新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 24 空間幾何中的垂直（教師版含解析）

考點24空間幾何中的垂直

知識理解

一.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義:

直線1與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線；與平面a互相垂直

(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：

文字語言圖形語言符號語言

Ia,bua、

判定一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直aC?b=O

>=/_La

定理線都垂直，則該直線與此平面垂直ZS刁ILa

l±h,

a丁

性質(zhì)a-?-a?

垂直于同一個平面的兩條直線平行,,?=>a∕∕b

7b±a)

定理￡

二.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

判定一個平面過另一個平面的垂線,則

4,卜

定理這兩個平面垂直夕∕±laj

aLβ]

性質(zhì)兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直luβfI=>∕±_a

定理于交線的直線與另一個平面垂直￡aC?β=a

bl±aJ

≡.證明線線垂直的思路

平行四邊形：正方形、菱形、矩形

圖形

三角形：等腰（等邊）三角形一取中點

正余弦定理

邊關(guān)系或邊長

勾股逆定理

線面垂直的定義

面面垂直的性質(zhì)

考向分析

考向一線面垂直

【例1】3.（2021?江西吉安市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為直角梯形,

ADHBC,NAr）C=90°,AD=DC=2BC=2,△加□為正三角形，。為AD的中點，求證：ADl

平面PBQ

【答案】證明見解析

【解析】?.?ZXPAO為正三角形，。為AO的中點，???PQ,AO?

/ADHBC,4D=0C=2BC,。為AO的中點.；?四邊形BCDQ為平行四邊形，.?.BQ〃C￡>.

又ZAZ)C=90°,ZAQB=90°,即BQLAD.又PQlBQ=Q,.?.AD_L平面PBQ.

P

【舉一反三】

1.（2021?河南信陽市節(jié)選）如圖所示，四棱錐S-ABCD中，ABHCD,ADlDC,

CD=2AD=2AB=2SO=4,SOJ_平面ABC￡）,求證：8CJ_平面跖。

【答案】證明見解析

【解析】證明：,ABHCD,ADλ.DC,AB=AD=2,.-.BD=2√2,BC=2√2,

又CD=4,.?.CD2=BD2+BC2,故BCj_3。，

又QSO_L平面ABCD,BCu平面ABCD,.?.8C，SO,

又SDBD=D,：.BC工平面SBD.

JF

2.（2021?江西贛州市節(jié)選）如圖，已知三棱柱ABC-A的所有棱長均為2,=■,證明：BlC±

平面ABCi

BfC

【答案】證明見解析

【解析】證明：如圖取AB中點。，連接回。，CD.

因為四邊形6CG5為菱形，所以BC上BG

71

又因為三棱柱的所有棱長均為2,ZBβA=-,

所以ABC和AABg是等邊三角形，所以4O_LA5,CDlAB

因為B∣D,CZ）U平面4CO,BIDCCD=D,

所以平面gCO

所以BC_LAB,而5C∣AB=B,

所以BC，平面ABG

3.（2020?山東德州市節(jié)選）如圖，四棱錐P-ABQD中，四邊形ABCO是邊長為2的正方形，"AD為

等邊三角形，EF分別為PC和Bo的中點，且石尸J_CD,證明：CO_L平面?Ao

【答案】證明見解析

【解析】如圖所示，連接AC,由438是邊長為2的正方形，

因為尸是BD的中點，可得AC的中點，

在zλPAC中，因為民F分別是PC,AC的中點，可得EF//PA,

又因為Ef_LCz),所以Q4"LCD,

又由仞_LeD,且ADnAP=A,所以CoJ?平面PAO.

考向二面面垂直

【例2】（2021?河南高三期末節(jié)選）如圖，直四棱柱A3CD-A4G。的底面ABCD為平行四邊形，Ar>=3,

3

AB=5,cosZBAD=-,BD=DDE是CG的中點，求證：平面。跖,平面ADDl

【答案】證明見解析

【解析】由題意可得BO?=AD2+A82-2A8XAT>COSN84O=16,

所以AT>2+BI）2=A^2，因此AD_LBD?

在直四棱柱ABC。-44C∣9中，

OA，平面ABCO,8。U平面ABCO,所以。"LBD

又因為ADDDx=D,AD,。DU平面A。。，所以8。，平面A。。，

因為BoU平面DBE，所以平面￡有EJ_平面A。。.

【舉一反三】

1.（2021?河南焦作市節(jié)選）如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCO是菱形，Q4J_平面ABCr>,

點Q為線段PC的中點，求證:平面BDQ，平面PAC

%

D

B

【答案】證明見解析

【解析】因為四邊形ABeD是菱形，所以Ae_L8O,

因為PAJ_平面ABCD,BDU平面ABCD,所以8。，PA,

又因為PACAC=A所以BO_L平面PAC

因為BDU平面BDQ,所以平面BDQ±平面PAC.

2.（2021?山東青島市?高三期末節(jié)選）如圖，在直角梯形ABa中，BE//AD,DE±AD,BClAD,

AB=A,BE=2jL將矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABCJ_平面BCOE,若BC=BE,證明：

平面ABD，平面ACE

【答案】證明見解析

【解析】證明：連接8D，因BC=BE所以8。，CE

因為平面ABC_L平面BCOE,平面ABC平面BCDE=BC,ACJ.BC所以ACL平面BCOE

因為BoU平面BCDE,所以ACL30

因為ACCE=C,所以30,平面ACE

因為BDU平面ABD,所以平面ABr），平面ACE

3.（2021?安徽馬鞍山市節(jié)選）如圖，BE,切為圓柱的母線，一ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，M為優(yōu)的

中點，證明：平面Λ?ML平面M

【答案】證明見詳解

【解析】根據(jù)題意可得，AMYBC.

又?3E為圓柱的母線，.?.BE，平面A8C.

:.BE±AM,QBClBE=B,

.?.AM，平面5CDE.

又?AMU平面AEM，

平面AEM±平面BCDE.

考向三線線垂直

【例3】（2021?江西宜春市?高安中學(xué)節(jié)選）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCo是邊長為2的菱形,

ZBAD=60.已知PB=PD=2,PA=&，K為Q4的中點，求證PC_L8D

【答案】證明見解析

【解析】AC8。交點為。，連接P。,

ABCD是邊長為2的菱形，.??ACLBDQ是AC,BD的中點，

PB=PD,PO上BD,

又PoU平面PoC,ACU平面POC,POAC=O,「.即，平面PoC,

PCU平面PoC,..BDLPC.

【舉一反三】

1.（2021?江蘇南通市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐4一BeDE中，BCHDE,BC=2DE=2,

BC工CD,廠為AB的中點，BCLEF,求證：AClBC

【答案】證明見解析

【解析】取4C中點M連接掰DM,

分別為46,4C中點，.?.EW-BC,

=2

DE-BC,:.FM.DE,

=2=

???四邊形應(yīng)7%是平行四邊形，.?.DMHEF,

EFVBC,:.DMLBC,

CD上DM,CD,DMu平面力卬,CDcDM=D,

.?.BC_L平面CDM,ACU平面CDM,:.BC±AC；

2.(2020?山東德州市節(jié)選)如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，NABC=60°,PA，平

面ABCD,E,F分別為BC,/%的中點.

(1)求證：AE±PD;

（2）求證：EF//平面PCD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

證明：（D連AC,

QZASC=60°，底面ABC。為菱形,

.?.ABC是等邊三角形,

BE=EC,

:.AEYBC,

又5C7/AD,

Afi,±AD，

又PA_L面ABCD,AEU面ABCD,

：.PA±AE，

PAΓΛAD=A,

.?.A￡1面PAD,PDU面PAD，

:.AEA.PD.

⑵取PD的中點Λ/,連尸C,

D

PF=FA,

所以FM//；AD,FM=；AD,

又EC∕∕LAD,EC='AD,

22

:.FMuEC,FM=EC,

四邊形FECM是平行四邊形，

：.EFIIMC,

又研?面PCr>,MCu面pc。，

.?.EF∕∕^PCD.

3.（2021?山東棗莊市節(jié)選）如圖，四棱錐P-ABC。的側(cè)面△如￡>是正三角形，底面ABS是直角梯形,

ZBAD=ZADC=90.AD=AB=2CD=2,M為BC的中點，求證：PM±AD

M

B

【答案】（1）證明見解析；（2）立.

7

【解析】證明：取AD中點N,連PN,NM,

因為是正三角形，所以PN人4）.又M是BC中點，所以NM//AB.

因為∕RM>=90，即ABLAD.所以NM_L4），因為NMCPN=N,NM、PNU平而PMN,

1.（2021?山東泰安市?高三期末節(jié)選）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCf）是菱形，ZJ?4D=60o,

PB=PD,F為PC上一點，過AF作與B。平行的平面AEFG,分別交PD，PB于點E，G,證明：EG1

平面PAC

【答案】證明見解析

【解析】證明：連接BD,交AC于點。，連接PO.

?.?BDH平面AEFG,平面PBD平面AEFG=EG,BDU平面PBD,；.EGHBD.

???底面ABCD是菱形，.?.ACLBO,且。為AC,8。中點，

又PB=PD,：?PO工BD,又ACPO=O,AC,P。U平面PAC,

.*.BD平面PACτ.*.EG_L平面PAC.

2.（2021?浙江金華市?高三期末節(jié)選）在三棱錐P-ABC中，平面PAC，平面/8C,

PA=PB=AB=母AC=6BC，）證明：PCj■平面

【答案】證明見解析；

【解析】證明：取血中點〃，連接加，DC

,：PA=PB,AC=BC,則AB上PD,ΛB1DC,

而PDCDC=D,?*.AJS_L平面PDC,

因為PCU平面PZ）C1,故ABJ_PC.

在，.ASC中，AB=√2AC=√2fiC-故+8CL4C.

又「平面Q4C_L平面A8C,且交線為力GBCU平面ABC,

.?.BC_L平面尸AC,因為PCU平面PAC,故JBCJ_PC.

因為ABCBC=JB,.?.PC，平面ABC.

P

3.（2021?河南焦作市節(jié)選）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，B4_L底面ABC。，E，F(xiàn)，H

分別為AB,PC,BC的中點，求證：DE，平面PAH

【答案】證明見解析

【解析】因為PAJ_底面ABer>,DEU底面ABer>,

所以Q4，。石，因為E，H分別為正方形ABC。的邊AB，BC的中點,

AB=DA,BH=AE,?HBA?EAD,

所以RtaABHmRtaDAE,所以NS4H=NADE,由NAEr）+NADE=90

所以NBA"+NAED=90，所以Z）E_LAH，

因為∕?u平面Q4H，4”匚平面24/7,PAryAH=A,

所以。EL平面∕?”.

4.（2021?浙江溫州市節(jié)選）如圖，已知三棱錐P—ABC，PC±AB,A6C是邊長為2百的正三角形,

PB=4?，∕PBC=60，點/為線段A尸的中點，證明：PCmABC

【解析】在.PBC中，PB=4近，BC=2√3.NPBC=60，

由余弦定理可得PC2=PB2+BC2-2PB-BCcosZPBC=36，PC2+BC2=PB?，

..PCLBC,PC±AB,ABCJBC=B,.?.PC，平面ABC；

5.（2021?陜西咸陽市?高三一模節(jié)選）如圖，在三棱錐P—ABC中，平面~4C_L平面ABC,PClAC,

BCA.AC,AC=PC=2,CB=4,M是24的中點，求證：PA，平面MBC

【答案】證明見解析

【解析】平面B4C_L平面A8C,平面尸ACl平面ABC=4GBCU平面ABC,BClAC,

：.3C_L平面PAC,

?.?R4u平面PAC，

：.BCLPA,

VAC=PC,M是Q4的中點，

：.CMIPA,

'：CMBC=C,CM,BCu平面MBC,

.?.PAj_平面MBC.

6.（2021?浙江金華市節(jié)選）如圖，在四棱錐P-ABeD中，底面ABC。為矩形，PD=AB=丘B(yǎng)C，平

面PCD_L平面A8Q9,若￡為PC的中點，求證：DEPBC

【答案】證明見解析

【解析】因為平面Pa），平面ABCO,且平面PCo平面ABCD=8,底面ABCD為矩形，所以

BClCD,又CDU平面Pr）C,所以BCJ_平面POC,又OEU平面PDC,所以BCIDE；

因為Po=AB=OC,所以△尸Qe為等腰三角形，￡為PC的中點，所以￡>E_LCP,因為CPBC=C,

BC,CPU面PBC,所以O(shè)E，面PBe

7.（2021?西安市鐵一中學(xué)節(jié)選）如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中,

PE

NA5C=60°,Λ4=AC=1,P6=PO=√Σ,點E在P。上，且一=2,求證：R4J_平面ABCO

ED

【答案】證明見詳解

【解析】因為底面ABcD是菱形，ZABC=60°.

所以AB=AC=AD=1,

在4出8中，PA=I,PB=丘,

由PA2+AB?=PB?，可得LAB?

同理，PA±AD,又ABcAO=A所以尸Aj_平面ABCD?

8.（2021?河南高三期末節(jié)選）如圖，直四棱柱ABC。-4月￡2的底面ABC。為平行四邊形,

3

AD=3,A8=5,COSNBAD=M，BO=D2,E是CG的中點，求證：平面DBEJ_平面A。R

【答案】證明見解析

【解析】由題意可得BO?=Ae>2+A3?-2ABXA。CoSZR4。=16，

所以AD2+3。2=AB'因此ADJ_8￡>，

在直四棱柱ABCC44GA中，DDl，平面ABC。，所以。D∣_L6O,

又因為AD=。，所以3。JL平面ADA,

因為BDU平面。BE，所以平面QBE，平面A。。一

9.（2021?江蘇南通市節(jié)選）如圖，四面體ABCD中，。是B。的中點，點C、￡分別在線段4。和8C上,

BE=2EC,AG=2GO,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=&

⑴求證：GE〃平面AC。；

（2）求證：平面平面8CO.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】證明：（1）連接BG并延長，交AD于M，連接MC，

在ZiABO中，。為M中點，G在力。上，AG=2G0,

：.G為Z?ABD的重心.?.史2

GMT

又些=2.絲

乂EC1GM-----：.GE//MC>

EC

YGEz平面AC￡),ACU平面AcD,

.?.GE〃平面ACr)；

(2)在Z?ABf)中，。為BO中點，BD=2,AB=AD=√2>

AO±BD:.AO=√AB2-BO1=1>

在Z?B8中，BC=CD=BD=2,。為3￡）中點，連接OC,則OC=石,

又。，

C4=2,.?.TM2+QC2=C42,...AOC

由40L0C,AO±BD,OCrBD=O,OC,8。U平面BCD,

得AoJ_平面BeD,

又AoU平面ABZ）,

，平面ABD_L平面88.

10.（2021?山西呂梁市?高三一模節(jié)選）如圖，四棱錐S-ABeD中，ABHCD,BCICD,側(cè)面SC。為

等邊三角形，AB=BC=4,CD=2,SB=2下,求證：BClSD

【答案】證明見解析

【解析】由已知8C=4,SC=2,SB=2小得,

SB2=BC2+SC2，所以NBCS=90°,所以BCLCS,

又5C,C0,COCS=C,所以3C，平面SCZ）,

又Sz）U平面SCD，所以3CLSO.

11.（2021?云南高三期末）如圖所示，在正方體ABCD-AB'CZ>'中，點”為線段8'。的中點

（1）求證：DD'LAC-.

⑵求證：JBM//平面AC0.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）在正方體A3C0—A3'Cz）'中，

VDD'±AD，DD'1CD,且CDAD=D,

OD，平面ACO，ACU平面AeO.

：.DD'±AC

⑵如圖所示，連接3。，交AC于N,連接DN.

由題設(shè)得：BN=MD',BNHMD',

四邊形BMD1N為平行四邊形.

：.BMHND'.

又?/ND'U平面ACD',BMU平面ACD',

.?.3Λ///平面ACQ'.

12.（2021?江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選）如圖，已知四棱錐S-ABCD,其中AAB±AD,NBCo=45，

BC=2AO=2,側(cè)面SBC_L底面ABCD,E是SB上一點,且一ECD是等邊三角形，求證：CE，平

面S4B

【答案】證明見解析

【解析】ADHBC,ABYAD,：.ABlBC,

側(cè)面SBC_L底面A3CD,側(cè)面SBCl底面ABeD=BC,ABI平面ABeD,

.?.A8_L平面SBC，

CEU平面SBC,.?.CE_LAB,

如下圖所示，取BC的中點F,連接。尸、EF,

BC^2AD,且尸為BC的中點，則AD=Bb,

QBC//AD,則AD//BF,所以，四邊形AgED為平行四邊形，則O/7/AB，

，￡下，平面SBC,

EF、BCU平面SJBC,.?.E>FJ_E尸，DFlBC,

?；AECD為等邊三角形，則EF=VJDE2-DF2=4CCr-DF2=CF=BF，

所以，NFBE=ZBEF,NFCE=∕CEF,

TT

由NFBE+/BEF+NFCE+NCEF=2∕BEC=兀，：.NBEC=—,即CEj_SB,

2

SBAB=B,因此，CE_L平面5AB；

13.（2021?江西景德鎮(zhèn)市?景德鎮(zhèn)一中）如圖，在三棱柱ABC-ABCl中，平面A∕CC∣，平面ABC,

λ

AB=BC=2,NACB=30，的=3,BC1AtC,E為AC的中點.

（1）求證：43"平面ClEB;

（2）求證：AC，平面GEB.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）如下圖所示，連接Ag、BC,設(shè)BCBG=F,連接￡尸,

R

在三棱柱ABC-A4G中，四邊形BBCC為平行四邊形，

因為BCBG=F,在點F為BC的中點，又因為點E為AC的中點，???EP∕∕Ag，

[Ag<Z平面C∣E8,EVU平面CgB,所以，AM〃平面GE8；

（2）AB^BC,E為AC的中點，.?.BE_LAC,

因為平面4ACC∣_L平面ABC,平面4ACGc平面ABC=AC,BEU平面ABC,

平面AACG，

?.?A∣Cu平面AACG，?CLBE,

BC1J-AxC,BE?BCx=B,A∣CJ■平面C∣E8.

14.（2021?陜西咸陽市）在三棱錐A-Ba）中，E、尸分別為A。、DC的中點，且84=%）,平面A3。J_

平面AOC.

（1）證明：EF〃平面ABC；

（2）證明：BELCD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）在一A。C中，E、尸分別是A。、OC的中點，.?.E∕7∕AC.

EZ7Z平面A3C,ACU平面A3C，.?.M〃平面48C；

（2）在AABf）中，BA=BD,E為A。的中點，.?.8EJ?AO,

又平面ABz）J_平面ADC,平面ABOC平面ADC=Ar>,BEU平面

.?.3E，平面AOC.

Cr）U平面4OC,:.BElCD.

15.（2021?全國）已知四棱錐P-ABcD中，平面246_L平面ABe。，ZV?B為等邊三角形，底面ABCo

為直角梯形，NZMB=90°且AB=2C。，點M為依的中點，求證：PBLDM.

【答案】證明見解析.

【解析】因為4PAB為等邊三角形，M為PB的中點，所以AA/_LPB，

因為平面A4B_L平面ABC。，平面FABC平面ABCr>=A3,DALAB，ZMU平面ABC。，

所以ZM，平面B4B，

因為PBU平面F45，所以D4J.P8，

因為QMcAM=A,所以PB_L平面ADM，

因為OWU平面AD!M,所以PBLDM.

16.（2020?全國）如圖，矩形ABCO所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，。的點?

（1）證明：平面AMD_L平面C；

（2）若P點是線段AM的中點，求證：Mc//平面P8D?

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】證明：（D因為矩形ABC。所在平面與半圓弦C。所在平面垂直,

面ABC。面CDM=Cr>,ADlDC,Ar）U面ABe。，

所以AD，半圓弦CD所在平面，

且CMU半圓弦CD所在平面，

所以

又M是CO上異于。，。的點，

所以CMl.DM：

又DM'AD=D,

所以CM，平面AΛQ;

又CMU平面CM8,

所以平面AMD，平面C；

（2）由P是AM的中點，連接8。交AC于點。，連接。P,如圖所示：

A