2023年高考數(shù)學一輪復習講義：第三章 3-5利用導數(shù)研究恒(能)成立問題

§3.5利用導數(shù)研究恒(能)成立問題

題型一分離參數(shù)求參數(shù)范圍

例1(2022?北京模擬)已知函數(shù)7(x)=(χ-2)eT0r2+αχ(α∈R).

(1)當α=0時，求曲線y=∕(x)在點(0,五0))處的切線方程；

(2)當x22時，./(X)ZO恒成立，求α的取值范圍.

解(1)當a=0時，兀V)=(X—2)e*

Λ0)=(0-2)e0=-2,

f(X)=(X—1儲k^f'(0)=(0-l)e0--l,

所以切線方程為y+2=—(x—0),

即x+y+2=0.

(2)方法一當x22時，貝x)20恒成立，等價于當x22時，(x—2)ev-去加+以2。恒成立?

即I%?一%)。W(X—2)e”在［2,+8)上恒成立.

當x=2時，0?α≤0,所以.∈R.

當x>2時，J2—χ>o,

所以π≤η~J=丁怛成立.

尹2-X

、H2ex.2(χ-l)ev

設g(x)=丁，則rτlg(X)=-L三—，

因為x>2,所以g'(x)>0,

所以g(x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(x)>g(2)=e?,所以α≤e?.

綜上所述，”的取值范圍是(-8,e2］.

方法二f'(X)-(Λ-l)(eλ-a),

①當“W0時，因為x22,

所以χ-l>0,ev-a>0,所以/(x)>0,

則?在［2,+8)上單調(diào)遞增，

兀0羽2)=0成立.

②當OCaWe2時，f'(x)^0,

所以兀0在［2,+8)上單調(diào)遞增，

所以yu)M∕(2)=o成立.

③當”>e2時，在區(qū)間(2,Ina)上，，(X)C0;

在區(qū)間(Ina,+∞)±,/(X)>0,

所以7U)在(2,Ina)上單調(diào)遞減，在(Inm+8)上單調(diào)遞增，人力2。不恒成立，不符合題意.綜

上所述，α的取值范圍是(一8,e2J.

【教師備選】

2

(2022?重慶模擬)已知函數(shù)?￥)=+—(加+1)工+MnX+機，,[(x)為函數(shù)凡￥)的導函數(shù).

(1)討論7U)的單調(diào)性;

⑵若(X)—/WNo恒成立，求機的取值范圍.

7,.mx2-(∕n+1)X+AΠ(χ-∕n)(χ-?)

解(IX(X)=X一(優(yōu)+1)+-=—HTJ------=1-------Γ~

①當機<0,Xe(0,1)時，/(x)<0,人此單調(diào)遞減；

當Xe(1,+8)時，f(χ)>o,y(x)單調(diào)遞增.

②當x∈(0,M時，f'(χ)>0,兀V)單調(diào)遞增；

當x∈(m,D時,f'(x)<0,KX)單調(diào)遞減;

當x∈(i,+8)時，/(Λ)>O,y(x)單調(diào)遞增.

③當機=1,x∈(0,+∞)?,f(x)≥0,於)單調(diào)遞增.

④當加>1,x∈(O,l)時,f(x)>0,負X)單調(diào)遞增；

當x∈(l,加)時，f(x)<0,TU)單調(diào)遞減；

當X∈(m,+8)時,f'(χ)>0,Xx)單調(diào)遞增.

(2)由題意知Mv(X)-加)20恒成立，

即,一加InXNo恒成立，Λzy>∕nlnx

當X=I時，弓■，福nX恒成立，

當X“時，就》人

χ2

當O<x<l時，

令g(x)=2inχ'

x(2InX-1)

則g'(X)=

2(lnx)2

當(XrVl時，gf(x)<0,

g(x)單調(diào)遞減且g(x)<O,

.?.LO時，0,

21nx

當x>l時，令g'(x)=0,得X=

，當1令<加時，g,(x)<0,g(χ)單調(diào)遞減，

當心M時，gf(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

，ga)Ng(#)=e,

Λ∕n≤e.

綜上知，OW機We.

思維升華分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略

(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(2)α2兀r)恒成立Oa宓x)m”;

。Wy(X)恒成立㈡“Wy(X)min:

a刃(X)能成立㈡4≥Xx)min；

αWχx)能成立OaWy(X)max.

跟蹤訓練1已知函數(shù)X%)=ΛlnX(Λ>O).

⑴求函數(shù),/(X)的極值：

(2)若存在x∈(0,+∞),使得xX)W上等口成立，求實數(shù),"的最小值.

解⑴由於)=xlnx,得，(x)=l+lnx,

令/a)>。，得χ>%

令f(X)<o,得o<χv]?

所以T(X)在(0,§上單調(diào)遞減，在仁，+8)上單調(diào)遞增.

所以y(x)在X=F處取得極小值，

且為了?=—V無極大值?

一爐+如一3

(2)由式X)W

2

,口?2xlnx+x2+3

得m2-------------------.

X

2

、Lj2Hnx+x+3?

問通轉(zhuǎn)化為-----------Jmin.

人2xlnx÷x2+33

令g(x)=^=2Inx+xl+~l(x>O).

.,2.3x2+2χ-3

則rlgω-+1-^=——

(x÷3)(χ-1)

一/?

?g'(x)>0,得x>l;

由g'(x)<0,得0<x<l.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g(D=4,則m?=4.

故m的最小值為4.

題型二等價轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍

例2(2022?三門峽模擬)已知函數(shù)兀T)=InX-4χ2-x,”>一；且”≠0.

(1)當α=l時，求函數(shù)y(x)的單調(diào)區(qū)間與極大值；

⑵當Ql時，g(x)=Λx)+2ax<0恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

解當α=l時，函數(shù)y(x)=lnχ-%2一X,Λ∈(0,+∞),

__.,.12X2+Λ—1

可付p/(x)=--2χ-l=------------

令/(x)>0,解得0<x<∣,1x)單調(diào)遞增；

令/(x)<0,可得x>g,式X)單調(diào)遞減；

所以函數(shù)火X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,；),單調(diào)遞減區(qū)間為6，+8),

當X=I時，

函數(shù)?r)取極大值/(?)=-1—In2.

(2)由題意，函數(shù)g(x)=∕α)+2or=ln工一0r2+(2α-l)x,x∈(l,+o°),

可得g'(X)=：—2辦+(2。-1)

(2奴+l)(χ-1)

①當一X￡0,一土)時，g，a)<。；

?∈(-?.+oo)?,g'(x)>0,

所以g(x)在(1,一歸上單調(diào)遞減，在(一點，+8)上單調(diào)遞增，

當Xf+8時，g(χ)f+8,

所以g(x)∈(g(-K),+∞j,不符合題意；

②當4>0時，x∈(l,+8)時恒有/(χ)<0,

故g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)<O對任意XG(1,+8)都成立，

只需g(l)W0,

即一4+24-1WO,解得aWl,故0<αWl.

綜上所述，α的取值范圍是(O,l].

【教師備選】

(2022?西寧模擬)已知函數(shù)式X)=—OΛ2+Inx(“∈R).

(1)討論7U)的單調(diào)性；

(2)若存在x∈(l,+∞),Λx)>-α,求”的取值范圍.

解(1)函數(shù)Xx)的定義域為(O,+∞),

,,11-2ax2

f(X)=-24x+[=^,

當a≤0時，f(x)>0,

則7U)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當<7>0時，由/(X)=0,得?,

由/(x)>0,得Xe(0,意，

由F(X)<0,得Xe(志，+∞j,

于是有火X)在(0,意上單調(diào)遞增，在(總，+8)上單調(diào)遞減.

(2)由Kr)>一〃，

得〃(/—1)一InX<0,x≡(l,÷o°),

—Inx<0,Λ2-1>0,

當αW0時,°(元2—1)—lnx<O,滿足題意;

當心；時，

令g(x)=a(x2-1)—InX(JI>1),

9∕7Y2—1

g,(x)=-^~>0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則g(χ)>g(l)=O,不符合題意,

當O<a<g時，

由g'(無)>。，得Xe÷°o

由g'(χ)<0,得Xe(1，君，

于是有g(shù)(x)在(1，言I上單調(diào)遞減，在E言，+8)上單調(diào)遞增，

g(x)min=g(宣IVg⑴=0，

則當時，3x∈(l,+∞),g(x)<O,

綜上，”的取值范圍為(一8,￡).

思維升華根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借

助函數(shù)單調(diào)性求解.

跟蹤訓練2已知函數(shù)√(x)=ex-OX

(1)討論式x)的單調(diào)性；

(2)當χC[0,+8)時，都有人x)>一α,求實數(shù)”的取值范圍.

解(iy,(x)=e'-a(x∈R),

當α≤0時，/(X)>0,

.?√U)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，令/(x)>O=>x>lna,

令，(X)<0=>JC<1Πa,

.?√(x)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減，在(In訪+8)上單調(diào)遞增.

(2)依題意知，當χW[0,+8)時，y(x)min>一”,

由(1)知，當"Wl時，y(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

.?.y(χ)min=<0)=1>—4,一1≤1.

當”>l時，y(x)在[O,Inn)上單調(diào)遞減，在(Ind+8)上單調(diào)遞增，

?\/(x)min=_/(lna)=e'n,'~a?na

=〃一"Ina>~a,

解得1<α<e2.

綜上，實數(shù)”的取值范圍為(-1,e)

題型三雙變量的恒(能)成立問題

例3設y(x)=，+xlnx,g(x)=x3-x2-3.

(1)如果存在x∣,X2∈[0,2],使得g(x∣)-g(X2)2M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M;

^17

(2)如果對于任意的s,f∈[],2」，都有√(s)2g⑺成立，求實數(shù)α的取值范圍.

解(1)存在Xi,X2∈[0,2],

使得g(Xl)-g(X2)2M成立，

等價于［g(Xl)-gα2)］maχ2M成立.

g'(x)=3x2~2x=x(3χ-2),

2

令g'a)=o,得X=O或X=Q,

Ml)=考

又g(0)=-3,g(2)=l,

.?.當XG。2］時，g(x)max=g(2)=1,

g(x)min--27,

???八一(-第=甯，

.?.滿足條件的最大整數(shù)M為4.

(2)對任意的S,段?2］有心)2g(f),

則.AX)minNg(x)max?

Γi1

由(1)知當X∈［］,2」時，g(χ)maχ=g(2)=l,

，當XW2,2時，7(x)=f+jdnx21恒成立，

即a≥χ-x2lnX恒成立.

ri-

令//(x)=x-Λ2］nχ,χ∈2,

.β.h,(X)=I—2JdnX-x,

令φ(x)=1—2XInx-x,

：?(p'(x)=-3—21nx<0,

∕√(X)在?,2上單調(diào)遞減，

又6'(I)=0,

^11

.?.當XeIJ,“時，h'(x)≥0,

當XCU,2］時，h'(x)≤0,

.?.∕z(x)在仕，1］上單調(diào)遞增，在［1,2］上單調(diào)遞減,

?*?MX)max=h(l)=l,

故心1.

???實數(shù)。的取值范圍是［1,+∞).

【教師備選】

己知函數(shù)HX)=吆三FD(XCR),。為正實數(shù).

⑴求函數(shù)小)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Vx∣,X2C[0,4J,不等式IAXI)-/U2)∣<l恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解(1)因為一-(χ∈R),

所以，ɑ)=TP?cR),

因為a>0,所以令，(x)>0,得04<3；

令f(x)<0,得x<O或x>3.

所以y(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0)和(3,+∞).

(2)由(1)知T(X)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,4)上單調(diào)遞減，

所以危)在[0,4]上的最大值是X3)=∣j.

又/0)=—α<0,X4)=lk∕e4>0,

所以的KM),

所以4x)在[0,4]上的最小值為4O)=-a.

若?∕x∣,X2∈[0,4],不等式∣∕(x1)-∕(x2)∣<l恒成立，

則需4x)maχ-∕U)min<l在X∈[0,4]上恒成立，即式3)—五0)<1,

即:+α<l,解得島.

又?>o,所以Ovy/

故實數(shù)α的取值范圍為(。，

思維升華“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進行

等價變換，常見的等價轉(zhuǎn)換有

(1)VR,X2≡I>,fi,X?)>^(X2)<≠∕(x)min>^(x)maχ.

(2)Vxι∈Dι,3x2≡￡>2,TUl)>g(∕2)9KX)min>g(x)min.

(3)3xi∈Z)l,Vx2≡i>2,yUD>g(X2)Q/U)max>g(x)max?

跟蹤訓練3設?x)=XeSg(x)=^x1+x.

(1)令Fa)=∕3)+g(x),求Fa)的最小值；

⑵若任意為，%2≡[-1，+o°),且M>X2,有機[/(即)一段2)]>以乃)-g3)恒成立，求實數(shù)機的

取值范圍.

解(1)因為Fa)=y0)+g(χ)

=Xe*+∕2+x,

所以尸'(x)=(x+l)(e'+l),

令F'(x)>0,解得x>一1,

令F'(x)<O,解得x<-l,

所以尸(X)在(一8,—1)上單調(diào)遞減，

在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

故F(x)min=F(-1)=—1—?

o

(2)因為任意Ki,χ2≡[-↑9+°),且X∣>X2,

有/%[∕U1)-√U2)]>g(Xl)-g(X2)恒成立，

所以叫/(即)一g(Xι)>"次元2)—g(12)恒成立，

令∕z(x)=加x)-g(x)=mxe'-%2一χ,Λ∈[-1,÷∞),即只需∕z(χ)在[一1，+8)上單調(diào)遞增

即可.

故a'(x)=(x+1)(〃浦一1)20在[-1,+8)上恒成立，故而看We,故〃?2e,

即實數(shù)機的取值范圍是[e,+∞).

課時精練

過基礎(chǔ)保分練

1.(2022?商丘模擬)己知函數(shù)Kr)=X(/MT).

⑴當機=1時，求函數(shù)次x)的圖象在(1,11))處的切線方程；

(2)當x>0時，式X)2∕-2X,求實數(shù),〃的取值范圍.

解⑴當m=l時,∕x)=x(ev-l),

則y(l)=e-1,

由，(x)=eX-l+xP可得，/(l)=2e-l.

所以函數(shù)負x)的圖象在(1,.#))處的切線方程為y—(e—l)=(2e-l)(χ-l),

即(2e—l)χ-y—e=0.

⑵由?(/we?-l)≥x2-2x及τ>0,

γ—1

得用

?--?

令g(x)=-?τ^(x>θ),

ri.2~X

則g(X)==-，

當x∈(0,2)時，g'(x)>0;

當x∈(2,+8)時，g，(X)V0,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減,

所以X=2是g(X)的極大值點，也是g(X)的最大值點，即g(x)max=g(2)=p.

所以，"》土,

故，"的取值范圍為［F，+∞).

2.(2022?長春模擬)設函數(shù)於)=/-m+2)χ+Hnx(αWR).

(1)若x=3是7U)的極值點，求兀V)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若40》1恒成立，求a的取值范圍.

解(1/(X)=2x-3+2)+點

=Tj>0)，

又/(3)=4普=0,

所以4=6,經(jīng)檢驗符合條件,

所以r(X)=2*n

令/'(X)>0,有O<x<l或x>3;

令/(x)<0,有KxO,

所以7U)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

(2)由題意T(X)NIuTa)min21,

當αW0時，令/'(x)>0,有x>l;

令/(x)<0,有O<x<l,

所以7U)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以火x)min=Λ1)=-a—1,

所以一〃一1》1,即αW-2,

當α>0時，Φθ<∣<l,即(Xa<2時,

存在11)=一1<0；

第>1,即α>2時，存在

③^=1,即”=2時，/(X)20,九0在(0,+8)上單調(diào)遞增，存在次1)=—3<0,

可知α>0時，J(x)21不恒成立.

綜上，6f≤一2.

應技能提升練

3.(2022?沈陽模擬)已知7(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，.穴X)=X2+sinx,g(x)是定義

在(0,+8)上的函數(shù)，且g(χ)=αr+1-2(a>0).

(1)求函數(shù)./U)的解析式；

⑵若對于VXICLl,1］,3X2∈(0,+∞),使得外∣)>g3)成立，求實數(shù)4的取值范圍.

解(1)設x<0,則一X>0,

所以共一x)=%2—sinx,

又7U)是奇函數(shù)，

所以#-x)=-√(x),

所以7U)=一式—X)=—%2+sinX,

又/(O)=O

x2+sinx(x≥O),

所以y(x)=

xz+sιnΛ?(X<O).

(2)由題意得Λx)min>g(x)min?

當x∈［O,l］時，f'(X)≈2X+COSΛ>0,

所以7U)在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以火X)min=∕(θ)=θ;

當XeLl,0)時，f'(x)=—2x÷cosx>0,

所以T(X)在［-1,0)上單調(diào)遞增