《5.1.1 任意角》課件及同步練習(xí)

5.1.1

任意角第五章三角函數(shù)課程目標(biāo)1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義．3.掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：理解任意角的概念，能區(qū)分各類角；2.邏輯推理：求區(qū)域角；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：會(huì)判斷象限角及終邊相同的角.

什么是角？范圍是多大？定義：有公共端點(diǎn)的兩射線組成的幾何圖形叫角.頂點(diǎn)邊邊角的范圍：0°～360°復(fù)習(xí)回顧初中定義體操__李小鵬跳2002年在匈牙利世錦賽上，李小鵬在跳馬時(shí)做出的“踺子后手翻轉(zhuǎn)體180度接直體前空翻轉(zhuǎn)體900度”獲得“李小鵬跳”命名.體操中有轉(zhuǎn)體兩周或轉(zhuǎn)體兩周半，如何度量這些角度呢？經(jīng)過1小時(shí)，秒針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？

在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的.一般地，一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所形成的角，與按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所形成的角是否相等？

想想用什么辦法才能推廣到任意角？關(guān)鍵是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看待角的變化.這些例子不僅不在0°～360°范圍內(nèi)，而且有方向,如何解決這一問題?有必要將角的概念及范圍推廣一、任意角的概念平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角.1.角的概念的推廣2.角的構(gòu)成要素始邊終邊頂點(diǎn)ABO方向規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角.這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反數(shù)。xoy二、象限角x思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

思考2:如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分別是第幾象限的角？－450°-50°xyoxyo210°-450°xyo405°xyo-200°xyo第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角軸線角思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.三、終邊相同的角

思考1：

-32°，328°，-392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°-392°xyo328°

思考２：所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角

α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.

例1在0°～360°范圍內(nèi)，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

思考4：終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負(fù)半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負(fù)半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.例2寫出終邊在y軸上的角的集合.解：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即90°，270°角（如圖）.因此，所有與90°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}.而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成集合S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.于是，終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z

}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z

}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z

}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z

}={β|β=90°+n·180°，n∈Z

}例3.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤α＜720°的元素β寫出來.【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.S中適合不等式-360°≤β<720°的元素有：-315°，-135°,45°,225°,405°,585°.達(dá)標(biāo)檢測(cè)2.角的分類：正角、零角、負(fù)角；1.角的定義；3.象限角；4.終邊相同的角的表示法．《5.1.1任意角》同步練習(xí)閱讀課本168-170頁(yè)，思考并完成以下問題1．角的概念推廣后，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？2．如何判斷角所在的象限？3．終邊相同的角一定相等嗎？如何表示終邊相同的角？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。射線旋轉(zhuǎn)圖形逆時(shí)針順時(shí)針原點(diǎn)x終邊象限角坐標(biāo)軸上題型分析舉一反三題型一任意角和象限角的概念解題方法（任意角和象限角的表示）1．判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧．(1)關(guān)鍵：正確的理解角的有關(guān)概念，如銳角、平角等；(2)技巧：注意“旋轉(zhuǎn)方向決定角的正負(fù)，旋轉(zhuǎn)幅度決定角的絕對(duì)值大?。?．象限角的判定方法．(1)圖示法：在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限．(2)利用終邊相同的角：第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判斷β的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．題型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用答案：（1）(－3)×360°＋195°（2）見解析

解析：(1)－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)與α＝－910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.當(dāng)k＝1時(shí)，β＝360°－910°＝－550°；當(dāng)k＝2時(shí)，β＝2×360°－910°＝－190°；當(dāng)k＝3時(shí)，β＝3×360°－910°＝170°.解題方法（終邊相同的角的表示）1．在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到所求為止．2．運(yùn)用終邊相同的角的注意點(diǎn)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．題型三任意角終邊位置的確定和表示解題方法（任意角終邊位置的確定和表示）1．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．2．nα或所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角nα或的范圍；(2)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)確定角nα或所在象限．1．如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分的角的集合如何表示？解析：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°