1.3 空間向量及其運算的坐標表示（精練）（解析版）

1.3空間向量及其運算的坐標表示（精練）1．（2023甘肅）在空間直角坐標系中，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，所以，解得：，，．所以點的坐標為．故選：D2．（2022·全國·高二專題練習）若，，，則（

）A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【解析】由已知，，，∴.故選：C．3．（2023春·重慶=）下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故B錯誤；對于C，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設，解得，所以共面，故不可以作為空間向量一個基底，故D正確.故選：D4．（2023北京）已知向量,則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵向量,∴.故選:B.5（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，由，得，解得.故選：B.6．（2023·河南周口=）已知向量，向量滿足，則（

）A．22 B．11 C． D．【答案】D【解析】因為，所以，則．故選：D7．（2023·高二單元測試）若直線的方向向量分別為，則（

）A． B．C．相交但不垂直 D．平行或重合【答案】B【解析】由題意∵，∴，∴.故選：B.8．（2023·黑龍江黑河·高二校聯(lián)考階段練習）（多選）已知，若為鈍角，則實數(shù)的值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】BC【解析】因為，為鈍角，所以且與不共線，由，得，得，當與時，令，則，得，所以當且時，為鈍角，故選：BC9．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知空間向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與夾角為銳角，則【答案】ABD【解析】對于A：，，即：，解得：.故A選項正確；對于B：，，解得：.故B選項正確；對于C：在上的投影向量為：，即，代入坐標化簡可得：，無解，故C選項錯誤；對于D：與夾角為銳角，，解得：，且與不共線，即，解得：，所以與夾角為銳角時，解得：.故D選項正確；故選：ABD.10．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀ǘ噙x）已知向量，，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為2 D．的最大值為4【答案】ABC【解析】對于A，若，且，，則存在唯一實數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當時，取得最小值，無最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.11．（2022秋·高二單元測試）（多選）已知空間向量，，則下列結論正確的是（）A． B．C．） D．與夾角的余弦值為【答案】BCD【解析】因為，且，故A不正確；因為，，則，故B正確；因為，，故C正確；由于，，所以，所以D正確.故選:BCD.12．（2023秋·高一單元測試）若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)x的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【解析】因為與的夾角為銳角，所以，解得，當與共線時，，解得，所以實數(shù)x的取值范圍是，經檢驗，選項C、D符合題意.故選：CD13．（2023·高三課時練習）若ABCD為平行四邊形，且已知點、、，則頂點D的坐標為______．【答案】【解析】設，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，所以，即.故答案為：.14．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點.

(1)求線段的長度；(2)求.【答案】(1)(2)【解析】（1）如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，故，所以，即線段的長度為；（2），則，所以.

15．（2023春·高二課時練習）如圖，在正四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是與的交點，，是的中點．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．【答案】答案見解析【解析】由正棱錐的結構特征可知：平面，方法一：以為坐標原點，正方向為軸，作軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，.方法二：四邊形為正方形，，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，.16．（2022秋·重慶江北·高二校考期末）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，，M、N分別是AB、PC的中點．(1)求證：MN⊥平面PCD；(2)求點C到平面MND的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，由，又平面PCD，∴MN⊥平面PCD.（2）∵平面PCD，∴，設點C到平面MND的距離為，，，則有，解得.故點C到平面MND的距離為17．（2023·江蘇·高二專題練習）棱長為2的正方體中，E、F分別是、DB的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決下列問題：(1)求證：；(2)求；(3)求的長．【答案】(1)證明見解析;(2);(3).【解析】（1）解：如圖，以為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則,因為，所以，所以，故；（2）解：因為，所以因為，且,所以；（3）解：因為是的中點，所以又因為，所以,.即.18．（2022·高二課時練習）如圖，在直三棱柱中，，，為AB的中點，點在線段上，點在線段上，求線段EF長的最小值．【答案】【解析】依題意，、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，設，，則，設，，則．若線段EF的長最小，則必滿足，則，可得，即，因此，，當且僅當時等號成立，所以線段EF長的最小值為．19．（2023云南）如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿足，，，．(1)若點F為DC的中點，求；(2)若點E為PB的中點，點M為AB上一點，當時，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為為等腰直角三角形，，，所以，又，，所以．而，，故，因，平面，故平面.以點C為原點，CP，CD所在直線分別為x，z軸，過點C作PB的平行線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．則，，，，．則，，所以．（2）由（1）知，設，而，所以，所以，所以，又，因為，故，所以，解得，所以．20．（2023天津）如圖，已知多面體ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.證明：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz．由題意知各點坐標如下：，，，，．因此，，．由，得．由，得．又因為，所以平面．1．（2023廣西）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內的一個動點，且滿足MP＝MC．則點M在正方形ABCD內的軌跡為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】以為原點，分別為軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，設，正方形邊長為，則，則，由，即，整理得到，所以點在正方形內的軌跡為一條直線的一部分故選：A.

2．（2022·遼寧）（多選）已知正方體的邊長為2，為的中點，為側面上的動點，且滿足平面，則下列結論正確的是（

）A． B．平面C．動點的軌跡長為 D．與所成角的余弦值為【答案】BC【解析】如圖建立空間直角坐標系，設正方體棱長為，則，，，，，所以，，，由平面，得，即，化簡可得，所以動點在直線上，A選項：，，，所以與不垂直，所以A選項錯誤；B選項：，平面，平面，所以平面，B選項正確；C選項：動點在直線上，且為側面上的動點，則在線段上，，所以，C選項正確；D選項：，，D選項錯誤；故選：BC.3．（2023黑龍江）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為4，P是的中點，點M在側面（含邊界）內，若.則△BCM面積的最小值為（）A．8 B．4 C． D．【答案】D【解析】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，設，則，，因為，所以，得，所以，所以，當時，取最小值，易知，且平面，平面故，故所以的最小值為．故選：D.4.（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長為6，點為的中點，點為底面上的動點，滿足的點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B.5．（2023內蒙古）如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點，動點P在圓錐底面內(包括圓周).若，則點S與P距離的最小值是___________．【答案】【解析】如圖，以O為原點，OB為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則，，∵，∴，解得，∴知，當時，點與距離的最小，其最小值為．故答案為：．6．（2022·湖南·高二期中）（多選）已知正方體ABCD－EFGH棱長為2，M為棱CG的中點，P為底面EFGH上的動點，則（

）A．存在點P，使得B．存在唯一點P，使得C．當，此時點P的軌跡長度為D．當P為底面EFGH的中心時，三棱錐P－ABM的外接球體積為【答案】BCD【解析】以D為原點，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），設P點坐標為（x，y，2）（），，為求的最小值，找出點A關于平面EFGH的對稱點，設該點為，則點坐標為∴故A選項錯誤．由可得故B選項正確．時，即，此時由點P坐標為得到點P軌跡是連接棱EF中點與棱EH中點的線段，其長度為線段HF的一半，即長為．故C選項正確．當P為底面EFGH的中心時，由B選項知．易得．∴外接球球心為棱AM的中點，從而求得球半徑為．故D選項正確．故選：BCD．7．（2023·江蘇）（多選）設正方體ABCD—的棱長為2，P為底面正方形ABCD內（含邊界）的一動點，則（

）A．存在點P，使得A1P平面B．當時，|A1P|2的最小值是C．若的面積為1，則動點P的軌跡是拋物線的一部分D．若三棱錐P—的外接球表面積為，則動點P的軌跡圍成圖形的面積為π【答案】ABD【解析】A選項，連接，則BD∥，平面，平面，所以BD∥平面，同理可證：∥平面，而，所以平面∥平面，故點P在線段BD上時，滿足A1P平面，A正確；B選項，取CD中點E，以E為圓心，EC為半徑在平面ABCD中作圓，如圖，為圓弧CD，當P點在弧CD上時，能夠滿足，連接AE交圓弧CD于點P，此時AP的長度最小，則|A1P|2取得最小值，其中由勾股定理得：，，由勾股定理得：，B正確；連接，由勾股定理可得：，若的面積為1，則動點P到直線的距離為，以為軸，半徑為的圓柱，與平面ABCD的交線即為P點的軌跡，由平面知識可知：用平面不垂直于軸去截圓柱，得到的是橢圓的一部分，C錯誤；D選項，若三棱錐P—的外接球表面積為，設外接球半徑為R，則，解得：，設球心O在平面上的投影為F，則F在線段的中點，，設點P在平面投影為G，過點O作OH⊥GP于點H，連接，OP，則OH=FG，OF=HG，，其中PG=2，則由勾股定理得：，則，則，所以，所以P點到F點的距離為定值，故動點P的軌跡圍成圖形是半徑為1的圓，面積為，D正確.故選：ABD8．（2023·山東棗莊）已知正方體的棱長為2，E、F分別是棱、的中點，點P為底面ABCD內（包括邊界）的一動點，若直線與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為______.【答案】【解