《5.1.1 任意角》課件及同步練習

5.1.1

任意角第五章三角函數課程目標1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義．3.掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：理解任意角的概念，能區(qū)分各類角；2.邏輯推理：求區(qū)域角；3.數學運算：會判斷象限角及終邊相同的角.

什么是角？范圍是多大？定義：有公共端點的兩射線組成的幾何圖形叫角.頂點邊邊角的范圍：0°～360°復習回顧初中定義體操__李小鵬跳2002年在匈牙利世錦賽上，李小鵬在跳馬時做出的“踺子后手翻轉體180度接直體前空翻轉體900度”獲得“李小鵬跳”命名.體操中有轉體兩周或轉體兩周半，如何度量這些角度呢？經過1小時，秒針、分針各轉了多少度？

在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉.你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60°所形成的角，與按順時針方向旋轉60°所形成的角是否相等？

想想用什么辦法才能推廣到任意角？關鍵是用運動的觀點來看待角的變化.這些例子不僅不在0°～360°范圍內，而且有方向,如何解決這一問題?有必要將角的概念及范圍推廣一、任意角的概念平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角.1.角的概念的推廣2.角的構成要素始邊終邊頂點ABO方向規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角.這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反數。xoy二、象限角x思考1：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

思考2:如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分別是第幾象限的角？－450°-50°xyoxyo210°-450°xyo405°xyo-200°xyo第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角軸線角思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.三、終邊相同的角

思考1：

-32°，328°，-392°是第幾象限的角？這些角有什么內在聯系？－32°-392°xyo328°

思考２：所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內，可構成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角

α在內所構成的集合S可以怎樣表示？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.

例1在0°～360°范圍內，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

思考4：終邊在x軸正半軸、負半軸，y軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.例2寫出終邊在y軸上的角的集合.解：在0°～360°范圍內，終邊在y軸上的角有兩個，即90°，270°角（如圖）.因此，所有與90°角終邊相同的角構成集合S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}.而所有與270°角終邊相同的角構成集合S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.于是，終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z

}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z

}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z

}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z

}={β|β=90°+n·180°，n∈Z

}例3.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤α＜720°的元素β寫出來.【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.S中適合不等式-360°≤β<720°的元素有：-315°，-135°,45°,225°,405°,585°.達標檢測2.角的分類：正角、零角、負角；1.角的定義；3.象限角；4.終邊相同的角的表示法．《5.1.1任意角》同步練習閱讀課本168-170頁，思考并完成以下問題1．角的概念推廣后，分類的標準是什么？2．如何判斷角所在的象限？3．終邊相同的角一定相等嗎？如何表示終邊相同的角？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。射線旋轉圖形逆時針順時針原點x終邊象限角坐標軸上題型分析舉一反三題型一任意角和象限角的概念解題方法（任意角和象限角的表示）1．判斷角的概念問題的關鍵與技巧．(1)關鍵：正確的理解角的有關概念，如銳角、平角等；(2)技巧：注意“旋轉方向決定角的正負，旋轉幅度決定角的絕對值大?。?．象限角的判定方法．(1)圖示法：在坐標系中畫出相應的角，觀察終邊的位置，確定象限．(2)利用終邊相同的角：第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判斷β的終邊所在的象限；第三步，根據β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．題型二終邊相同的角的表示及應用答案：（1）(－3)×360°＋195°（2）見解析

解析：(1)－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)與α＝－910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.當k＝1時，β＝360°－910°＝－550°；當k＝2時，β＝2×360°－910°＝－190°；當k＝3時，β＝3×360°－910°＝170°.解題方法（終邊相同的角的表示）1．在0°到360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續(xù)加360°的方式；當所給角是正角時，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結果達到所求為止．2．運用終邊相同的角的注意點所有與角α終邊相同的角，連同角α在內可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運用時需注意以下四點：(1)k是整數，這個條件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍．題型三任意角終邊位置的確定和表示解題方法（任意角終邊位置的確定和表示）1．表示區(qū)間角的三個步驟：第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區(qū)間角集合．2．nα或所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角nα或的范圍；(2)用旋轉的觀點確定角nα或所在象限．1．如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分的角的集合如何表示？解析：在0°～360°范圍內，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°