抽象函數(shù)常見模型習(xí)題歸納

抽象函數(shù)常見模型歸納匯編1、正比例函數(shù)型正比例函數(shù)型函數(shù)特征式為：例1、是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的、都有，且當(dāng)>0時(shí)，＜0，EQ。問(wèn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在最大值？假設(shè)存在，請(qǐng)求出最大值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：我們知道，正比例函滿足。根據(jù)題設(shè)，我們可推知此題是以正比例函數(shù)，于是，用賦值法令x=y=0再?gòu)牡钠媾夹浴握{(diào)性入手解。解：令那么，解得又因?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)。設(shè)、<,那么EQ>0，依題意,有<0EQ，所以,EQ即函數(shù)在R上是減函數(shù)。因此，函數(shù)當(dāng)時(shí)有最大值，且例2、函數(shù)f〔x〕對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，且當(dāng)x＞0時(shí)，f〔x〕＞0，f〔－1〕＝－2，求f〔x〕在區(qū)間[－2，1]上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f〔x〕是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f〔x〕的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，∵，∴，即，∴f〔x〕為增函數(shù)。在條件中，令y＝－x，那么，再令x＝y(tǒng)＝0，那么f〔0〕＝2f〔0〕，∴f〔0〕＝0，故f〔－x〕＝f〔x〕，f〔x〕為奇函數(shù)，∴f〔1〕＝－f〔－1〕＝2，又f〔－2〕＝2f〔－1〕＝－4，∴f〔x2、一次函數(shù)型例1、函數(shù)滿足:對(duì)任意的，都有，并且當(dāng)時(shí),，如,解不等式,。分析:猜測(cè)的背景函數(shù)是一次函數(shù),又由于時(shí),，那么為增函數(shù),那么求不等式的解就轉(zhuǎn)化成證明為增函數(shù)。解:令,有,由=,那么為增函數(shù)；因?yàn)椋?所以,又因?yàn)?，那么，所?那么。點(diǎn)評(píng)：將數(shù)值化成函數(shù)值，將一般不等式轉(zhuǎn)化成增函數(shù)的不等式是此題化歸的關(guān)鍵。例2、函數(shù)f〔x〕對(duì)任意，滿足條件f〔x〕＋f〔y〕＝2+f〔x＋y〕，且當(dāng)x＞0時(shí)，f〔x〕＞2，f〔3〕＝5，求不等式的解。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f〔x〕是y＝x＋2的抽象函數(shù)，且f〔x〕為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜測(cè)正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，那么，

即，∴f〔x〕為單調(diào)增函數(shù)?！?，又∵f〔3〕＝5，∴f〔1〕＝3?！啵?，即，解得不等式的解為－1<a<3。3、指數(shù)函數(shù)型指數(shù)函數(shù)型函數(shù)特征式為：例1、定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意都有〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕判定函數(shù)值的正負(fù)；〔Ⅲ〕判斷在R上的單調(diào)性；〔Ⅳ〕假設(shè)，求的取值范圍。分析：由可知此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)抽象而來(lái)的，再由條件“當(dāng)時(shí)，”可知此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。由此可知在R上單調(diào)遞增函數(shù)。由背景函數(shù)引導(dǎo)得到問(wèn)題的結(jié)論，然后用賦值等方法得以證明。解：〔Ⅰ〕令那么，因?yàn)椋浴并颉钞?dāng)時(shí)，，所以，即又當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，恒有〔Ⅲ〕設(shè)那么，所以×因?yàn)榍?，所以。從而即是R上的增函數(shù)?！并簟秤?gt;1,得>又是R上的增函數(shù)，所以>0，解得0<x<3.4、對(duì)數(shù)函數(shù)型對(duì)數(shù)函數(shù)型函數(shù)特征式為：例1、函數(shù)的定義域是〔0，+〕，當(dāng)時(shí)，且。〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕判在定義域上的單調(diào)性；〔Ⅲ〕如果求滿足不等式的的范圍。分析：由可知此函數(shù)的背景函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，又由條件當(dāng)時(shí)，，可知此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)且=0，可用函數(shù)的單調(diào)性解不等式。解：〔Ⅰ〕令，得，所以。(Ⅱ)令得，所以.任取,且那么,由于,所以,從而.所以在定義域上單調(diào)遞增.〔Ⅲ〕由于,而,所以.在中,令,得.又,所以所給不等式可化為,即,所以有解得.所以的取值范圍是.例2、函數(shù)是定義在〔0，+〕上的增函數(shù)，且滿足:對(duì)任意的，都有，如,解不等式.分析:猜測(cè)的背景函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù),且經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)(1,0),由于是增函數(shù),就有,那么題設(shè)不等式的解就應(yīng)濃縮轉(zhuǎn)化成增函數(shù)的不等式解。解:因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,即,有,由于在定義域〔0，+〕上是增函數(shù),那么由,,聯(lián)立求得解集為:。點(diǎn)評(píng)：此題由于是增函數(shù)，所以對(duì)抽象函數(shù)的增減性不要再作證明，關(guān)鍵是充分應(yīng)用表達(dá)式，經(jīng)過(guò)屢次配湊、轉(zhuǎn)化，架設(shè)解決問(wèn)題的橋梁。5、冪函數(shù)型冪函數(shù)型函數(shù)特征式為：例1、函數(shù)的定義域?yàn)镽，都有且，，當(dāng)時(shí)，?！?〕判斷的奇偶性；〔2〕判斷并證明在[0，+〕上的單調(diào)性；〔3〕如且，求的取值范圍。分析:由題設(shè)條件的特殊性，可聯(lián)想是的抽象函數(shù),且經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)(1,0),是偶函數(shù),在[0，+)上是增函數(shù)。解:(1)令，那么，故為偶函數(shù)；〔2〕設(shè)，那么，又，得，即在[0，+]上為增函數(shù)；〔3〕因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,那么有,即.1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,那么f(2001)=_______.解析:這種求較大自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一般從找周期或遞推式著手：令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,2.f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1,且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.假設(shè)g(x)=f(x)+1-x,那么g(2002)=___1___.解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5,又f(x+1)≤f(x)+1，所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.3.f(x)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，那么〔4、對(duì)任意整數(shù)函數(shù)滿足：，假設(shè)，那么CA.-1B.1C.19D.435、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對(duì)都有成立，假設(shè)，那么=〔〕〔B〕A.2005B.2C.1D.06，是定義在R上的偶函數(shù)，且恒成立，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為〔D〕A．B．C．D．解：易知T=2，當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),∴.應(yīng)選D7，y=f(2x+1)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f(2x)的圖象的對(duì)稱軸是〔D〕A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x=解析：f(2x+1)關(guān)于x=0對(duì)稱,那么f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱,故f(2x)關(guān)于2x=1對(duì)稱.8，①定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=–f(x)，那么f(6)的值為〔B〕A.–1B.0C.1D.2周期性的性質(zhì)〔1〕假設(shè)圖像有兩條對(duì)稱軸，那么必是周期函數(shù)，且一周期為；〔2〕假設(shè)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心，那么是周期函數(shù)，且一周期為；〔3〕如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，那么函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；〔4〕①假設(shè)f(x+a)=f(x+b)那么T=|b-a|；②函數(shù)滿足，那么是周期為2的周期函數(shù)；③假設(shè)恒成立，那么；④假設(shè)恒成立，那么.解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，又T=4，所以f(6)=f(2)=–f(0)=0。②函數(shù)f(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f(1+2x)=f(1-2x)，那么f(2x)的圖像關(guān)于對(duì)稱。〔x=1/2〕9，函數(shù)滿足：，，那么=_____________.解析：取x=1y=0得法一：通過(guò)計(jì)算，尋得周期為6法二：取x=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)聯(lián)立得f(n+2)=—f(n-1)所以T=6故=f(0)=10，奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T>0，恒有f(x+T)=f(x)，那么在區(qū)間［0，2T］上，方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)最小值為〔〕CA.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)解：∵f(0)=0→x1=0，又f(2T)=f(T)