))則f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而0＜f(－1)≤3，故0＜－6＋c≤3，所以6＜c≤9，故選C.法二：設(shè)f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝k，則0＜k≤3.設(shè)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋k，則c＝k＋6，所以6＜c≤9，故選C.法三：由題意，f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋c－6，得0＜c－6≤3，所以6＜c≤9，故選C.法四：取f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝3，則c＝9，故選C.[答案]C[反思領(lǐng)悟]法一直接利用已知條件求出系數(shù)a，b，代入后求解不等式，為常規(guī)解法，運(yùn)算量較大；法四為特殊值法，有一定的偶然性，較之法一簡潔，是一種行之有效的解決選擇題的方法，此處也可取f(－1)＝1等值；法二、三則蘊(yùn)含了函數(shù)的零點(diǎn)與解析式之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，是問題解決的基本方法，并可將問題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為類似的