湖南省岳陽市平江縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高二年級10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（）A．B．C． D．2．?dāng)?shù)列，，，，，，的一個通項公式為（）A． B．C． D．3．橢圓的兩個焦點是F1(－1,0),F2(1,0)，P為橢圓上一點，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則該橢圓方程是（）A．B．C． D．4．已知命題且為假命題，則可以肯定（）A．為真命題 B．為假命題C．都是假命題 D．中至少有一個是假命題5．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得曲線向右平移個單位長度，最后所得曲線的一條對稱軸是（）A． B． C． D．6．若,則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．命題“”的否定為（）A． B．C． D．8．如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有個點，相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為，則等于（）A． B． C． D．9．已知的內(nèi)角所對的邊分別是，且，若邊上的中線，則的外接圓面積為（）A． B． C． D．10．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）A． B．C． D．11．（多選題）下列命題正確的是（）A．B．，使得C．是的充要條件D．若，則12．（多選題）數(shù)列的前項和為，若，，則有（）A． B．為等比數(shù)列C． D．二、填空題13．如果方程的兩根為和3且，那么不等式的解集為____________．14．已知的一個內(nèi)角為，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_______________.15．正項等比數(shù)列滿足，且2，，成等差數(shù)列，設(shè)，則取得最小值時的值為_________．16．已知橢圓的左焦點為，右焦點為．若橢圓上存在一點，線段與圓相切于點，且為線段中點，則該橢圓的離心率為_____．三、解答題17．焦點在軸上的橢圓的方程為，點在橢圓上.（1）求的值.（2）依次求出這個橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率.18．如圖，在中，已知，是邊上的一點，，，.（1）求的面積；（2）求邊的長.19．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，其中成等差數(shù)列．（1）數(shù)列的通項公式；（2）記，則數(shù)列的前項和．20．已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于x的不等式，；（3）設(shè)，若對于任意的都有，求M的最小值.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.（1）令，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：.①求數(shù)列的通項公式；②是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.22.設(shè)O為坐標(biāo)原點,橢圓的左焦點為F,離心率為.直線與C交于兩點,的中點為M,（1）求橢圓C的方程（2）設(shè)點,求證:直線l過定點,并求出定點的坐標(biāo).高二年級10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，利用并集的概念即可.【詳解】由題意可得，，所以，故選：A．2．?dāng)?shù)列，，，，，，的一個通項公式為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】首先注意到數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，其次數(shù)列各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，從而易求出其通項公式．【詳解】∵數(shù)列{an}各項值為，，，，，，∴各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，∴|an|＝2n﹣1又∵數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故選C．3．橢圓的兩個焦點是F1(－1,0),F2(1,0)，P為橢圓上一點，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則該橢圓方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】【詳解】試題分析：由題意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而結(jié)合橢圓的定義可知，|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3∴橢圓的方程為，選B.4．已知命題且為假命題，則可以肯定（）A．為真命題 B．為假命題C．都是假命題 D．中至少有一個是假命題【答案】D【解析】本題考察的是復(fù)合命題．由條件可知，只有當(dāng)都是真命題時“”才為真命題．所以應(yīng)選D．5．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得曲線向右平移個單位長度，最后所得曲線的一條對稱軸是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出圖像變換最后得到的解析式，再求函數(shù)圖像的對稱軸方程.【詳解】由題得圖像變換最后得到的解析式為，令，令k=1,所以.故選A6．若,則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時，可驗證方程滿足雙曲線的要求，充分性得證；根據(jù)，可求得當(dāng)方程表示雙曲線時的取值范圍，得到必要性不成立，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，則方程表示雙曲線，充分條件成立；若方程表示雙曲線，則，解得：或必要條件不成立綜上所述：“”是“方程表示雙曲線”的充分而不必要條件故選7．命題“”的否定為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，直接進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，將全稱量詞換為存在量詞，不等號換為＞，可得命題“”的否定為“”，故選：B.8．如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有個點，相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項求和法可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】，，，，則，所以，，其中且，因此，.故選：D.9．已知的內(nèi)角所對的邊分別是，且，若邊上的中線，則的外接圓面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，結(jié)合正弦定理可求得外接圓半徑，從而得外接圓面積.【詳解】∵，∴，．又是中點，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故選：A．10．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】化角為邊，由余弦定理求出角的取值范圍，設(shè)，則，并確定的取值范圍，再由關(guān)于的一元二次不等式恒成立，，求出間的不等量關(guān)系，利用的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理，得，又因為，所以，記，則.因為，所以，從而，所以可化為，即，恒成立，所以依題有，化簡得，即得恒成立，又由，得或.故選:A.11．（多選題）下列命題正確的是（）A．B．，使得C．是的充要條件D．若，則【答案】AD【解析】【分析】對四個選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，時，，故A選項正確.對于B選項，當(dāng)時，不成立，故B選項錯誤.對于C選項，當(dāng)“”時，“”成立；當(dāng)“”時，如，此時，故“”不成立，也即“”是“”的充分不必要條件.故C選項錯誤.對于D選項，當(dāng)時，，，由于，故，所以D選項正確.故填：AD.12．（多選題）數(shù)列的前項和為，若，，則有（）A． B．為等比數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由數(shù)列中和的關(guān)系式，求得數(shù)列的通項公式，可判定D正確；再利用題設(shè)條件，求得的表達(dá)式，可判定A正確，最后結(jié)合等比數(shù)列的定義，可判定B正確.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和滿足，當(dāng)時，，兩式相減，可得，可得，即，又由，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為；當(dāng)時，，又由時，，適合上式，所以數(shù)列的的前項和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，綜上可得選項是正確的.故選：ABD.二、填空題13．如果方程的兩根為和3且，那么不等式的解集為____________．【答案】或【解析】【分析】由韋達(dá)定理可得出，，代入不等式，消去得出，再解該不等式即可.【詳解】由韋達(dá)定理得，，代入不等式，得，，消去得，解該不等式得，因此，不等式的解集為或，故答案為或.14．已知的一個內(nèi)角為，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_______________.【答案】【解析】【分析】【詳解】試題分析：設(shè)三角形的三邊長為a4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根據(jù)題意可知三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，可知a+c=2b,C=120,，則由余弦定理，c=a+b2abcosC，,三邊長為6,10,14，,b=a+c2accosB,即（a+c）=a+c2accosB,cosB=，sinB=可知S==.15．正項等比數(shù)列滿足，且2，，成等差數(shù)列，設(shè)，則取得最小值時的值為_________．【答案】【解析】【分析】先由題意列關(guān)于的方程組，求得的通項公式，再表示出，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，，成等差數(shù)列，可得，則，所以，解得(舍去)或.因為，所以.所以.所以.所以，當(dāng)時，取得最小值，取得最小值.故答案為：.16．已知橢圓的左焦點為，右焦點為．若橢圓上存在一點，線段與圓相切于點，且為線段中點，則該橢圓的離心率為_____．【答案】.【解析】【分析】連接，．利用切線的性質(zhì)可得．利用三角形中位線定理可得：，．再利用勾股定理與離心率計算公式即可得出．【詳解】解：如圖所示，連接線段與圓相切于點，．又為的中點，化為：解得．故答案為：．三、解答題17．焦點在軸上的橢圓的方程為，點在橢圓上.（1）求的值.（2）依次求出這個橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率.【答案】（1）2（2）長軸長4、短軸長、焦距、離心率【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，代入點，即可求解.（2）由（1），寫出橢圓方程，求解，根據(jù)橢圓長軸長、短軸長、焦距、離心率定義，即可求解.【詳解】（1）由題意，點在橢圓上，代入，得，解得（2）由（1）知，橢圓方程為，則橢圓的長軸長；’短軸長；焦距；離心率.18．如圖，在中，已知，是邊上的一點，，，.（1）求的面積；（2）求邊的長.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，根據(jù)余弦定理求得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的長．詳解：（1）在中，由余弦定理得，∵為三角形的內(nèi)角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．19．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，其中成等差數(shù)列．（1）數(shù)列的通項公式；（2）記，則數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式,解方程可得公比,進(jìn)而得到所求通項公式;(2)求得,運用數(shù)列的分組求和法,結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,計算可得所求和.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,因為,,成等差數(shù)列,所以,又因為,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.20．已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于x的不等式，；（3）設(shè)，若對于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理直接求解即可.（2）轉(zhuǎn)化為，然后分別對，，，進(jìn)行討論即可.（3）因為對于任意的都有，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得到，然后分別求出，即可.【詳解】解：（1）因為的解集為，所以的根為，2，所以，，即，；所以；（2），化簡有，整理，所以當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，（3）因為時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，有，則有，所以，，因為對于任意的都有，即求，轉(zhuǎn)化為，而，，所以，此時可得，所以M的最小值為.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.（1）令，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：.①求數(shù)列的通項公式；②是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由題，得，即可得到本題答案；（2）①由，得，所以，恒等變形得，，由此即可得到本題答案；②由錯位相減求和公式，得的前n項和，然后通過求的解，即可得到本題答案.【詳解】（1）因為，所以，即，又因為，所以，即，所以數(shù)列是以2為公比和首項的等比數(shù)列，所以；（2）①由（1）知，，當(dāng)時，，又因為也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為