新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)空間幾何體體積及點(diǎn)到面的距離問題4種題型 同步講義

31、空間幾何體體積及點(diǎn)到面的距離問題4種題型

【題型目錄】

題型一：三棱錐體積

題型二：四棱錐的體積

題型三：分割作差法求多面體的體積

題型四：點(diǎn)到面的距離問題（等體積法）

【典型例題】

題型一：三棱錐體積

三種思路：1.直接找高

2.轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)

3.轉(zhuǎn)化為大的棱錐的倍數(shù)

【例1】如圖，在正三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=B

⑴求P-ABC的體積.

【答案】⑴:3

4

【詳解】（1）過P作底面垂線，垂直為0,則。為底面三角形的中心,

32

連接A。并延長，交5C于N,則AN=—,AO=-AN=L

23

.'?W=√22-I2=√3.

._11/r3/-_3

?,v^P-ABC_3乂5乂。3乂5乂03一"

B

【例2】如圖，在直二棱柱ABC-ABIG中，4B=1,BC=2,BB1=3,AB.LBC,AB_Z,平面

BCCiBl,點(diǎn)D為側(cè)棱8耳上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求此直三棱柱ABC-A1BC的表面積；

（2）當(dāng)4D+OC∣最小時(shí)，求三棱錐A-O8C∣的體積.

【答案】⑴11+3百

（2）1

【分析】（1）利用矩形與三角形的面積公式分別求出直三棱柱4BC-ABIG中各個(gè)面的面積,

并相加即可；

（2）展開三棱柱，由平行線分線段成比例求得BD=1,而且得到SM,A,=3SAW,,利用換頂

點(diǎn)法可求得匕Qg=；/一A6G，得解.

【詳解】（1）由題可知，在RtZ?4BC中，AC=NAB^BC=5

又因?yàn)锳82平面BCC4，

+5

所以S表=SAMlAACC,A+SBCCA+2SABC=AB?BB∣+BC?BB∣+AC?BB∣+2χgAB?BC

=l×3+2×3+√5×3+2×∣×l×2=H+3√5.

（2）將三棱柱展開成矩形ACGA,連接AC∣,交BBl于點(diǎn)D,則此時(shí)A。+。G最小，

BDAB111

BD∕∕CCi,??-^=^..?,BD=T-Ξ×3=1）.?.SABD=-×1×1=-,

13

SBBA=B-ABC?

ii=^X1x3=5=3SABO,?,?3VCLABD=VG-iii

「?匕-力HG=匕；-人叨=§匕-A4G=5乂3'2*1'2'3=§.

4BlC1

【例3】如圖，在多邊形A8P8中（圖1）.四邊形ABa）為長方形，ABPC為正三角形,

AB=3,BC=3應(yīng)，現(xiàn)以Be為折痕將ABPC折起，使點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好是AD

的中點(diǎn)（圖2）.

⑴證明：AeJ_平面PAD；

（2）若點(diǎn)E在線段PB上，且PE=gpB,求三棱錐E-OCP的體積.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）作出輔助線，得到P0_L平面ABC。，POAB,結(jié)合AB_LAD,證明出線面

垂直；

（2）作出輔助線，求出各邊長，利用瞑“8匕f8求出答案.

（1）

取A。的中點(diǎn)。，連接尸。，由題知P0_L平面A5CZ）.

因?yàn)锳Bi平面ASCO,所以POLAS,

又因?yàn)锳B_LA￡>,POIAD=O,PO,A。U平面%D所以ABj_平面PAO.

取BC的中點(diǎn)/，連接QF,PF,

因?yàn)閍BPC為正三角形，

所以PB=BC=3√∑,PFLBC,

則BF=JBC=延，PF-=PB2-BF2=-,

222

由（1）知，PO為三棱錐尸-DCB的高，

因?yàn)镻。，平面ABCr>,OFU平面ABCC,

所以POLOF,

所以PO=JPF2-OF?=欄-9=半,

因?yàn)镻E=98,則匕叩=Ng=*f6=gx%（gx3x3√∑[x^=∣.

【例4】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCO為直角梯形.43〃Cr）,NABC=90。,

AB=2√2，BC=CD=母,△%￡>為等邊三角形，平面BLe）I.平面ABCD

（1）若M為PB的中點(diǎn)，證明：CM〃面外￡）；

（2）求三棱錐C-PBO的體積.

【答案】（1）證明過程見解析；

【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形CZ）HM為平行四邊形，得到線線平行，進(jìn)而證明

線面平行；

（2）利用VeTIlD=VSD求解三楂錐C-PBD的體積.

（1）

取4P的中點(diǎn)H,連接O”,MH,

因?yàn)镸為尸B的中點(diǎn)，

所以HM∕∕AB^HM=-AB,

2

因?yàn)锳B=2應(yīng)，BC=CD=五，AB//CD.

所以CD=*,

所以〃M〃Co,且HM=CO,

所以四邊形CQ”何為平行四邊形，

所以DH//CM,

因?yàn)镃McZ平面PAD,DHU平面PAD,

所以CM〃平面PAD.

取AO的中點(diǎn)E,連接PE,

因?yàn)椤髅?gt;為等邊三角形，

所以PE±AD,

因?yàn)槠矫鍼AI)J_平面A8C。，交線為40,PEU平面出力，

所以PEI.平面ABCD,

因?yàn)镹ABC=90。，AB//CD.

所以CDJ_BC,

因?yàn)锽C=CD=舊

所以SBCD=；BCeD=；X忘X￠=1,

過點(diǎn)。作ONLAB于點(diǎn)M

則四邊形BCfW為矩形，所以BN=CD=6，BC=DN=正，

因?yàn)锳B=2√∑,所以AN=AB-BC=2也-貶=6,

由勾股定理得：AD=?∣DN2+AN2=√2÷2=2'

所以AE=f>E=l,PE=AE?tan60o=^.

則三棱錐C-PBD的體積Z網(wǎng)=/CBD='SBCO?PE='X1X6=3?

C-roΛ√r—CbU3HLD3^3

P

【例5】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABC。為正方形，%_L平面ABCnPA=AB=3,點(diǎn)

M,N分別是棱尸。的三等分點(diǎn).

P

(1)證明：BN〃平面ACM；

(2)求三棱錐N-ACM的體積.

【答案】(1)見解析

(2)1

【分析】(1)連接8。交AC于E,連接EM,證明@0〃5N,再根據(jù)線面平行的判定定理即

可得證；

(2)證明C￡>J_平面力。，再根據(jù)%TCM=L.AW即可得出答案.

(1)

證明：連接8。交AC于E,連接EM,

因?yàn)?8CD是正方形，且30交AC于￡所以E為8。的中點(diǎn)，

又點(diǎn)M,N分別是棱尸。的三等分點(diǎn)，所以M為Z)N的中點(diǎn)，所以EMHBN,

乂BNU平面ACM,EMU平面ACM,

所以BN〃平面ACM；

(2)

解：因?yàn)椤?_L平面ABCQ,AD,8U平面A8CQ,

所以見J_CD,PALAD,

因?yàn)榈酌鍭BCC為正方形，所以AeCz),

又">cP4=A,AD,PAU平面用。，

所以CD_L平面PAD,

在Rl△勿。中，B4=4X3,點(diǎn)M,N分別是棱PD的三等分點(diǎn),

13

所以SAMN=ISPAD=Q,

--1133

所以Vv-ACM=%-AMV=]§MMNXCD=~×~×3~~.

【題型專練】

1.如圖，在四棱錐P-ABeD中，底面ABa)是邊長為2的正方形，側(cè)棱PZ)I底面ABa>,

PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EFLPB交PB于點(diǎn)F.

(1)求三棱錐A-BDE的體積；

【答案】⑴:

【分析I(I)取OC中點(diǎn)M,連接EM，易知EM=I且EMl.底面A8C。，由此即可求出

答案；

(1)

取。C中點(diǎn)M,連接EM,

在△「￡心中，M、E分別為CZλCP中點(diǎn)，

：.EM為APDC的中位線，

：.EM〃PD,HEM^-PD,

2

又YPD=2,

/.EM=1

,.?PDj_底面ABCD,

??.EM1底面ABa),

112

,?VA-BDE=^E-ABD=§*/*2乂2X1=§;

2.在直三棱柱A8C-AEG中，AC=3,BC=4,AAl=AB=5,。是A3的中點(diǎn).

(1)求三棱錐。-BCq的體積；

(2)求證：Aa〃平面CQ耳；

【答案】(1)5;

(2)詳見解析；

【分析】(1)由題可得AC18C,然后結(jié)合條件利用棱錐體積公式即得；

(2)設(shè)BCH8C∣相交于點(diǎn)E，可得AG//DE,根據(jù)線面平行的判定定理，即得；

(3)由題可得三棱柱ABC-AAG的外接球即為以CG，CA,CB為棱的長方體的外接球，然

后利用長方體的性質(zhì)即得.

(1)

因?yàn)锳C=3,BC=4,AAl=AB=5,

所以AC2+BC2=AB2,即AC/8C,又。是AB的中點(diǎn)，

v=455

所以%-BCSl=?-DBC=~β,-ABC~×T×?××~×=：

(2)

設(shè)BtC與BG相交于點(diǎn)E,連接EO,

在aC∣A8中，。為AB的中點(diǎn)，E為GB的中點(diǎn),

所以AG"DE,

因?yàn)锳Ga平面CDB1,OEU平面CDBt,

所以ACJ/平面CO&；

3.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=6，PA=PC=AC=2,0,M分別為AC,BC

的中點(diǎn).

P

（1）證明：AB〃平面「。M；

（2）若PM=亞，求三棱錐P-OMC的體積.

2

【答案】（1）證明見解析

⑵*

【分析】（I）利用線面平行的判定定理證得結(jié)論成立.

（2）先判斷出三棱錐P-OMC的高，然后根據(jù)錐體體積公式求得三棱錐P-OMC的體積.

【詳解】（1）因?yàn)?,M分別為4C,BC的中點(diǎn)，

所以AB〃。用，

又A8Z平面POM,OMU平面POM,

所以AB//平面尸OM.

（2）由題知△%（；是等邊=角形，。為AC的中點(diǎn)，

所以PO_LAC,且PO=6.

由題可知A5C為等腰直角三角形，OM=LAB=也.

又因?yàn)镻M=",所以PM=PO'+)?”,所以Po_LOM.

2

又因?yàn)镺MAC=O,OM,ACu平面ABC,所以Po/平面A8C,

所以：棱錐P-OWC的高為尸。，

其體積嗎傳卜道喑

4.如圖，在三棱柱A8C-A8∣G中，AB=A,ZfiAC=30°,側(cè)面8CG4是正方形，E是BBl

的中點(diǎn)，CE=下,CEAC.

⑴求證：CC1±AC；

⑵F是線段AG上的點(diǎn)，且滿足CF_LAG.求三棱錐C-AM的體積.

【答案】（1）證明見解析：

⑵有

【分析】（1）先證明AClBC,利用線面垂直的判定定理證明出AC1√平面BCG片,即可得

到AC1CC,;

（2）先利用題意計(jì)算出SΔACP,接著證明BC）平面ACClAt和BB1//平面ACClAi,則可得到

E到平面ACGA的距離等于B到平面ACGA的距離，即可求得答案

（1）

因?yàn)樗倪呅?CG4為正方形，E為BBl的中點(diǎn)，CE=器,

2

22

所以8C?+BE-=CE即BC+=5，解得BC=2，

ABsinZBAC4×sin30o

在LABC中，由正弦定理得：SinZACB=----------------------=-----------τ---------=11'

BC2

因?yàn)?。VNACBVI80。，所以NAe6=90。，即ACIBC,

因?yàn)锳C，CE,BCCCE=C,BC,CEU平面BCC1B1,所以AC，平面BCClBl,

又因?yàn)镃GU平面BCCg,所以ACLCG;

(2)

在RtZiABC中，AC=√42-22=2√3-

在用VACG中，AGT22+(2國=4,

所以SACG=gAC?CG=34G?C尸，解得CF=6,

在RtACF中，AF=Q(2可一(6j=3,

所以SACF=LAF?CF=空，

acf22

因'為AC±BC,CC1±BC,ACCCCl=C,AC,CC1U平面ACCtAt,

所以BCJ平面ACeM，

因?yàn)锽Bl∕∕CCl,BB1<χ平面ACCM,CC1U平面ACC1A1,

所以BBl〃平面ACGA,因?yàn)镋e88∣,所以E到平面4CC0的距高等于8到平面ACCM的

距離,

所以棱徘C_A￡F的體積匕'AEF=匕;-ACF=gsACT'■BC=；X??x2=石

題型二：四棱錐的體積

【例1】在四棱錐尸-ABa）中，PA_L平面ABCD,底面四邊形ABCZ）為直角梯形，AD^BC,

ADJ.AB,P4=AO=2,AB=BC=I,。為PD的中點(diǎn).

（1）求四棱錐P-ABeo的體積；

【答案】（1）體積為1

【分析】（1）根據(jù)己知條件因?yàn)镽4J■平面ABa＞，所以棱錐的高〃=R4=2,直接利用棱

錐的體積公式求值即可得解；

【詳解】（1）因?yàn)镻4，平面A8C。，所以〃=PA=2

113

SS=5(BC+AD)?8A=5(l+2)?iq

VP-ABCD=gs"=gSAZ)C。,尸A=I

即四棱雉尸-ABCD的體積為1：

【例2】如圖，平面PCBM，平面ABC,ZPCB=90o,PM//BC,直線AM與直線PC所

成的角為60。，又AC=1,8C=2尸M=2,NAC8=90。.

(1)求證：AC1BM；

(2)求多面體PMABC的體積.

【答案】(1)證明見解析：

⑵萼?

6

【分析】(1)根據(jù)題意和面面垂直的性質(zhì)定理可得ACL平面PCBM即可得到證明；

(2)根據(jù)題意，找出底面和高，并求出底面積，求出高，結(jié)合錐體的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)因?yàn)槠矫鍼CBW，平面ABC,平面PCBM平面ABC=BC,

BClAC,ACU平面ABC,

所以AC_L平面PCBM,由3Mu平面PCBM,

得AC_LBM:

(2)由題意知，

多面體PMABC即為四棱錐A-BCPM,

則%ΛM8C=匕M=gAC?S梯形CBPM=AC×+CB)×CP

1l√6√6

—×11X—z(2o+ι1x)×-?-=，

3236

即多面體PMABC的體積為顯.

6

【例3】如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABa＞中，E4，底面ABa),PF=^PC,

PE=；PB,AC與BD交于點(diǎn)、O.

P

⑴求證：平面￡7，'OJ_平面R4B；

(2)若PA=AS=AO=3,求四棱錐O-BCEE的體積.

【答案】（1）見解析

（2）2

【分析】（1）根據(jù)線線垂直得線面垂直，進(jìn)而由面面垂直的判斷即可求證，

（2）根據(jù)面積比得體積比，根據(jù)等體積法即可求解.

【詳解】（1）由PF=:尸C,PE：PB可知EF"BC,由于8CLA8,故EFLAB，

33

因?yàn)锽4_L底面ABa>,BCU平面A3C。，所以PALBC,又EF//BC,故PALEF.

ABr>PA=A,AB,PAU平面PA從所以,平面PAB.乂EFU平面EFO,故平面EFOJ_平

^?PAB.

（2）由PF=gpC,PE=IPB可知因此沖典=：,

33,PBC"3PBC"

I._8.._8_81_81IC_811?_?

因γγj此ιz%_BCF￡=g%"8C=g%-0BC=§XIScOBCXPdAλ=XWSABCDXdPλA=§X§X工X9nX3=2,

【例4】如圖所示，在四棱雉S-ABCD中，ZABC=NBCD=90。,AB=BD=AD=SA=SD,

點(diǎn)M在線段SB上，且CM〃平面S4D.

⑵若49=2點(diǎn)，SB=2百,求四棱雉S-AB8的體積.

【答案】（1）粵=；，理由見解析

tJLJ乙

（2）3√2

【分析】（I）作出輔助線，證明出四邊形CMN。為平行四邊形，得到MN=C。，利用AABo

為等邊三角形，求出Neer?=30。，故CO=[BD,故MN=LAB,利用相似知識(shí)求出答案；

（2）作出輔助線，證明出SEj_平面ABC￡>,四棱錐S-ABC。的高Zz=SE=G,再求出四邊

形A8C3的面積，利用椎體體積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)如圖1,過點(diǎn)M作/A8交AS于點(diǎn)N,連接。N,

因?yàn)橐?8C=/BC￡>=90。，則CO//A8,所以MN//CD,即M,MD,C四點(diǎn)共面,

因?yàn)镃M//平面SAr),CMU平面MWc7λ平面NMeT)I平面ADS=N。，

故CMUND,

故四邊形CMND為平行四邊形，故MN=CD,

因?yàn)閆ABC=/BC。=90。，AB=BD=AD,

故AABO為等邊三角形，ZABD≈60o,

所以NCW=30。，故CE>=LBO,故仞V=LA8,

22

由相似知識(shí)可得智=1;

SB2

(2)如圖2,取AQ的中點(diǎn)E,連接SE,BE,

因?yàn)锳B=BO=AO=SA=SD,所以△SAD與△均為等邊三角形，

所以SfLL4。，BEA.AD,

因?yàn)锳Z）=2√∑,所以AE=EO=√∑,SE=>]AD1-AE2=√6>

同理可得：BE=&

因?yàn)镾B=26`所以BE?+SE?=SB?,

由勾股定理逆定理得：BEVSE,

又ADBE=E,A￡>,8EU平面ABC￡>,故SEL平面ABC。，

故SE是三棱錐S-ABCD的∣?,即h=SE=?∣6,

由（1）知：Rt8CZ）中，BD=2近,CD=3BD=近,BC=NBD-CD。=瓜,

所以Sseo=gOC?BC=6，SABD=；ADBE=；X2反指=26,

四邊形ABCf)的面積為S=√3+2√3=3√3.

故匕.=gs∕=gx3Gx√^=3√Σ,

故四棱錐S-ABCD的體積為3√2.

【例5】如圖，在長方形ABCO中，AB=2人,AD=叵,M為CC的中點(diǎn).將ZWW沿

AM折起得到四棱錐O-ABCM,且8。=?.

⑴證明：ADA.BM；

⑵若E是線段。B上的動(dòng)點(diǎn)，三棱錐E-4)Λ√的體積與四棱錐。-ABCM的體積之比為1：

2,求靠DE的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)3：4

【分析】(1)由線面垂直的判定定理證明/WL平面例后可得線線垂直：

(2)先證明B?f1平面ADM,得平面ADM_L平面ABCM,取AM中點(diǎn)N,連接。M證

DE

明￡肘/平面ABC必，可計(jì)算出四棱錐。-ABCM的體積，設(shè)防=彳，則E到平面4。M

的距離為ZBM=2/1,計(jì)算出三棱錐E-AOM的體積，再由已知比值求得/L

【詳解】(1)：A8=2√∑,AD=√2,BD=娓，滿足人加+84=AB?，，AO480，

?.?ADLDM,BDCDM=D,BQDWi平面BDM,；.AO_L平面BDM,

'：BMU平面BDM,；.ADYBM.

(2)BM=AM=√(√2)2+(√2)2=2，BM2+AM2=AB2?BMLAM,

由(1)得Ar)_LjBΛ∕,

,/AMAD=A,4河,4￡><=平面4)暇，，的/工平面4)河，

?/&Wu平面ABCM,，平面ADM_L平面ABCM.

取AM中點(diǎn)M連接。M

"：AD=DM.：.DNlAM,平面Az)M-平面ABCM=ADN/平面ABCM,

?,?D-ABCM=§SABCMDN=~×~×^y∕2+2>∕Σ)x??∕Σxl=1,

DE

設(shè)一=2,則E到平面ADM的距離為/IBM=2A，

?'??x-AD.M=?S2DM=~^×-^×2×?×2λ=,

221a

Wt._^:VD_AfiCA/=l:2,Λ-=-,解得;I=j

324

DE

???當(dāng)筆二；3時(shí)，三棱錐石-ADM的體積與四棱錐O-ABCM的體積之比為1：2.

BD4

【例6】如圖，在正四棱錐P-ABCf）中，AB=2,側(cè)面附。與底面ABC。的夾角為:.

⑴求正四棱錐P-ABCD的體積；

⑵若點(diǎn)M是正四棱錐尸一A8C。內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到平面A8CE>,平面％B,平面P8C,

平面PC。，平面尸D4的距離分別為4,d2,?,J4,A,證明：24+4+4+4+4=2石；

（3）若球。是正四棱錐P—ABCD的內(nèi)切球，點(diǎn)。是正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OQ=OP,

當(dāng)點(diǎn)Q沿著它所在的軌跡運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，求線段OQ所形成的曲面與底面ABCO所圍成的兒

何體的表面積.

【答案】（1）生叵

3

⑵見解析

【分析】（1）連接AC,BD交于前FMAB的中點(diǎn)E,連接EF,PF,證明PE，AB,EFLAB,

則NPM即為面以￡>與底面ABCo所成角的平面角，從而可求得底面邊長及高，再根據(jù)棱

錐的體積公式即可得解；

（2）根據(jù)VP-ABCD=§SABCDdl+§S尸ABd2+BSPBCd3+；S,PCDd4+-SPADd5,利用等體積法即

可得證；

【詳解】（1）解：連接AC,8。交于點(diǎn)F,取AD的中點(diǎn)E,連接EE尸尸，

由正四棱錐的幾何特征可得F為AC,BD的中點(diǎn)，PFV底面ABCD,

AF=DF=RAFlDF,PA=PD,

因?yàn)镋為A。的中點(diǎn)，

所以PEJ.A￡),EF_LA￡>,

Tr

所以ZPEF即為面以。與底面ABCD所成角的平面角，即NPEF=-,

EF=I,則PE=2,PF=JJ,

所以k。c?=gx2x2x有=

(2)證明：Sabcd=2×2=4,Spab=Spad=Spbc=Spcd=-×2×2=2,

,

因?yàn)?>-AB8=gx4d∣+gx2(d?+4+出

所以〃+&+4+4+4=2在；

【題型專練】

I.如圖，在四棱錐P-ABeD中，R4，平面A8Cf>,正方形ABCo的邊長為2,?4=4,

設(shè)E為側(cè)棱PC的中點(diǎn).

（1）求四棱錐E-的體積V；

Q

【答案】（嗚；

【分析】（I）利用錐體的體積公式即得；

【詳解】（1）在四棱錐P-ΛBCD中，以，平面ΛBCD,正方形ABCD的邊長為2,Z?=4,

E為側(cè)棱PC的中，

所以，點(diǎn)E到平面A3CZ）為高〃=！PA=2,

2

又因?yàn)镾正方形ABCQ=4,

11Q

所以，四棱錐E-ABCD的體積V=-SZMCD-h=-×4×2=~,

2.如圖，四棱錐P-AfiCD中，底面ABC。為矩形，A8=8,AD=4√3,側(cè)面∕?O為等邊

三角形，并且與底面所成二面角為60。.

(1)求四棱錐尸-ABC。的體積；

(2)證明：PAYBD.

【答案】(1)96；

(2)證明見解析.

【分析】(1)過點(diǎn)尸作底面的垂線，根據(jù)二面角求得尸0,再結(jié)合棱錐的體積公式即可求得

結(jié)果；

(2)利用三角形相似證明即垂直于AP在底面的投影，再利用線面垂直，即可證明線線垂

直.

【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)為E,連接PE,過尸點(diǎn)作底面的垂直，垂足為。，連接OE,如

因?yàn)槿切蜳Ao為邊長4退的等邊三角形，故可得4)_LPE，且PE=6；

XPO1ffiABCD,AO?EABCD,故Ar)J_PO,又PE,POu面POE,PEcPO=P,

故Ar)J_面尸。后，乂EoU面POE,故AQ_LE0；

又面PADnABCD=AD,PEU面PAD,EOU而ABCD,

則即為PEO與底面所成二面角的平面角，即NPEO=60。，

?PO=PExsin60o=3√3,

貝IJ四棱錐匕-a,=；X8X4有X3√J=96.

(2)連接A。，延長A。交80于點(diǎn)尸，如下所示：

因?yàn)锳E=2∕,AB=8，AO=√Λ42-PO1=√48-27≈√2?`

BD=√AB2+AD2=√64+48=√∏2，

則絲=%=巫，故4AEO-BAD,/￡40=^45。，故/0^+/尸&4=90。，ZAFB=90。,

ABBD4

即A0L8。，又PoJ_面ABa)U面A8C。，故即，PO；

AoCPo=O,AO,POu面PAO,故BL)I,面PA。，又PAu面PA0，故或)_LB4.

3.如圖在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCO為平行四邊形，ABlAC,。為BC的中點(diǎn),

且AO=AC=AP=2,PAL底面ABC。，M為PC的中點(diǎn).

(1)證明：平面OAΛ∕?L平面PC￡＞；

(2)求四棱錐尸-ABCD的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵更

3

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)得到∕?J?AB,從而證明AB/平面PAC,ABVAM,由

ABCD,得AW_LC￡＞；

由等腰一角形的一線合一得A/LPC,從而AMl平面PC。，由此能證明平面。4〃_1平

面PCD

(2)由尸AJL平面ABCD得到匕』88=；PA?S.CD，即可求解.

【詳解】(1)證明：因?yàn)镻A_L底面AfiCZ),ASu底面ABC。，所以BALAB,

又ABLAC,PAAC=A,PA,ACU平面PACABI平面PAC,

AMU平面PAe,..9_LAM；

又在平行四邊形ABC。，ABCD,則AMJ_CD.

；在APAOli,AC=AP,“為尸C中點(diǎn)，/.AMYPC,

,：CDPC=C,CD、PCU平面Pa),

二AMI平面PC￡),

,."AMU平面OAM,平面OAM_L平面PCD.

(2)由題知，ABlAC,

則在RtZ?ABC中，AO=AC=2,。是BC中點(diǎn)，所以8C=2AO=4,

即AB=>JBC2-AC2=√42-22=2√3?

故平行四邊形AfiCC的面積S=A8?AC=2χ2√5=4√5;

又因?yàn)樘L平面ABCr>,AP=I,

所以四棱錐P—ABCD的體積V=IXAPXS=LX2x4G=更.

333

4.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD，底面ABCoM為BC的中點(diǎn)，且

⑴證明：平面PAM_L平面P8D；

(2)若PD=DC=2,求四棱錐P-ABC。的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)首先根據(jù)線面垂直的判定定理證明AM2平面尸8￡),然后再根據(jù)面面垂直的判

定定理即可說明平面RW，平面PBD；

(2)首先根據(jù)(1)AM2平面Pa>的條件，可得AWd.80,

方法一，借助相似三角形求出BC的長度，然后再根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

方法二，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量垂直的判定條件求出BC的長度，然后再

根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

方法三，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的判定條件求出BC的長度，然后再根據(jù)

棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

方法四，通過向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求出BC的長度，然后再根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行

求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)镻E?_L底面A8CD,A"u平面A8Q),所以「D∕AM,

又PBLAM,PBPD=P,

PBU平面尸B￡>,Pr)U平面P5D,

所以AM2平面”3￡>,

而AMU平面抬例，所以平面∕?W"L平面尸8D.

(2)方法一：相似三角形法

由(1)可知于是一ASDs4BMA,故■—=——.

ABBM

因?yàn)?M=gBC,4D=BC,AB=2,所以=4,即BC=2式.

故四棱錐尸一ABCO的體積V=ISAIiCDPD=嶇.

3abc'3

5.如圖，三棱錐P-A8C中，平面B4C，平面ABC,A8?L8C,點(diǎn)。,E在線段AC上，且

AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點(diǎn)尸在線段AB上，且EF//平面P8C.

(1)證明：AB，平面PEF；

(2)若四棱錐P-JDFBC的體積為7,求線段BC的長.

【答案】⑴證明見解析

⑵BC=3或BC=3萬

【分析】(1)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明產(chǎn)￡1?平面ABC得PELAB,根

據(jù)線面平行的性質(zhì)并結(jié)合AB人BC得ABA.EF,進(jìn)而證明Λ51平面PEF；

_____541

(2)設(shè)8C=x,則Λfi=j36-f，再結(jié)合△的/相似于45C得丁里L(fēng)=弓，AO=WAE得

3ABCV2

SΔAEF=25ΛA8,進(jìn)而得四邊形DFBC的面積S=SA^C-S小田，最后結(jié)合體積公式解方即可

得答案.

(1)

證明：因?yàn)镈E=EC,PD=PC,

所以E為等腰APDC中OC邊的中點(diǎn)，

所以PE_LAC,

又因?yàn)槠矫鍮4CJ_平面ABC,平面PAC平面ASC=AC,PEU平面PAC,PELAC,

所以PE_L平面ABC,

因?yàn)镸u平面ABC,

所以PEJ_Afi.

因?yàn)镋F〃平面PBC,平面PBCC平面ABC=BC,BCU平面ABU

所以EF〃BC,

又因?yàn)锳BIBC,

所以ABJ_EF

因?yàn)镻ECEF=E,

所以Afi上平面PER

(2)

解：設(shè)BC=X,在直角三角形ABC中，Λβ=至二7，

SAHC=LABBC，即SMC=LJ36-Y'

,ΛOV2Λ∏<-2

因?yàn)镋F〃BC

S4

所以△△￡；尸相似于,ASC,所以丁比=G，

3ABC,

因?yàn)锳O=』AE,

2

所以SAAEF-2sMDF，即S4AFD=g5?4EF=~×-5?4flC=~×~×~^36-X?=gX^36-χ2,

所以四邊形DFB。的面積為S=S—5=-X?∣36-X2——x>∣36-x2=—XJ36-X2,

AABCΔAFD291o

由(1)可知PE是四棱錐尸-QFBC的高，PE=2√J,

所以V,-=。4Λ√36-VX2有=7'

31o

所以_?一36/+243=0,所以x=3或x=3√J,

所以8C=3或8C=3√J.

D

S

6.如圖①，是由正三角形跳和正方形8C￡>￡組成的平面圖形，其中43=2；將其沿BE折

起，使得AC=2^,如圖②所示.

圖①圖②

(1)證明：圖②中平面ABE工平面88E；

（2）在線段AB上取一點(diǎn)P,使AP=f48，當(dāng)三棱錐P-ACE的體積為苧時(shí)，求，的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）∕=∣.

【解析】（D通過題意有AOJ_庇，以及ACP+OC2=AC2可得A。，OC,結(jié)合線面垂直

判定定理可得AOL平面BCDE,結(jié)合面面垂直判定定理可得結(jié)論成立；

（2）由4P=rAB可得&”￡=￡△小，算出SABE及C到平面上4￡的距離，根據(jù)體積公式和

條件建立等式化簡(jiǎn)即可.

【詳解】（1）證明：取8E的中點(diǎn)。，連接A。，OC,

因?yàn)锳BE為正三角形且AB=2,所以且40=√L

因?yàn)锽CDE為正方形，所以BO=I,BC=2,OC=5

因?yàn)锳C=2√Σ,則AO?+。。？=/!。？，

所以AOLOC,又BEOC=O,且BE,OCu平面BCDE,

所以AO_L平面Ba）E.

因?yàn)锳oU平面ASE,所以平面ΛBE∕平面8CDE.

（2）在AB上取點(diǎn)P,連接PC,PE,EC,

由（1）知平面ABEl平面BCDE.

則C到平面PAE的距離d=忸。=2.

因?yàn)锳P=r4B,所以SA"E=tS^ABE，

因?yàn)?ABE為正三角形，且43=2,所以S&M=；x2x2xsin60°=有,

所以ISBE=M

s?APE=ΛA

又因?yàn)槿忮F尸一A￡C的體積匕fEC=gd?s?APE=2叵.所以f=g.

【點(diǎn)睛】（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理（4JUa=a_L〃）.

（2）在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為

線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

題型三：多面體的體積

【例D如圖，在四棱錐Q-ABS（圖一）和三棱錐P-G2Q∣（圖二）中，四邊形ABCo

為正方形，QAJ?平面ABCZ）,將四棱錐Q-ABCO和三棱錐P-CQ◎重

新組合成一個(gè)新的幾何體（圖三），且面Cm和面CQ◎完全重合，且尸。〃。4,

QA=AB=^PD=a.

（圖一）（圖二）（圖三）

（1）證明：PQ，平面DC。；

⑵求四棱錐Q-ABS的體積與組合后的幾何體的體積比.

【答案】（1）證明見解析；

⑵;?

【分析】（1）通過證明PQPQLS,即可由線線垂直證明線面垂直；

（2）根據(jù)（1）中所證，分別求得Q-A88,P-CDQ的體積，即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)镼A，面ABCD,AnU面ABCD,故。4，4）,又P。〃AQ,故底面ADPQ

為直角梯形,

又Ao=AQ=gpθ=",故可得PQ=√Σα,又DQ=J心+AQ)=缶,

故QQ2+PQ2=op2,則P。，。。；

乂QAL面ABa),8U面AfiCD,故Q4_LC0,乂四邊形ASCO為正方形，故COLZM,

ARAQu面AOPQ,AOcAQ=A,?CD±?ADPQ,Pβ?ffiADPQ,故PQ_LC￡>:

又。Q,COu面COQ,DQcCO=O,故PQ_L面Cr>Q.

(2)因?yàn)棣翧?L面ABCD,又正方形ABCD的面積S=Y,故Q-ABS的體積

2

V1=-aXa=Iq3

133

乂PQJ_面C￡>Q,CQ，面ADPQ,PQU面AOPQ,故CDLPQ,則三角形8Q為直角三

角形，

則其面積S=?×CD×DQ=?×a×?∕la=?a1<VZP-⑦。=gxα2x應(yīng)α=g"，

-a3

故四棱錐。-ABCO的體積與組合后的幾何體的體積比為,3.=-.

?3?32

-a+-a`

33

【例2】如圖，多面體ABCoEF中，ABCD是菱形，ZABC=60。，∕?L平面A8CE>,EDHFA,

i?.AB=FA=IED=I.

BC

(1)求證：平面瓦＞E_L平面K4C；

(2)求多面體ABCDEF的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)線面垂直證明面面垂直；

(2)利用割補(bǔ)法分別計(jì)算四棱銖CEF與三棱錐P-ABC的體積，再求和即可.

【詳解】(1)B

如圖所示，連接8E,

用，平面438,BQu平面ABC￡),

:.FA1.BD，

；四邊形ABa)為菱形，

.?.ACXBD,

V..FAAC-A,且E4,ACU平面QIC,

,B/),平面EAC,

QBDu平面BOE,

平面5￡>E_L平面FAC；

如圖所示，取AD中點(diǎn)G,連接CG,

四邊形AfiC。為菱形，且ZABC=60°,

.?.CG.LAD,CG=√J,

-E4_L平面A8C￡),CGU平面A8CE).

.-.FALCG,

又1FAAD=A,?E4,AJDU平面ADE尸，

.?.CG1.平面ADE/7,

所以四棱錐C-ADE產(chǎn)的體積為

匕=3際邊粉。EFCG=g?g(θE+A/)?AO?CG=gxgχ(l+2)x2χ有=6,

又因?yàn)镋4L平面A8C￡>,

所以三棱錐F-ABe的體積V2=LsMi必=LL8C?CG?∕^=fχ2χ√Jχ2=空，

23c32323

所以幾何體ABCoEF的體積V=K+%=JJ+2f=±?.

【例3】芻(MU)薨(癡g)是幾何體中的一種特殊的五面體.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算

術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.求積術(shù)日：倍下

表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一."翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有

長沒有寬為一條棱.芻薨字面意思為茅草屋頂L”現(xiàn)有一個(gè)芻薨如圖所示，四邊形ABQ)為長

方形，￡尸〃平面43C。，VATE和Cr是全等的等邊三角形.

(1)求證：EFDC.

⑵若已知AS=2BC=2EF=4,求該五面體ABCDEF的體積.

【答案】(1)證明見解析；

【分析】(1)利用線面平行的性質(zhì)定理即得；

(2)過點(diǎn)E作EG_LDC,作E”_LAS，過點(diǎn)尸作FMj_DC,作/W_LA8,由題可得N7/EG

即為:面角A-所-C的平面角，結(jié)合條件利用余弦定理可得；利用割補(bǔ)法可把該五面體分

為兩個(gè)四棱錐和個(gè)三棱柱，然后利用錐體及柱體的體積公式即得.

(1)

五面體ABCDEF中，因?yàn)镋F〃平面ABCO,

ErU平面CDEF,平面CDEF門平面ABCD=CD,

所以EF"CD.

(2)

過點(diǎn)E作EG_L￡>C,作E”LA8,垂足分別為G,H,

過點(diǎn)尸作在M_LJDC,作垂足分別為M.N,

連結(jié)G〃，MN,如圖，

取GH中點(diǎn)。，連結(jié)E。，由EG=E，知，EOlGH,

因?yàn)镺C_LEG,DCYGH,且EG,G，是平面EG”內(nèi)兩相交直線,

所以DCj■平面EGH,

因?yàn)镋OU平面EG”,

所以EOLDC,又GH,DC是平面ABC。內(nèi)兩相交直線，

所以EOL平面ABa),

在，EG"中，EG=EH=6,GH=2,可得EO=√∑,

所以，四棱錐E—ADG”和F-BCMN的體積均為K=(SADeH?E0=gχ(lχ2)χ√Σ=∣√Σ,

三棱柱EGH-FMN的體積?=SAFGH?EF=^∣×2×√2j×2=2√2,

所以，該五面體ABCDEF的體積為2匕+%=與0.

【例4】如圖所示，在直三棱柱ABC-ABlG中，。是AB的中點(diǎn).

(1)證明：BG，平面AC。；

(2)設(shè)AAl=AC=C3=2,AB=2√Σ,求幾何體BDC-ABIG的體積.

【答案】(1)證明見解析；

哈

【分析】(1)連接AG交AC于E,連接E。，證明叩〃8G后得證線面平行；

(2)由直三棱柱ABC-AqG的體積減去;棱錐A-Ac。的體積可得.

(1)

連接AG交AC于E,連接￡?，如圖，則E是AG中點(diǎn)，又。是AB中點(diǎn)，所以ED〃BQ,

乂EQu平面AC。，BGa平面AC。，所以BC"/平面AC￡＞；

(2)

因?yàn)锳C=BC=2,ΛB=2√∑,所以AC?Z3C,所以SAsc=gx2*2=2,S,acd=^S,AflC=1,

：

VBCD-ABtqKlBC-ΛlS∣C∣~Kll-ACD=2×2--^×1×2=-.

【例5】小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面