1.4 空間向量應(yīng)用（精練）（原卷版）

1.4空間向量應(yīng)用（精練）1．（2022秋·高二單元測試）已知直線的一個(gè)方向向量，且直線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，則（）A．0 B．1 C． D．32．（2023江西）已知平面α內(nèi)兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）A．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-23．（2023浙江）已知，則下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．4．（2023山西）若平面，則下面選項(xiàng)中可以是這兩個(gè)平面法向量的是（）A．，B．，C．，D．，5．（2023·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．16．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）在長方體中，底面為正方形，平面，E為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．平面 D．平面平面7．（2023春·四川樂山·高二期末）如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點(diǎn)，為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A．

B．

C．

D．

8．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，，則l1∥l2B．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l⊥αC．兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是，，則α⊥βD．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l∥α9．（2023春·江蘇宿遷）如圖所示，正方體的棱長為，點(diǎn)分別是中點(diǎn)，則二面角的正切值為（

）

A． B． C． D．

10．（2023春·陜西漢中）如圖，在正方體中，為體對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．11．（2023·浙江溫州）四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．12．（2022·北京石景山）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．13．（2023春·河南南陽）（多選）已知向量是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)也在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．14．（2023河北）（多選）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，為棱長是1的正方體，下列結(jié)論正確的是（）A．直線的一個(gè)方向向量為B．直線的一個(gè)方向向量為C．平面的一個(gè)法向量為D．平面的一個(gè)法向量為15．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知空間中三個(gè)向量，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一個(gè)法向量是15．（2022秋·海南）（多選）如圖，在正方體中，，，，均是所在棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A． B．平面C．平面平面 D．16．（2023·遼寧朝陽）（多選）如圖，在棱長為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為17．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC．18．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在上，且，，求證：平面.19．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.20．（2023·北京）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.21．（2023春·山東青島）如圖，在正四梭柱中，已知，三棱錐的體積為．

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求與平面所成角的正弦值．22．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)E在線段上滿足，求二面角的余弦值.23．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中（如圖1），，，，，F(xiàn)分別是邊BD，CD上的點(diǎn)，將沿BC翻折，將沿EF翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合（記為點(diǎn)），且平面平面BCFE（如圖2）

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．24（2023·廣東佛山）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.25．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點(diǎn)，且平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．26．（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點(diǎn)（不與重合），平面交棱于點(diǎn).

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.27．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.

(1)求證:平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BP的距離.28．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．29．（2023·北京）如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形，，，，為中點(diǎn)，為靠近的四等分點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值：(3)求點(diǎn)到平面的距離.30．（2023春·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，且，，，是的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.1．（2023春·江蘇鹽城）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南許昌）（多選）如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面B．直線與所成的角可能是C．點(diǎn)存在一個(gè)位置，使得三棱錐的體積為D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形3．（2023·海南?？冢ǘ噙x）如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．對(duì)于任意點(diǎn)，到的距離的取值范圍為D．對(duì)于任意點(diǎn)，都是鈍角三角形4．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）（多選）如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形面內(nèi)（包含邊界）動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．與所成角為B．平面截正方體所得截面的面積為C．平面D．若，則三棱錐的體積最大值是5．（2023春·浙江溫州）（多選）在棱長為的正方體中，點(diǎn)為線段上異于端點(diǎn)的任意動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（

）

A．若平面，則直線平面B．若平面，則直線與平面所成角小于C．若平面，則直線與平面所成角小于D．若平面，則平面與平面的夾角大于6．（2023·福建福州）如圖，在三棱錐中，底面，，，將繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，得到如圖所示的組合體，為的中點(diǎn).

(1)當(dāng)為何值時(shí)，該組合體的體積最大，并求出最大值；(2)當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.7．（2023·廣東佛山）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.8．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．9．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在多面體中，，，都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．

(1)判斷，，，四點(diǎn)是否共面，并說明理由；(2)在中，試在邊的中線上確定一點(diǎn)，使得平面．10．（2023春·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）如圖