2022-2023學(xué)年上海市吳淞重點中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市吳淞重點中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.等比數(shù)列｛%l｝的前項和是%，且％=1,若得=登，則第=()

A?R31C_J_n993

A.-B.32°。32D?992

2.如圖所示，己知正方體ABC。一AIBlCiD1，E,F分別是正方Dlc

形為B1C1D1和4DDι4的中心，則EF和CO所成的角是()

A.60°

B.45°

C.30°

D.135°

2

3.能夠把橢圓J+/=1的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為橢圓的“可分函

4J

數(shù)”，下列函數(shù)中不是橢圓的“可分函數(shù)”的為()

A./(x)=4x3+XB.f(x)=InC./(x)=sinxD./(x)=ex+e~x

4.數(shù)列｛斯｝中，an=logn+1(n+2)(n∈N*),定義：使％?a2?...?一為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫

做期盼數(shù)，則區(qū)間［1,2023］內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于()

A.2023B,2024C.2025D,2026

二、填空題(本大題共12小題，共60.0分)

5.已經(jīng)拋物線方程y2=4x,則其準線方程為.

6.己知數(shù)列｛為l｝的通項公式為an=｛2-n^V2前兀項和為又，則九→+∞Sn=.

7.已知直線I的方程為5+5=1,則直線/的傾斜角α=—.

n

8.數(shù)列｛arJ的通項公式為α∏=(~l)(2n+l)(n∈N*),Srt是其前n項和，貝心”=.

9.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為S71,若SJI=gn2-4n,則＜?=.

10.若圓。一1)2+丫2=4與直線刀+丫+1=0相交于4,B兩點，則弦MBl的長為.

11.在長方體4BCD-&B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,若E為4B的中點，則點E到面

ACDi的距離是.

12.已知數(shù)列｛c?｝滿足的=1，α∏+ι=^?ɑn-(n∈N+),則αrj=.

13.已知向量E=（1,1,0）,方=（T,0,2）,若向量五+kB與2五+1的夾角為銳角,求實數(shù)k的

取值范圍______.

14.直線y=-%+ni與曲線y=-√1一2/有兩個不同的交點,則m的取值范圍為

15.如圖，空間四邊形。4BC中，①i=Z,而=石，方=3點MO

在。4上，且麗=,或，點N為BC中點，則而等于.（用向外1\

量。瓦下表示）/1\\

16.項數(shù)為口出WN*,A≥2）的有限數(shù)列｛時｝的各項均不小于一1的整數(shù),滿足由?2kτ+α2?

k2k3

2~+a3-2~4-----FCt"],2+αk=O,其中%≠0.給出下列四個結(jié)論：

①若k=2,則a2=2；

②若k=3,則滿足條件的數(shù)列｛arι｝有4個；

③存在的=1的數(shù)列｛αn｝:

④所有滿足條件的數(shù)列｛arι｝中，首項相同.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

三、解答題（本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

如圖，正方體ABCD-AlBIGDl的棱長為2,點E為BBl的中點.

（1）求直線力必與平面Q4E所成角的正弦值；

（2）求點4到平面。IAE的距離.

18.（本小題12.0分）

設(shè)｛αn｝是等差數(shù)列，｛b7t｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且%=瓦=1,a?+與=5,a?+久=9.

(1)求｛απ｝,｛g｝的通項公式；

(2)若數(shù)列Cn=求｛c7l｝前2n項和.

Sn,n為偶數(shù)

19.(本小題12.0分)

已知圓C在X軸上的截距為-1和3,在y軸上的一個截距為1.

(1)求圓C的標準方程；

(2)求過原點且被圓C截得的弦長最短時的直線，的方程.

20.(本小題12.0分)

2

在平面直角坐標系Xoy中，己知橢圓C的方程為5+y2=1，設(shè)AB是過橢圓C中心。的任意弦,

O

Z是線段AB的垂直平分線，M是/上與。不重合的點.

(1)求以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程；

(2)若MO=204,當(dāng)點4在橢圓C上運動時，求點M的軌跡方程；

(3)記M是，與橢圓C的交點，若直線AB的方程為y=fcx(fc>0),當(dāng)4AMB面積取最小值時，

求直線ZB的方程.

21.(本小題12.0分)

設(shè)｛α71｝是公差不為零的等差數(shù)列，滿足劭=1,+。7=劭3,設(shè)正項數(shù)列｛b｝的前n項和為當(dāng)，

且4Sll+2bn=3.

(1)求數(shù)列｛αjl｝和｛%｝的通項公式；

(2)在瓦和壇之間插入1個數(shù)/1，使瓦、與1、⑦成等差數(shù)列；在尻和星之間插入2個數(shù)小1、%22,

使方2、%21'%22、仇成等差數(shù)列；…；在匕和bn+ι之間插入∏個數(shù)X"1、如2、…、Xnn，使為、

Xn1、/ι2、…、Xnr1、既+1成等差數(shù)列，求〃=Xii+尤21+刀22+…+/ιi+$2+…+%ιn；

(3)對于(2)中求得的%,是否存在正整數(shù)m、n,使得〃=誓1成立？若存在，求出所有的正

zαm

整數(shù)對(m,τι);若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：設(shè)Ss=32x,貝IJSlo=31x,所以Si。一Ss=-X

由等比數(shù)列性質(zhì)知S5,Sio-Ss，Sm-Sio成等比數(shù)列，

所以32x(Si5-Sio)=(T)2,得S15-SlO=合

所以Si5=31X+以=^^x,

所以細=箜=空.

S1031x992

故選：D.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)S5,Slo-S5,S15-Sio成等比數(shù)列，列方程求解

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

2.【答案】B

【解析】解：如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為2,

則E(l,l,2),F(l,0,l).D(0,0,0),C(0,2,0),

所以前=(O,—1,-I)，DC=(0,2,0).

設(shè)EF和Co所成的角為α,則COSa—黑'篇=

?EF???DC?2√2Z

因為0o≤α≤9(Γ,所以a=45。.

故選:B.

建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.

本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：對選項A：f(x)—4x3+X,/(-x)--4X3-X=-/(%)，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題

意；

對選項B：/(X)=In案，函數(shù)定義域滿足案>0,解得一5<X<5,且八一乃=In注=-f(x),

函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意；

對選項C/(%)=S譏%為奇函數(shù)，滿足題意;

xxxx

對選項。：/(x)=β+e~f/(-x)=e~+e=/(%)?函數(shù)為偶函數(shù)，且/(O)=2H0,不滿

足題意.

故選：D.

根據(jù)奇偶函數(shù)的定義依次判斷函數(shù)的奇偶性，得到48C為奇函數(shù)，。為偶函數(shù)，得到答案.

本題考查題意的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的應(yīng)用，是中檔題.

4.【答案】D

【解析】解:因為αn=Logn+ι("+2)(n∈N*),

r；rh∣1?1Λ?Z7,??m3ln4ln(Zc+2)ln(∕c+2)

所以如,--?=log23?lθg34-logfc÷ι(?+2)=碗?而…n?ni)="?-

設(shè)t=i?≠λ則k+2=2t,

ln2

所以k+2為2的整數(shù)次幕，

因為1≤k≤2023,

所以3≤k+2≤2025,

故滿足條件的k+2=4,8,16,32,64,128,256,512,1024,

故則區(qū)間［1,2023］內(nèi)的所有期盼數(shù)的和為4-2+8—2+16—2+32—2+64—2+128—2+

256-2+512-2+1024-2=2026.

故選：D.

由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)先進行化簡，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解

本題以新定義為載體，主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題.

5.【答案】X=-I

【解析】解：由拋物線方程必=軌，可知2p=4,BPp=2,

所以準線方程為工=一g=一1.

故答案為：X=-1.

根據(jù)拋物線的標準方程可知2p=4,寫出其準線X=-冷即可.

本題主要考查了拋物線的方程，拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】I

n1前幾項和為

【解析】解:數(shù)列｛a｝的通項公式為斯={l-n"2Sn=

7lI4,IL*****乙,

Hm115

n→∞(2+i(l-^τ))=∣.

故答案為：∣?

求解數(shù)列的前?n項和，然后求解數(shù)列的極限即可.

本題考查數(shù)列的求和以及數(shù)列的極限的運算法則的應(yīng)用，是中檔題.

7.【答案】135°

【解析】解：直線I的方程為X+y=2,即y=-x+2,

直線的斜率為-1=tcmɑ,a∈(0,π),

則直線的傾斜角為135。，

故答案為：135。.

將直線方程化為斜截式，求出斜率，可得直線的傾斜角.

本題考查直線的方程，考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】-17

【解析】解：由題意，

口J^知S15=%+O?+?+&4+…+ɑ??+014+ɑl?

=-3+5-7+9一—27+29—31

=(-3+5)+(-7+9)÷???+(-27+29)-31

=2+2÷???+2-31

=2×14÷2-31

=-17.

故答案為：-17.

根據(jù)題干已知條件逐項代入運用分組求和法即可計算出Sis的值.

本題主要考查運用分組求和法求前Tl項和問題.考查整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及邏輯推理能

力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題.

9.【答案】學(xué)

【解析】解：α6=S6-S5=∣x62-4x6-∣x52+4x5=學(xué).

故答案為：y?

由。6=$6-55可直接求得結(jié)果.

本題考查數(shù)列的遞推式的運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.［答案］2y∕~2

【解析】

【分析】

本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由條件利用點到直線的距離公式，弦長公式求得弦∣4B∣的長.

【解答】

解：圓。-1)2+y2=4的圓心為(L0),半徑r=2,

圓心到直線％+y+1=0的距離為d=":g"=√-2,

可得弦長MBl=2√r2—d2=2λ∕^2,

故答案為：2/2

11.【答案W

【解析】

【分析】

本題考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，屬于中檔題.

以。為原點，DA為無軸，OC為y軸，DDl為Z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點E到面

ACCi的距離.

【解答】

解：以。為原點，ZM為X軸，CC為y軸，DDl為Z軸，建立空間直角坐標系，

E(LL0)，A(Io0)，C(O20),OI((W),

而=(-1,2,0),河=(-1,0,1)，AE=(0,1,0)，

設(shè)平面ACDl的法向量元=(xfyfz)f

n?AC=-%+2y=O

取y=l,得道=(2,1,2),

ji?AD1=-X÷z=O

???點E到面相劣的距離：d=粵=?

故答案為:?

12.【答案】-

n

【解析】

【分析】

本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，累乘法的運用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題可得等i=缶，利用累乘法即可得出.

UγιIII?

【解答】

解：'??Q∏+l=言Yan，

.?+l_?

,

??ann+l

βɑ?,≤2

???當(dāng)n≥2時，n=?????Ql

a2ɑl

n—1n—2211

-Vxn→×-×3×2×1一,

n

n=1時也成立,

故答案為：?.

13.【答案】(一1鼻)UG,+8)

【解析】因為W=(1,1,0),K=(-1,0,2)-

所以五+Zcl=(1—匕1,2￡)，2a+b=(1,2,2)>

因為向量2+Zc9與2五+石的夾角為銳角，

所以0+k1)?(2方+方)=I-k+2+4k=3k+3>0,解得k>一1，

而當(dāng)0+k石)〃(21+石)時，?=?=?,解得k=3,

所以實數(shù)k的取值范圍為(—1W)UG,+8).

故答案為：(-l,∣)∪(∣,+∞)

根據(jù)已知條件及向量的線性運算的坐標表示，再利用向量的數(shù)量積的坐標運算及向量平行的坐標

表示即可求解.

本題考查空間向量的數(shù)量積與夾角，屬于中檔題.

14.【答案】(_?,_?]

2—

【解析】解：由y=-√1-24可得,y2+—χ=l(y≤0),橢圓左頂點4(一￥，0).

22

所以曲線方程的圖象為如下圖所示的橢圓的下半部分.

由圖象可得，當(dāng)直線y=-x+小平移到5即經(jīng)過點省―?,o)時，Tn有最大值一號，此時直線

與曲線有兩個交點；

當(dāng)直線y=-x+τn平移到G，即直線與半橢圓相切時，此時直線與曲線有一個交點.

fy=-X+m

聯(lián)立直線與橢圓的方程??2+受._1可得，3/-2mx+m2—1=0.

?v?i-1

由直線與橢圓相切可得，Δ=(―2m)2—4×3×(m2—1)=0,

2

整理可得，m=解得∏l=±≤θ.

NZ

顯然m<0,所以m=_?.

由圖象可知，當(dāng)一?<根≤一好時，直線y=-x+6與曲線y=-√1-2知有兩個不同的交點.

故答案為：(―竽,_浮］.

由已知化簡可得曲線方程的圖象為橢圓的下半部分.作出圖象以及直線y=-x,結(jié)合圖象，平移

直線可知，當(dāng)直線過左頂點時，有兩個交點；當(dāng)直線與橢圓相切時，直線與曲線有一個交點，即

可得出m的取值范圍.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

15.【答案】—∣α+?h+?e

【解析】解：由題意：OΛ=a,fOB=OC=c，

?AB=6—BC=c-b?

點N為BC中點，那么：BN=^(c-b),

OM=^OA,則祈了=g五，

連接AN,則麗=南+前，

那么：MN-AN+MA=∣a+6-a+∣(c-b)=—∣a+∣h+∣c>

故答案為：+?/?+?e.

連接力”，根據(jù)向量的加減運算三角形法則，求出再7，AN,即可求市?.

本題考查了平面向量的線性運算的應(yīng)用及平面向量基本定理的應(yīng)用，注意平面向量加法法則的合

理運用.屬于基礎(chǔ)題.

16?【答案】①②④

【解析】解：因為有限數(shù)列｛%j｝的各項均不小于-1的整數(shù)，

所以Qrl≥-1,TlE,N*,dnE.Zy

又因為％,2”—1+Q，2,2"-2+Q3*2*-3+…+CIkτ?2+(Ik=O>

k1k2k3k2k31

所以的?2~=-(a2?2~+a3?2~+???÷ak^1?2÷ak)≤(2~+2^+???+2+1)=

2-1-1,

所以—1≤%≤1—C)kτ<l,且如KO,的為整數(shù)，

所以的=一1,所以③錯誤，④正確；

當(dāng)Z=2時，得2。1+02=。，所以％二—1,則a?=2,故①正確；

當(dāng)k=3時，得4%+2a2+%=0，

又因為的=一1,

所以2@2+c?=4,貝!)2。2=4一?≤5,

所以—1≤C?≤荔。2為整數(shù)，

則。2的可能取值為—1，0，1-2,對應(yīng)的?的取值為6，4,2,0,

故數(shù)列｛α7l｝口J能為-1,—1,6；—1,0,4；—1,1,2；—1,2,0,共4個，故②正確.

故答案為：@(2)(4).

k1k2k31k1fc1

由題意可得的?2^≤(2^+2~+???+2+1)=2~-1,所以一1≤α1≤1-(∣)^<1,

a1=-l,從而可判斷③，(4)；

當(dāng)Z=2時，得2。1+02=。，所以%二—1,則02=2,從而判斷①；

當(dāng)A=3時，可得一l≤ci2≤∣,則c?的可能取值為一1，。，1，2,對應(yīng)的?的取值為6,4,2,0,

從而可得數(shù)列｛斯｝,即可判斷②.

本題考查了有窮數(shù)列的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，也考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：以點D作坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(2,0,0),E(2,2,l),Oι(0,0,2),4(2,0,2),

(1)設(shè)平面54E的一個法向量為沅=(x,y,z),又福=(-2,0,2),=(0,2,1)，

m?AD=—2x+2z=O?,El-THr—>”/仆

——>Λ，令y=-l,則可取M=(2,-1,2),

(m?AE=2y÷z=O

又44；=(0,0,2),設(shè)直線力4與平面。IAE的夾角為仇貝IJS出。=∣cos<m,AA[>?=∣=

4_2

√4+1+4XC—3,

???直線與平面DlAE的正弦值為|；

(2)點4到平面54E的距離為d=零1=7=?==I，

???點4到平面ZME的距離為孑

【解析】本題考查利用空間向量求線面角的正弦值以及點到平面的距離，考查邏輯推理能力及運

算求解能力，屬于中檔題.

(1)建立空間直角坐標系，求出平面[ZE的一個法向量及麗*,利用向量的夾角公式即可得解；

(2)直接利用向量公式求解即可.

18.【答案】解:(1)設(shè)｛azι｝的公差為d，｛4｝的公比為9,

1+d+q=5

由題意知

l+2d+q2=9'

解得d=q2,

n1n1

所以arι=α1+(n—l)d=2n—1,bn-b1q~=2-;

α,n為奇數(shù)

(2)已知數(shù)列Cn=rl

bn,n為偶數(shù)

則所有奇數(shù)項的，α3,…，。2廣1構(gòu)成首項為1，公差為4項數(shù)為Tl的等差數(shù)列；

所有偶數(shù)項。2,a4,■■；。2八構(gòu)成首項為2,公比為4項數(shù)為n的等比數(shù)列；

132n12

???52n=[1+5+?■?+(4n-3)]+(2+2+???+2-)=n+×4+=2n-n-

2+2.47t

綜上可得：52n—2n2—n—+?4n.

【解析】(1)設(shè)｛&l｝的公差為d,｛6J的公比為q,根據(jù)條件列方程組求解；

(2)將奇數(shù)項放在一起使用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項放在一起使用等比數(shù)列求和公式求和.

本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式的求法，重點考查了等差數(shù)列求和公式及等比數(shù)列求和

公式，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)A(-1,O),B(3,0),D(0,1),則力B中垂線為X=1,4。中垂線為y=-x

圓心C(X,y)滿足MC(l,—1),半徑r=CD=71+4=V^3,

圓C的標準方程為(X-1)2+(y+1)2=5.

(2)/_L。Cn寸，截得的弦長最短，，：x-y=O.

【解析】(1)求出圓心與半徑，即可求圓C的標準方程;

(2)/1。C時，截得的弦長最短.

本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)橢圓一個焦點和頂點分別為(「,0),(2Y1,0),???(1分)

所以在雙曲線盤-A=I中，α=√^7,c=26，b=l,

2

因而雙曲線方程為棍-y2=1....(4分)

(2)設(shè)M(X,y),A(m.n),則由題設(shè)知：|麗|=2|函|，OΛ?OM=0?

即產(chǎn)+y2=4押2+吟

(mx+?Iy=O

fm2=iy2

解得2I?."7分)

Inz=-XΔ

2

因為點4(m.n)在橢圓C上，所以=+/=1，

O

所以等+(獷=1，

亦即9+W=1，

所以點M的軌跡方程為5+[=1.…(9分)

(3)設(shè)M(x,y),則，⑶,一&)(4∈R,λ≠O),

因為點4在橢圓C上，所以；I?(/+8/)=8,即y2+8χ2=∕(j)

又J+y2=i(it)

0)+3)得4+丫2=氯1+扣，(11分)

所以SWB=OMQ=豺川+涼≥學(xué).…(14分)

當(dāng)且僅當(dāng)，=±1(即MIB=±1)時，(5?ΛMβ)min=

又k>0,所以AB所在直線方程為y=X….(16分)

【解析】(1)求出橢圓一個焦點和頂點，可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線方程；

(2)設(shè)M(X,y),A(m.n),則由題設(shè)知：|麗|=2|羽∣,OA-OM求出坐標之間的關(guān)系，即

可求點M的軌跡方程；

(3)設(shè)M(X,y),則4(加,一；IX)(a∈R,4≠0),利用SAAMB=OM?04結(jié)合基本不等式，即可得出

結(jié)論.

本題考查雙曲線、橢圓的方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題.

21.【答案】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛art｝的公差為d，(d≠0),

a

則由<?+。7=i3>得(%+5d)+(α1+6d)=a1+12d,

■■a1=d=1,

.?.an=1+(n—1)=n；

由4Sn+2bn=3,(T)

當(dāng)時，4Snγ+2bnγ=3,②

(?)—②，得4brι+2bn—2bn,,1=0,

???bn=g%-ι,5>2),

又4a+2瓦=3,>,.h1=?≠0,

二也｝是首項為公比為：的等比數(shù)列，

????n=5×?)nΛ(n∈∕V*).

(2)在b7l和ZJnT之間插入n個數(shù)Λ?I,xn2,...,xnn>

???bn,xnl,xn2,-xnn,%+ι成等差數(shù)列,設(shè)公差為drt,

.d-瓦+L--W_$)()”T__1j

"a^n~(n+2)-l-^+1一-3n(n+l)

則n1

Xnk=%+kdn=l?)^-3"(n+i),

.ynγ_?r??n-l____】Xn(τι+l)-n

-*k=lXnk-