2023高三講義-圓錐曲線解析幾何（弦長(zhǎng)面積問(wèn)題） - 二輪復(fù)習(xí)

11.1接長(zhǎng)面氽問(wèn)題

【課前測(cè)】

成績(jī)(滿分10)：完成情況：優(yōu)/中/差

1.已知橢圓C：Znr2+3/71)，=1(,">0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2#,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程和離心率；

(II)設(shè)點(diǎn)A(3,0),動(dòng)點(diǎn)B在)，軸上，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，若

IBAHBPI,求四邊形OB4B面積的最小值.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握利用直線和圓錐曲線聯(lián)立的方法求出韋達(dá)定理；

2.理解弦長(zhǎng)公式,并深刻理解中點(diǎn)弦問(wèn)題的垂直角度問(wèn)題轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì);

3.能夠熟練對(duì)這兩種方法進(jìn)行計(jì)算.

【知識(shí)框架】

【知識(shí)要點(diǎn)】

考點(diǎn)分析:此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù),并以橢圓、拋物線為載體

較多;通過(guò)借助解析幾何的元素來(lái)考察函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；

考察分析處理問(wèn)題的能力、計(jì)算能力,考察鍥而不舍的精神.

一:曲線的交點(diǎn)與方程組

曲線G與。2的交點(diǎn)即為兩曲線的公共點(diǎn),此點(diǎn)的坐標(biāo)既要滿足G的方程，又要滿足。2

的方程（因?yàn)樗仍贕的圖像上,又在的圖像上），所以可以通過(guò)解方程組來(lái)求解此點(diǎn)的

坐標(biāo).

二:韋達(dá)定理

對(duì)于二次方程有如下的定理,稱之為“韋達(dá)定理"（VietetheOrem）,是韋

達(dá)（Viete）發(fā)現(xiàn)的.

二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的兩個(gè)根%和馬和系數(shù)由如

bc

下關(guān)系:M+W=-上；尤=V?這就是韋達(dá)定理.1540年生于法

aa國(guó)普瓦圖，1603

死在巴黎。

韋達(dá)定理往往使問(wèn)題能計(jì)算量大大減少.

解直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的經(jīng)典套路:設(shè)線、設(shè)點(diǎn),聯(lián)立、消元,韋達(dá)、代入、化簡(jiǎn).

第一步:討論直線斜率的存在性,斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程為y=kx+b；設(shè)直線與圓錐曲線

的兩個(gè)交點(diǎn)為4:（M，y）,8:（乙,必）

y=kx+b

第二步:聯(lián)立方程組消去y得關(guān)于X的一元二次方程;

Jay)=o'

f二次系數(shù)不為零

第三步:由判別式和韋達(dá)定理列出直線與曲線相交滿足的條件＜

Δ>0

xl+X2=

x?'x2-

第四步:把所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為玉+々，然后代入、化簡(jiǎn)?

三:弦中點(diǎn)問(wèn)題的特殊解法-一點(diǎn)差法:

當(dāng)已知曲線方程,直線I與曲線相交于4B兩點(diǎn),且弦|48|中點(diǎn)坐標(biāo)Go,y°）

已知,可以利用點(diǎn)差法求直線方程.

設(shè)直線1與橢圓相交于兩點(diǎn)4（x1,y2）,B&2，九九帶入曲線方程,做差以后

可以得到形如哈M=P（其中P為常數(shù)）.即上及.學(xué)=—與…①

22

X1-X2XI-X2×1+X1QZ

由兩點(diǎn)斜率公式可知:k=上及；……②

X1-X2

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:7……③

（2y0=%+及

將②③帶入①可得：k=-與為,由點(diǎn)斜式可得直線方程：

ɑ"yo

y-yo=-?7G-XO）?

aZO

四:圓錐曲線中的弦長(zhǎng)求法：

(1)設(shè)直線方程為:y=kx+b型.

①考慮斜率不存在時(shí),例如X=α直接帶入曲線方程解得相應(yīng)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)之間

坐標(biāo)公式求解即可；

當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k的直線/與圓錐曲線C相交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B

(x2,y2),聯(lián)立直線與曲線方程,可以得到關(guān)于％的一元二次方程.

222

則∣A3∣=√l+?M—X2∣=7i^+p^?^∣(xl+x2)-4xlx2=√1+∕c

(2)設(shè)直線為:x=my+ri型.

①考慮直線平行于％軸時(shí),此時(shí)m不存在.例如y=C直接帶入曲線方程,解出相應(yīng)的

坐標(biāo),利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式求解即可；

②當(dāng)m存在時(shí),設(shè)出直線2的方程,與圓錐曲線C相較于4B兩點(diǎn)用(x1,y2),B

(%2,y2),聯(lián)立直線與曲線方程,可以得到關(guān)于y的一元二次方程.

+m2

則IABl=Vl+m2∣%—y2l=+Tn2J(y1+y2^-4y1y2=Vl^∏

【典型例題】

【例1】已知橢圓?+==l(4>O>O)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,l),離心率為正，過(guò)點(diǎn)3(3,0)的

ab~2

直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(I)求橢圓的方程；

(II)若MN二幽,求直線MN的方程.

2

練1：已知橢圓W:J+y2=ι,直線/過(guò)點(diǎn)(0,-2)與橢圓W交于兩點(diǎn)A,B,O為坐標(biāo)原

4

點(diǎn).

(I)設(shè)C為9的中點(diǎn)，當(dāng)直線/的斜率為士時(shí)，求線段OC的長(zhǎng)；

2

練2：已知橢圓￡宏+%=1(.>8〉0)的左右焦點(diǎn)分別為耳，耳，離心率為為今點(diǎn)P

在橢圓E上，且PfJ居的周長(zhǎng)為4jΣ+4?

(1)求橢圓E的方程；

(H)若直線/：y=%+機(jī)與橢圓E交于4B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AAOB面積的最

大值

例2:已知橢圓C：3x2+4)，=12.

(I)求橢圓C的離心率；

(II)設(shè)橢圓C上在第二象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為—1,過(guò)點(diǎn)尸的直線4,4與橢圓。的另一

交點(diǎn)分別為A,B?且4的斜率互為相反數(shù)，A,5兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)分

別為M,N,求四邊形ABMN的面積的最大值.

2

練1:已知點(diǎn)A(x1,?1),f>(x2,γ2)(其中工］<々)是曲線y=4x(γ≥0)上的兩點(diǎn)，A。兩點(diǎn)

在％軸上的射影分別為點(diǎn)B,C,且IBCb2.

(I)當(dāng)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,0)時(shí)，求直線Ao的斜率；

(II)記AOAO的面積為Si梯形ABCO的面積為，，求證："v±.

S24

A

練2:已知橢圓"+V=1(。＞匕＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為60的菱形

的四個(gè)頂點(diǎn).

(I)求橢圓M的方程;

(11)直線/與橢圓M交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(θ,-?),求

ΛAOB(O為原點(diǎn))面積的最大值.

【小試牛刀】

1.已知橢圓C：A+與=l(α〉b>0)的離心率為巫，且過(guò)點(diǎn)A(√2,1).直線

ab2

y=*x+m交橢圓C于8,。(不與點(diǎn)A重合)兩點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程；

(II)△/物的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.已知橢圓C:餐+產(chǎn)=1(。>1)的上頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F,直線AF與圓

a

M:χ2+>2+6χ_2y+7=O相切.過(guò)點(diǎn)(°，一的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程；

(II)當(dāng)MPQ的面積達(dá)到最大時(shí),求直線的方程.

3.已知直線Ly=Ax+l與拋物線(7:丁=以相切于點(diǎn)P.

(I)求直線/的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(H)設(shè)。在拋物線C上，A為PQ的中點(diǎn).過(guò)A作y軸的垂線，分別交拋物線C和直線

/于M,N.記APMV的面積為S∣,ZXQAM的面積為S2,證明：S1=S2.

4.已知橢圓C：工+V=ι,尸為右焦點(diǎn)，圓O:/+/=1,P為橢圓。上一點(diǎn)，且尸

4

位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PT與圓。相切于點(diǎn)T,使得點(diǎn)尸，T在OP的兩側(cè).

(I)求橢圓C的焦距及離心率；

(II)求四邊形Oa7面積的最大值.

5.已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2),AB是拋物線C上異于點(diǎn)。的不同的兩點(diǎn)，其

中。為原點(diǎn).

(I)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(II)若0410B,求A40B面積的最小值.

6.已知拋物線C:y2=2x

(I)寫出拋物線C的準(zhǔn)線方程,并求拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

(II)過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率存在的直線I與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A5且點(diǎn)B關(guān)于X軸的

對(duì)稱點(diǎn)為￡>,直線AD與X軸交于點(diǎn)M.

(i)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(ii)求.。AM與，OAB面積之和的最小值.

【見(jiàn)固練習(xí)——基礎(chǔ)篇】

1.已知橢圓?+A=l（α>b>O）的左、右焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2,A點(diǎn)在橢圓上，離心率是

γ,AF2與X軸垂直,且IAF2I=V2.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)力在第一象限，過(guò)點(diǎn)4做直線與橢圓交于另一點(diǎn)8,求△力OB面積的最大

值.

2.已知橢圓C:餐+方=l(α>^>0)的離心率為日,

Λ1(-α,O),A2(tz,O),B(O,Z?),!A∣BA2的面積為2.

(I)求橢圓C的方程；

(∏)設(shè)〃是橢圓C上一點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,若直線AB與直線交于點(diǎn)P,直線

AlM與直線A2B交于點(diǎn)Q.求證:△BPQ為等腰三角形.

3.已知橢圓G=r+[7=l(α>b>O),上頂點(diǎn)為6(0,1),離心率為二，直線

ab2

/:y=丘-2交y軸于。點(diǎn)，交橢圓于尸,。兩點(diǎn),直線外,國(guó)分別交九軸于點(diǎn)

M,N。

(1)求橢圓G的方程；

(II)求證：SZIBOM?S/BCN為定值

【鞏固練習(xí)——程君篇】

22

已知橢圓的左焦點(diǎn)為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

1.G=*+Vr=l(0>6>0)E(-JΣ,O),C(-J∑,l),

ab