2.5 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（精講）（解析版）

2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（精講）考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系【例1-1】（2023春·四川成都）圓：與直線：的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】A【解析】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A【例1-2】（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】C【解析】由題知，圓心坐標(biāo)，半徑，將直線化為點(diǎn)斜式得，知該直線過定點(diǎn)，又，故該定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以該直線與圓必相交.故選：C【例1-3】（2023春·貴州遵義·高二遵義市南白中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．圓上恰有1個點(diǎn)到直線的距離為1，則B．圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離為1，則C．圓上恰有3個點(diǎn)到直線的距離為1，則D．圓上恰有4個點(diǎn)到直線的距離為1，則【答案】ACD【解析】圓的圓心為，半徑為2，A選項(xiàng)，要想圓上恰有1個點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離為3，即，解得，A正確；B選項(xiàng)，要想圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離大于1，小于3，即，解得，B錯誤；C選項(xiàng)，圓上恰有3個點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離等于1，即，解得，C正確；D選項(xiàng)，圓上恰有4個點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離小于1，即，解得，D正確.故選：ACD【一隅三反】1．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知圓，直線，則圓C與直線l（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓C的圓心【答案】B【解析】由可得，故圓心，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓C相切．故選：B2．（2023秋·高二課時練習(xí)）為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交【答案】C【解析】由題意知為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則，而圓：的圓心到直線的距離為，故直線與該圓的位置關(guān)系為相離，故選：C3．（2023春·四川成都·高二期末）已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】圓的方程可化為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離，此時直線與圓相切，故充分性成立；當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離，所以，故必要性成立，所以“”是“直線與圓相切”的充要條件.故選：C.4．（2023春·四川成都·高二期末）已知直線和圓，則“”是“圓上恰有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為1”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】圓的方程可化為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離，此時圓上恰有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為1，故充分性成立；當(dāng)圓上恰有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為1時，圓心到直線的距離，所以，解得，故必要性成立，所以“”是“圓上恰有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為1”的充要條件.故選：C.考點(diǎn)二直線與圓的弦長【例2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則直線被圓截得的弦的長度為（

）A．2 B．7 C． D．【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為5，則到直線的距離為，即直線和圓相交，故直線被圓截得的弦的長度為，故選：D【例2-2】（2023·廣東深圳）若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦最短時直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】

當(dāng)最短時，直線，所以.又，所以，所以的方程為，即.故選：D【一隅三反】1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）若圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立得，故A、B坐標(biāo)為，即.故選：D2．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．圓心到直線的距離為1 B．圓心到直線的距離為2C． D．【答案】BD【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離，所以A錯誤，B正確．因?yàn)?，所以C錯誤，D正確．故選：BD3．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知圓，下列說法正確的是（

）A．圓心為 B．半徑為2C．圓與直線相離 D．圓被直線所截弦長為【答案】BD【解析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，可知圓心，半徑，故A錯誤，B正確；由圓心到直線的距離，即，直線與圓相切，故C錯誤；圓心到直線的距離為，由圓的弦長公式，可得，所以D正確.故選：BD.考點(diǎn)三圓的切線方程【例3-1】（2023春·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為.【答案】【解析】圓的圓心，∵，則點(diǎn)在圓上，即點(diǎn)為切點(diǎn)，則圓心到切點(diǎn)連線的斜率，可得切線的斜率，故切線的方程，即.故答案為：.【例3-2】（2023·北京）過點(diǎn)的圓的切線方程為．【答案】或【解析】當(dāng)切線的斜率不存在時，切線的方程為，圓心到該直線的距離等于半徑1，符合題意，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，∵圓心到直線的距離等于半徑，∴，解得，∴切線方程為，綜上所述，切線方程為或．故答案為：或．【例3-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為．【答案】【解析】設(shè)過點(diǎn)的切線與圓相切于點(diǎn)，連接，則，圓的圓心為，半徑為，則，當(dāng)與直線垂直時，取最小值，且最小值為，所以，，即切線長的最小值為.故答案為：.【例3-4】（2023春·陜西西安）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；

設(shè)，切線為、，則，中，，所以．故選：C．【一隅三反】1．（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）圓在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【解析】設(shè)圓的圓心，點(diǎn)將代入圓的方程成立，所以在圓上，與切線垂直，所以切線斜率，切線方程為，即.故答案為：2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為【答案】或【解析】將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．3．（2023秋·高二課時練習(xí)）從圓外一點(diǎn)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【解析】由得，所以圓心為，半徑為，設(shè)切點(diǎn)分別為,連接,則為兩切線的夾角，由于,所以,由二倍角公式可得，故選:B

考點(diǎn)四兩圓的位置關(guān)系【例4-1】（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.【例4-2】（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.【例4-3】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【解析】由條件化簡得，即兩圓圓心為，設(shè)其半徑分別為，，所以有.故選：D【一隅三反】1．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，于是，所以兩圓相交.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個半徑為1，且與圓外切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：．【答案】（答案不唯一，方程滿足且即可）【解析】依題意可設(shè)所求圓的方程為，根據(jù)兩圓外切得兩圓的圓心距為，即．令，則，所求圓的方程可以為.故答案為：（答案不唯一）3．（2022秋·四川資陽·高二四川省資陽中學(xué)?？计谥校┮阎獔A與圓恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】由，即，可知圓的圓心為，半徑為；因?yàn)閳A與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交，則，∵，解得：，即的取值范圍是.故答案為：.考點(diǎn)五兩圓的公共弦【例5-1】（2022秋·高二課時練習(xí)）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.【例5-2】（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓與圓相交所得的公共弦長為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【解析】與兩式相減得，即公共弦所在直線方程.圓方程可化為，可得圓心，半徑.則圓心到的距離為，半弦長為，則有，解得或（舍），此時故選：.【例5-3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓和交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將和相減得直線，點(diǎn)到直線的距離，所以．故選：B【一隅三反】1．（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為.【答案】【解析】圓：的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A過圓的圓心，所以，所以，所以：，兩圓的方程相減可得相交弦方程為.故答案為：.2．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則【答案】【解析】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.3．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓，圓．(1)求兩圓的公共弦長；(2)求兩圓的公切線方程．【答案】(1)(2)和【解析】（1）易知圓的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，兩圓方程、相減可得公共弦直線方程為，所以點(diǎn)到的距離為，所以公共弦長為；（2）因?yàn)閳A的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，由圖象可知，有一條公切線為：，直線與的交點(diǎn)為，設(shè)另一條公切線的方程為，也即，則點(diǎn)到此公切線的距離，解得：，所以另一條公切線的方程為：，綜上，兩圓的公切線方程為和．考點(diǎn)六與圓有關(guān)的最值問題【例6-1】（2023·吉林長春）已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【解析】將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以圓心為，直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)，過點(diǎn)C作，垂足為Q，當(dāng)CP不垂直l時，顯然，當(dāng)時，，所以圓心C到直線l的最大距離為.故選：D

【例6-2】．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則（1）的最大值和最小值分別為和；（2）y－x的最大值和最小值分別為和；（3）的最大值和最小值分別為和．【答案】（1）（2）//（3）//【解析】程可化為，表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓．（1）的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時（如圖），斜率k取最大值或最小值，此時，解得k＝±.所以的最大值為，最小值為－.（2）y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b＝－2±，所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.（3）表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方．由平面幾何知識知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以的最大值是，的最小值是.故答案為：（1）；（2）；（3）；.【一隅三反】1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點(diǎn)，又由，可得定點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．故選：B.2．（2023廣東湛江）已知實(shí)數(shù)x、y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，則的最大值和最小值分別為.【答案】2，【解析】如圖，由已知，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，其中，而，其幾何意義為直線的斜率．由圖可知，而，故所求的的最大值為，最小值為.3．（2023·廣西）已知為圓C：上任意一點(diǎn)