2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第一章集合與常用邏輯用語

第一章DlYlZHANG

1集合與常用邏輯用語

第1節(jié)集合

考綱要求1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集

合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別

給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含

義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給

定子集的補(bǔ)集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.

知識分類落實(shí)回扣知識?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,表示符號分別為C和電

⑶集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

2.集合間的基本關(guān)系

⑴子集：若對任意XeA,都有恒B貝IJAUB或82A.

(2)真子集：若AUB,且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合4,則A8或BA.

(3)相等：若AUB,且率，則A=A

(4)空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合

符號表示A∩B

A的補(bǔ)集為［以

圖形表示

AUBAClBCuA

集合表示[x?χeA,或χCB}XGA,且χW8){x?x^U,且依A}

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)A∩A=A,4∩0=0,A∩B=B∩A.

(2)41M=A,AU0=4,AUB=BlJA.

(3)A∩(ΓυA)=<3,AUQA)=U,[(X[uA)=A.

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2?-1個(gè)，非空子集有2"一1個(gè),

非空真子集有2"一2個(gè).

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3?AU8=A∩B=A=AUB=B=[以？]酒.

4.[,/A∩B)=([(/A)U(IUB),[α(AUB)=(CUA)C([曲).

診斷自測

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.()

(2){x∣y=χ2+l}={),∣y=∕+l}={(χ,y)∣y=∕+]}.()

(3)若U2,l}={0,1},則x=O,1.()

(4)對于任意兩個(gè)集合A,8,(A∩B)U(4U8)恒成立.()

答案(1)×(2)×(3)X(4)√

解析(1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集.

⑵錯(cuò)誤.{x∣y=x2+l}=R,{y∣y=N+l}=[l,+∞),{(x,y)∣y=∕+l}是拋物線y=N+l上

的點(diǎn)集.

(3)錯(cuò)誤.當(dāng)x=l時(shí)，不滿足集合中元素的互異性.

〉教材衍化

2.若集合P={χGNbWd2021},α=2√L貝∣J()

A.a∈PB.{α}∈P

C.{a}QPD.a^P

答案D

解析因?yàn)椤?2吸不是自然數(shù)，而集合P是不大于√Σ面的自然數(shù)構(gòu)成的集合，所以質(zhì)P,

只有D正確.

3.已知集合A={(x,y)∣Λ2+y2=l},B={(x,y)∣Λ,yGR且y=x},則AnB中元素的個(gè)數(shù)為

答案2

解析集合4表示以(0,0)為圓心，1為半徑的單位圓上的點(diǎn)的集合，集合B表示直線y=x

上的點(diǎn)的集合，圓/+產(chǎn)=1與直線y=χ相交于兩點(diǎn)，則A∩B中有兩個(gè)元素.

>考題體驗(yàn)

4.(2020?全國∏卷)已知集合A={x∣∣x∣v3,x∈Z},B={x∣∣x∣>l,x∈Z},則A∩B=()

A.0B.{-3,—2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

答案D

解析集合A={X∣-3<Λ<3,X∈Z}={-2,-1,0,1,2},B={xf>l或廣一1,x∈Z},

只有一2和2符合題意，所以4CB={-2,2}.

5.(2020?新高考山東卷)設(shè)集合A={x∣l<xW3},B={Λ-∣2<X<4},則AUB=()

A.{A∣2<X≤3}B.{X∣2WXW3}

C.{x∣l≤x<4)D.{x∣l<x<4)

答案C

解析AUB={Λ∣1WXW3}U{x∣2<x<4}={x∣l≤x<4).

6.(2021?西安五校聯(lián)考)設(shè)全集U=R,A={x?y=yj2x-x2],B={y?y=2?x∈R},則(CUA)CB

=()

A.{xh<0}B.{x∣0<x≤l}

C.{Λ∣1<X≤2}D.{φ>2}

答案D

解析易知4={x∣0WxW2},^汽比沁小竟源二口僅皿或入乂},故([t∕A)nB={χk>2}.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一集合的基本概念自主演練

1.(2020?東北師大附中模擬)已知集合A={x∈Z∣—2<xWl},BQAf則集合B中的元素個(gè)數(shù)最

多是()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析A={x∈Z∣—2αWl}={-l,0,1},由2UA,當(dāng)B=A={—1,0,1}時(shí)，B中元素

最多，有3個(gè).

2.(2021?百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知集合A={20-1,a2,0},B={↑~a,a~5,9},且A∩B={9},

則”=()

A.±3,5B.3,5

C.-3D.5

答案C

解析易知“2=9或2a—1=9,.?4=±3或α=5.

當(dāng)α=3時(shí)，則1—α=α-5=-2,不滿足集合中元素的互異性，舍去.

當(dāng)α=5時(shí)，則ACB={9,0},與題設(shè)條件ACB={9}矛盾，舍去.

當(dāng)”=-3時(shí)，A={-7,9,0),B=[4,-8,9},滿足ACB={9},故。=一3.

3.已知集合A=且gwz},則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

3

解析V-—∈Z,.?.2-χ的取值有-3,-1,1,3,又?."∈Z,.?.x值分別為5,3,1,

2~X

-1,故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4,故選C.

4.設(shè)集合A={x∣(χ-a)2<l},且2CA,3初，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為.

答案(1，2]

(2-α)2<1,l<a<3,

解析由題意得解得,

(3—a)221ɑ≤2或“24.

所以1<67≤2.

感悟升華1.研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、

點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合

的含義.

2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元

素是否滿足互異性.

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系師生共研

【例1】(1)已知集合A={T,1},B={x∣0x+l=O}.若BUA,則實(shí)數(shù)4的所有可能取值的

集合為()

A?{-l(B.{l}

C.{-l,1}D.{-l,0,1}

(2)(2020?南陽一模)已知集合A={x∣(x+l)(x—6)W0},B={^tn~1≤x≤2m+1}.?BQA,則

實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

「5^l

答案(I)D(2)(—8,-2)"θ,2

解析(1)當(dāng)8=0時(shí)，4=0,此時(shí)，BQA.

當(dāng)8#0時(shí)，則ΛB=j.v∣x=-?j.

XBQA,Λ-^∈Λ,Λα=+I.

綜上可知，實(shí)數(shù)。所有取值的集合為{-1,0,1).

(2)A={x∣-l≤x≤6}.

Vβ?A,.?.B=0或

當(dāng)6=0時(shí)，/%—l>2m+1,即〃?<—2.符合題意.

m~?≤2AΠ+1,

當(dāng)3≠0時(shí)，"m—1≥-1,

2m+lW6.

解得0≤∕nW∣.

得m<-2或0≤∕n≤,.

感悟升華1.若BUA,應(yīng)分8=0和8W0兩種情況討論.

2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的

關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進(jìn)行討論.確定

參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.

【訓(xùn)練1】⑴若集合M={耶長1},N={y?y=x1,∣Λ∣≤1},則()

AM=NB.MQN

C.MΓ∣N=0D.NEM

(2)已知集合A={x|log2(x—1)<1},B={x^c-a?<2},若AUB,則實(shí)數(shù)“的取值范圍為()

A.(I,3)B.[l,3J

C.[l,+∞)D.(-∞,3]

答案(I)D(2)B

解析(1)易知河=(川一1忘》忘1},N=HIy=X2,IXlWI}={y∣0WyWl),：.NQM.

⑵由l0g2(x—1)<1,得0令一1<2,所以A=(l,3).

由仇一川<2得α—2<x<a+2,所以8=(α—2,α+2).

a^~2W1,

因?yàn)锳U8,所以、解得lWαW3.

[a+ι2?3,

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為U,3J.

考點(diǎn)三集合的運(yùn)算多維探究

角度1集合的基本運(yùn)算

【例2】(1)(2020?天津卷)設(shè)全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={—1,0,1,

2},B={-3,0,2,3),則4∩([uB)=()

A.{-3,3}B.{0,2}

C.{-l,1}D.{-3,-2,-L1,3}

(2)(2021?西安測試)設(shè)全集U=R,M={x∣y=In(I—x)},ΛΓ={x∣2jc<x^2)<l},那么圖中陰影部分

表示的集合為()

C.{Λ∣0<X≤1}D.{X∣X≤I}

答案(I)C(2)B

解析(I)CU8={-2,-1,1},.?.A∩((uB)={-1,1}.故選C.

(2)圖中陰影表示的集合為((UM)CM

易知M={xk<l},N={x∣0<x<2},

.?.QΛ∕)ΠN={X∣1WX<2}.

角度2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)

[例3](1)(2021-日照檢測)已知集合A={X∈Z∣X2-4X-5<0},B={x∣4">2"'},若ArIB中

有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是()

A.[3,6)B.[l,2)

C.[2,4)D.(2,4]

(2)已知集合4={x∣γ=?4-χ2},B={x∣α≤x≤α+I),若AU8=A,則實(shí)數(shù)4的取值范圍為

()

A.(-8,-3]U[2,+∞)B.[-L2]

C.[-2,1]D.[2,+∞)

答案(I)C(2)C

解析(1)因?yàn)閤2-4χ-5<0,解得一l<x<5,則集合A={χdZ*-4x—5<0}={0,1,2,3,

4),易知集合B={x.嗎}.又因?yàn)锳∩8中有三個(gè)元素，所以14<2,解之得2W”K4.故實(shí)

數(shù)m的取值范圍是[2,4).

(2)集合A={x∣y=WτP}={x|-2WXW2),

因AUB=A,則BUA.

-2,

又BW。,所以有,1所以一2WαWL

[α+lW2,

感悟升華1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關(guān)系并進(jìn)

行運(yùn)算.

2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：

(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；

(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.

【訓(xùn)練2】(1)設(shè)全集為R,集合A={x∣0<x<2},B={x[x21},則A∩([R8)=()

A.{JC∣O≤X≤1}B.{x∣0<x<l}

C.{x∣l≤x<2)D.{X∣0<Λ<2)

(2)已知集合A={x∣x2-xW0},B={%∣α-l≤x<α),若A∩B只有一個(gè)元素，則”=()

A.0B.1

C.2D.1或2

答案(I)B(2)C

解析(1)因?yàn)锽={x[x21},所以[R8={X[X<1},

又A={x∣0<x<2},所以AC([RB)={X∣0<X<1}.

(2)易知A=[0,1],且AnB只有一個(gè)元素，

?"?ci—1=1,解得α=2.

拓展視野/以集合為背景的創(chuàng)新問題

集合的新定義問題，體現(xiàn)了高考命題從能力立意到素養(yǎng)提升的一種命題導(dǎo)向，常見的命題形

式有新概念、新法則、新運(yùn)算等.解答這類問題，關(guān)鍵是理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的

概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答.

【例1】對于任意兩集合A,B,定義4-8={XiXCA且H8},A*8=(A—B)U(B-A),記

A={X∣Λ20},B={X∣-3≤X≤3},則A*B=.

答案{x|-3Wx<0或x>3}

解析?.?A={xk>O},8={R-3WxW3},

?'?A—B={x∣x>3},B—A={x?一3≤x<0}.

.?.A*B={x∣-3Wx<O或x>3}.

［例2］若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，稱兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；若兩個(gè)集合有公共

元素，但互不為對方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”.對于集合-/l},B={x∣,*

=1,介0},若兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則。的值為.

答案0或1或4

解析因?yàn)锽={x∣4χ2=］,”20},若α=0,則B=0,滿足8為A的真■子集，此時(shí)A與B

構(gòu)成“全食”，若“>0,則B=*k=V=∣古,-?

或1或4.

【例3】定義:設(shè)有限集合4={小=如iW〃，A∈N*},S=0+α2+…+%T+M則S叫

做集合A的模，記作∣A∣.若集合P={x∣x=2〃-1,〃W5,"∈N*},集合P含有四個(gè)元素的全

體子集為P,巳，…，Pk,%GN*,則∣P∣∣+∣B∣+…+1Pd=.

答案IOO

解析集合尸={1,3,5,7,9),依題意，集合P含有四個(gè)元素的全體子集為{1,3,5,

7},{1,3,5,9},{1,3,7,9},{3,5,7,9},{1,5,7,9),根據(jù)“?！钡亩x，回|

+IBI+…+1Pd=(I+3+5+7)+(1+3+5+9)+(1+3+7+9)+(3+5+7+9)+(1+5+7+

9)=4×(1+3+5+7+9)=100.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.(2019,全國I卷)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B=[2,3,6,

7),則BC(CUA)=()

A.{l,6}B.(l,7)

C.{6,7}D.{l,6,7)

答案C

解析由題意知又

CUA={1,6,7}.B={2,3,6,7},ΛB∩([(7A)={6,7}.

2.(2021?鄭州模擬)設(shè)集合A={x∣3χ-l<m},若1∈A且2初，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.(2,5)B.[2,5)

C.(2,5]D.[2,5]

答案C

解析?.?A={R3χ-l<m,1∈4且2陣4,

.?.3X1-1<機(jī)且3X2-12機(jī)，解得2<mW5.

3.(2020?浙江卷)已知集合P={x∣l<x<4},Q={x?2<x<3},則PnQ=()

A.{x∣l≤x≤2}B.{x∣2<x<3)

C.{x∣3≤x<4}D.{x∣l<x<4}

答案B

fl<x<4,

解析由題意得可得2<χV3,

I2<x<3,

即P∩Q={x∣2<x<3}.故選B.

4.已知集合4={x*+20r+2"≤0},若A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)α的值為()

A.0B.0或一2

C.0或2D.2

答案C

解析TA中只有一個(gè)元素，

只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足x2+2or+24W0,

因此/=4/一4X2α=0,.?.α=0或α=2.

5.設(shè)集合M={x*-x>0},N={x,<l],則下列說法正確的是()

AJWNB.NM

CM=ND.MUN=R

答案C

解析集合M={4χ2-X>0}={小>1或x<0},N=im={4r>l或x<O},所以M=N.

6.(2021?豫晉名校聯(lián)考)設(shè)全集Q=Ul2x2—5xW0,x∈N},PQQ,則滿足條件的集合P的

個(gè)數(shù)是()

A.3B.4

C.7D.8

答案D

解析集合Q={x∣0Wx*X∈N}={0,1,2},滿足PUQ的集合P的個(gè)數(shù)為23=8.

7.(2019?全國∏卷改編)已知集合A={xk2-5x+6>0},B={X∣Λ—120},全集U=R,則

AnQB)=()

A.(-∞,1)B.(-2,1)

C.(—3,—1)D.(3,+o°)

答案A

解析由題意A={x∣x<2或x>3}.又8={也21},知QB={x∣x<l},.?.4∩(‰B)={x∣x<l}.

8.(2020?成都診斷)設(shè)集合A={X∣(X+2)(Λ~3)W0},B={a},若AUB=A,則〃的最大值為

()

A.-2B.2C.3D.4

答案C

解析因?yàn)锳={x∣(x+2)(x—3)W0},所以A={x∣-2WxW3}.

又因?yàn)锽={4},且AUB=A,所以BUA,所以〃的最大值為3.

二、填空題

9.(2020?北京卷改編)已知集合A={-l,0,1,2},B={x∣0<x<3},則A∩B=.

答案{1，2}

解析VA={-1,0,1,2},B={x?O<x<3},ΛA∩B={1,2}.

10.(2021?湖南雅禮中學(xué)檢測)設(shè)集合A={φ=√xτ3},B={x∣l<xW9},則([RA)ΠB=

答案(1,3)

解析因?yàn)锳={x∣y=m二5},所以4={x∣x23},所以(RA={x∣x<3}.

又B={x∣l<xW9},所以([RA)CB=(1,3).

11.已知集合A={x僅=Ig(X一爐)},B={φ2-cχ<0ιc>0},若AUB,則實(shí)數(shù)C的取值范圍是

答案[1,+∞)

解析由題意知，A={x∣y=lg(χ-X2)}={X∣X-x2>O}=(O,1),B={x∣x2-cx<0,c>0}=(0,

c).由AUB,畫出數(shù)軸，如圖所示，得CeL

B

Λ

O?cX

2

12.若全集U=R,集合A=MX-χ-220},β={Λ∣log3(2-χ)≤l},則4∩(1°B)=.

答案{x|x<—1或Q2}

解析由題意得集合A=UU2-χ-2^0}={*xW-l或x22},

因?yàn)閘og3(2-x)≤1=?og??,所以0<2-x≤3,

解得一lWx<2,所以8={x∣-IWX<2},

從而CUB="以<一1或x22},

故A∩(CuB)={xk<-l或x22}.

B級能力提升

13.若全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={x∣x2—1=0},則圖中陰影部分所

表示的集合為()

A.{-l,0,1}B.{-l,0}

C.{-l,1}D.(0)

答案D

解析B={xk2-l=0}={-l.1}，陰影部分所表示的集合為(U(AUB).又AUB={-2,-1,

1,2},全集U={-2,-1,0,1,2},所以CU(AUB)={0}.

14.(2021?貴陽質(zhì)檢)己知全集為R,設(shè)集合A={x∣(?Iq},8=卜|忘＜一"，則下列關(guān)系

正確的是()

A,ΛUB=RBAHB=A

C.(CRA)(CRB)D.([RA)UB=R

答案C

解析易知A={x∣x<4},B={x?-2<x<3},：.BA,則(CRA)(CRB).

15.設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合P—Q={加∈P,且依。},如果P={x∣l<2'<4},。={九

=2+sinx,χGR},那么「一。=.

答案(0,1)

解析由題意得P={x∣0<x<2},β={y∣l≤y≤3},ΛP-β={x∣O<x<l}.

16.已知集合A={χeR∣k+2∣<3},集合B={x∈R∣(χ-=)(χ-2)vO},且A∩B=(-1,ri),則

答案一11

解析A={x∈R∣Lr+2∣<3}={x∈R∣-5<x<l},由AnB=(—1,〃)，可知機(jī)<1,

則B={X∣M7<X<2},畫出數(shù)軸，可得，〃=—1,n-?.

-A卜?6~~1?

-5-1012?τ

第2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

考綱要求1.理解命題的概念，了解“若p,則qn形式的命題及其逆命題、否命題與逆否

命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；2.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.

知識分類落實(shí)回扣知識?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識梳理

1.命題

用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題,其中判斷為真的語句叫做真

命題，判斷為假的語句叫做假命題.

2.四種命題及其相互關(guān)系

(1)四種命題間的相互關(guān)系

(2)四種命題的真假關(guān)系

①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.

②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性沒有關(guān)系.

3.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則"是4的充分條件,〃是”的必要條件

P是q的充分不必要條件Pnq且滬P

P是q的必要不充分條件p+q且qnp

P是q的充要條件

P是q的既不充分也不必要條件p*q且qAp

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的

結(jié)論.

2.區(qū)別4是B的充分不必要條件(A=>B且B?A),與A的充分不必要條件是B(B=A且A*B)

兩者的不同.

3.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A={x∣p(x)},B={x0(x)},

(1)若AU8,則P是q的充分條件，q是P的必要條件.

(2)若4B,則P是q的充分不必要條件，q是P的必要不充分條件.

(3)若A=8,則P是q的充要條件.

4,p是q的充分不必要條件，等價(jià)于㈱q是㈱P的充分不必要條件.

診斷自測

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)ux2+2x-3<0”是命題.()

(2)當(dāng)4是P的必要條件時(shí)，P是q的充分條件.()

(3)“若p不成立，則q不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立”.()

(4)若原命題為真，則這個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個(gè)為真.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)√

解析(1)錯(cuò)誤.該語句不能判斷真假，故該說法是錯(cuò)誤的.

〉教材衍化

2.設(shè)a,?∈R且ab≠O,則ab>l是α>g的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案D

解析若“而>1"，當(dāng)a=-2,b=-l時(shí)，不能得到“痣’，

若‘%>""，例如當(dāng)a=l,b=T時(shí)，不能得到“">1”，

故“">1”是的既不充分也不必要條件.

3.命題“若a=≡,則tana=Γf的逆否命題是()

A.若CC弋，則tanαWlB.若Ct=去則tana#1

Jl兀

C.若tanaWl,則aD.若tanaWl,則a=[

答案C

解析命題“若P，則的逆否命題是“若㈱（7,則㈱P"，所以該命題的逆否命題是“若

TT

tanot≠1,則az≠w”"

>考題體驗(yàn)

4.（2020?長春模擬）已知命題a：如果x<3,那么x<5,命題在：如果x》3,那么x》5,則命

題α是命題”的（）

A.否命題B.逆命題

C.逆否命題D.否定形式

答案A

解析兩個(gè)命題之間只是條件、結(jié)論都作出否定，故為否命題關(guān)系.

5.（2020?天津卷）設(shè)αCR,則“心1”是uai>a,'的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由a2>a,得a2-a>0,

解得?>1或a<0,

?ua>ln是ua1>an的充分不必要條件.

6.（2021?合肥七校聯(lián)考）已知集合A={Λ∣∣<3Λ<27,X∈R},B={X∣-1<x<m+1,機(jī)∈R},若x∈B

成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案（2,+o0）

解析A=卜∣g<3*<27,Λ∈R∣={Λ∣-l<x<3}.

Vx∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是％GA,

所以AB9所以m+1>3,即"2>2.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一命題及其關(guān)系自主演練

1.（2020?太原質(zhì)檢）命題“若a>b,則α+c>h+c”的否命題是（）

A.若α+c<b+c,貝∣Ja<bB.若αWb,則α+cWb+c

C.若α+c>6+c,貝∣Ja>bD.若a>b,貝∣Ja+c≤Z>+c

答案B

解析將條件和結(jié)論都進(jìn)行否定，即命題“若α>b,則α+c>6+c”的否命題是“若αWb,

則a+c≤?+cw.

2.(2021.成都七中檢測)給出下列命題：

①“若q>=1,則IgX+lgy=O"的逆命題;

②“若Q?b=α?c,則0_LS-c)”的否命題；

③“若bW0,則方程2bx+∕+b=0有實(shí)根”的逆否命題；

④“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60?！钡哪婷}.

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.lB.2

C.3D.4

答案D

解析對于①,"若孫=1,則IgX+Igy=O"的逆命題為"若IgX+Igy=O,則孫=1"，

該命題為真命題；

對于②，“若"力="?c,則Q_LS—c)”的否命題為““功WQ?c,則α不垂直于(Z>—c)”,由

α?br≠α?c可得Q.(。一c)≠0,據(jù)此可得“不垂直于(b—c),該命題為真命題；

對于③，若?≤0,則方程χ2-2fex+∕+%=0的根的判別式/=(一2與2—4(〃+3=—4620,

方程有實(shí)根，原命題為真命題，則其逆否命題為真命題；

對于④，“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60?！钡哪婷}為“三個(gè)內(nèi)角均為60。的三角形為等

邊三角形"，該命題為真命題.

3.(2018?北京卷)能說明“若加)40)對任意的x∈(0,2］都成立，則火X)在［0,2］上是增函數(shù)”

為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

0,x=0,

答案√(x)=sinx,x∈［0,2］(答案不唯一，再如加)=?1)

-,0<x≤2

解析根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，只要找到一個(gè)定義域?yàn)椋?,2］的不單調(diào)函數(shù)，滿足在定義域

內(nèi)有唯一的最小值點(diǎn)，且4x)min=∕(0).

感悟升華I.寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：

(1)對于不是“若p,則q”形式的命題，需先改寫；

(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提.

2.判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例.

3.根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直

接判斷不易時(shí)，可間接判斷.

考點(diǎn)二充分條件與必要條件的判定師生共研

【例1】(1)(2020?浙江卷)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線I,m,〃.“/,，〃，”共面”是

“/,，"，"兩兩相交”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(2)已知條件p：x+y≠-2,條件q：X,y不都是一1,則P是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案(I)B(2)A

解析(1)由機(jī)，n,/在同一平面內(nèi)，可能有機(jī)，〃，/兩兩平行，所以機(jī)，n,/可能沒有公

共點(diǎn)，所以不能推出n,/兩兩相交.由加，"，/兩兩相交且相，n,/不經(jīng)過同-■點(diǎn)，可

設(shè)/Γh"=A,lC?n=B,mC?n-C,且朋”，所以點(diǎn)A和直線”確定平面α,而B,C∈",所

以B,C∈a,所以/,WJUα,所以機(jī)，n,/在同一平面內(nèi).故選B.

(2)因?yàn)閜：x+y≠-2,q?.x≠-I或yW—1,

所以㈱p：x+y=-2,默q：x=-1且y=-1,

因?yàn)椹Zg=㈱p,但㈱p=??q,所以㈱q是㈱P的充分不必要條件，即P是q的充分不必要

條件./

感悟升華充要條件的三種判斷方法

(1)定義法：根據(jù)p=>q,4=p進(jìn)行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題

進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題.

【訓(xùn)練1】(1)(2021.昆明診斷)設(shè)集合A={x∣(x+l)(χ-2)20},B=%|常2。|.則''x∈A"

是''x∈B"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

(2)(2020.北京卷)已知α,βGR,則''存在/GZ使得α=E+(-l)夕'是"sina=Sin夕”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案(I)B(2)C

解析(1)集合A={X∣(X+1)(X-2)≥0}={Λ-∣X≥2,或x≤-1},B=^x|={φ^2,

或x<—1}.

：.BA,Λ"x∈Λ"是"尤∈"'的必要不充分條件.

(2)若存在kWZ使得0=4兀+(—1力5,則當(dāng)憶=2〃(〃￡Z),a=2nπ~?~β,有sina=sin(2nπ+β)

=Sin夕；當(dāng)％=2〃+1(〃EZ),a=(2n+?)π-β9有sina=sin[(2n÷l)π-yδ]=sinβ.

r

若sinα=sin則a=2kπ+β或a=2kπ+式一β(kGL),

即Q=E+(-1)%∕∈Z).故選C.

考點(diǎn)三充分、必要條件的應(yīng)用典例遷移

【例2】(經(jīng)典母題)已知尸={xH-8χ-20W0},非空集合S={x∣l—機(jī)WXWl+根}.若x∈P

是x∈S的必要條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解由8x—20W0,得一2WxWl0,

ΛP={x∣-2≤x≤10}.

?.”wp是XWS的必要條件，則Sq只

1-∕H≥—2,

解得AΠ≤3.

1÷∕∏≤10,

又?.'S為非空集合，1—^≤l+∕n,解得加20.

綜上，加的取值范圍是[0,3].

【遷移1】本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)處使x∈P是x∈S的充要條件？并說明理由.

解由例題知P={R-2WXWl0}.

若x∈P是x∈S的充要條件，則P=S,

1—m——2,

l+∕7Z=10,

m=3f

m=9,

這樣的tn不存在.

【遷移2】設(shè)p：P={?2-8χ-20≤0},q-.非空集合S={x∣l—機(jī)WXWl+m},且㈱P是

㈱q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

解由例題知P={x∣-2WXWI0}.

??飛弟P是的必要不充分條件，

P是q的充分不必要條件.

：.p=q且q*p,即PS.

1—mW—2,1—m<一2,

?Y或,

[1+機(jī)>10Il+/W≥10,

.?.∕M≥9,又因?yàn)镾為非空集合，

所以1—mWl+∕n,解得/"N0,

綜上，實(shí)數(shù)〃2的取值范圍是[9,+∞).

感悟升華1.根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)取值范圍需抓住“兩”關(guān)鍵

(1)把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系.

(2)根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.

2.解題時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，

不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

【訓(xùn)練2】設(shè)/,：ln(2χ-l)W0,q?.(χ-ΛI(xiàn))[Λ-(6?+l)]≤0,若q是P的必要不充分條件，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案0(1]

解析P對應(yīng)的集合A={x∣>=ln(2Λ-l)W0}=卜IlaW1},q對應(yīng)的集合8={疝》一")口一(〃

+l)]≤0}={Λ?∣α≤x≤a+l}.

由4是P的必要而不充分條件，知AB?

所以且α+121,因此OWa

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.(2019?天津卷)設(shè)x∈R,則"0<x<5”是小一1|<1"的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由以一1|<1可得0<r<2,由“0<x<5"不能推出"0<r<2"，但由“(Xx<2”可以推出"0<r<5”.

故“0a<5”是α∣χ-l∣<Γ"的必要而不充分條件.

2.(2021?百校聯(lián)考考前沖刺)已知命題p：”任意”>0,且αWl,函數(shù)y=l+log,,(χ-l)的圖象

過點(diǎn)P"的逆否命題為真，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,1)B.(l,1)

C.(l,2)D.(2,2)

答案A

解析由逆否命題與原命題同真同假，可知命題P為真命題，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)y

=1+log,,(χ-l)的圖象過定點(diǎn)(2,1),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).

3.(2019?北京卷)設(shè)函數(shù)/(X)=COSx+bsinXg為常數(shù)),則“6=0”是“/⑴為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當(dāng)b=0時(shí)，./(x)=COSX為偶函數(shù)；若y(x)為偶函數(shù)，則√(-χ)=COS(―x)+6sin(-x)=

cosX—?sinx=∕(x),

.?.-Z?SinX=加inX對x∈R恒成立，Λ?=0.

故*=0"是“於)為偶函數(shù)”的充分必要條件.

4.設(shè)mb,c∈R,則下列命題為真命題的是()

22

A..ac>bcB.τb>l

C.a-c>b~cD.a2>b2

答案C

2

解析對于A,ci>bi若c=0,則αc=8c2,故A錯(cuò)誤；對于B,a>h9若o>0,?<0,則

故B錯(cuò)誤；對于C,a>b,則〃-c>。一c,故C正確；對于D,a>b,若〃，Z?均小于0,則

22

a<hf故D錯(cuò)誤.

5.（2020?長沙檢測）若/,“是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面,且，“La,則是“/〃a”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析當(dāng)直線∕ua時(shí)，“/，Wr卦“/〃。”，充分性不成立.

若/〃a,由線面平行的性質(zhì)，可知在平面a內(nèi)一定存在一條直線“與/平行，又所

以，〃_Lw,則，wU,可知必要性成立.

所以ft∕±m(xù)w是ul∕∕an的必要不充分條件.

6.（2020?石家莊模擬）下列說法中正確的是（）

A.若函數(shù)/U）為奇函數(shù)，則<O）=O

B.若數(shù)列｛〃“｝為常數(shù)列，則｛斯｝既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列

C.在aABC中，A>B是sinA>sinB的充要條件

D.命題“若"資&“"CN*,則｛斯｝為遞減數(shù)列”的逆命題為假命題

答案C

解析A錯(cuò)誤，yu）=+為奇函數(shù)，但人0）無意義；

B錯(cuò)誤，如=0為常數(shù)列，但｛如｝不是等比數(shù)列；

C正確，由于A>B<=>tz>?<=>sinA>sinB.

D錯(cuò)誤，若｛”“）遞減，則知+H%=%"∈N*,所以逆命題為真命題，D不正確.

7.（2021?貴陽模擬）設(shè)函數(shù)yU）=e%2-3x,則使犬x）<l成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.0<x<lB.0<x<4

C.0<x<3D.3<x<4

答案A

解析y（x）<1<≠>ex2—3x<I<≠>x2—3x<0,解得0<x<3.

又"0<x<l"可以推出"0<x<3"，但"0令<3”不能推出

故“0a<l”是7（x）<l"的充分不必要條件.

8.已知命題p：x2÷2χ-3>0；命題q：x>a,且㈱q的一個(gè)充分不必要條件是㈱p,則a的

取值范圍是（）

A.[l,+∞）B.（-∞,1]

c.[-l,+∞）D.（-∞,-3]

答案A

解析由/+入一3>0,得x<—3或x>l,由的一個(gè)充分不必要條件是㈱p,

可知㈱P是㈱q的充分不必要條件，等價(jià)于q是P的充分不必要條件.故a^l.

二、填空題

9.（2021?河南名校聯(lián)考）設(shè)命題p：x>4；命題<y≈x2-5x+4≥0,那么P是q的

條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.

答案充分不必要

解析由/—5x+4N0得XWI或x>4,可知｛x∣x>4｝是｛MXwl或x24｝的真子集，；.p是q

的充分不必要條件.

10.有下列幾個(gè)命題：

①“若a>b,則。2>序”的否命題；②“若χ+y=O,貝IJX,y互為相反數(shù)”的逆命題；③“若

x2<4,則一2<x<2”的逆否命題.

其中真命題的序號是.

答案②③

解析①