2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅲ）（含解析版）

202年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.答案：B解析：由圖知，.2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論不正確的是（）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過萬元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于萬元至萬元之間答案：C解析：A.低于萬元的比率估計(jì)為，正確.B.不低于萬元的比率估計(jì)為，正確.C.平均值為萬元，不正確.D.萬到萬的比率為，正確..已知，則（）A.B.C.D.答案：B解析：.4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（）A.B.C.D.答案：C解析：代入，知，故.5.已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（）A.B.C.D.答案：A解析：記，，由及，得，，又由余弦定理知，得，從而.6.在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別為，，，該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）A.B.C.D.答案：D解析：由題可得直觀圖，如下圖.故選D.7.等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案：B解析：若，則.①，則單調(diào)遞增；②，則單調(diào)遞減，∴甲乙，又若單調(diào)遞增，則恒成立，∴恒成立，∴，，∴甲乙.綜上：甲乙，選B.8.2020年2月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為（單位:)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．右圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有，，三點(diǎn)，且，，在同一水平面上的投影，，滿足，.由點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角為，與的差為:由點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角為,則，兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A.B.C.D.答案：B解析：過C作的垂線交于點(diǎn)M，過B作的垂線交于點(diǎn)N，由題意得，，，即.所以，所以.得A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為，故選B。9.若，，則（）A.B.C.D.答案：A解析：.∴∴∴.又∵.如圖，.0.將個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，則個(gè)不相鄰的概率為（）A.B.C.D.答案：C解析：把位置依次標(biāo)為到.總數(shù)：先排個(gè)，有種，再排個(gè)，有一種，故共有種.滿足題設(shè)的排法：先排個(gè)，有種.其間有個(gè)空，選個(gè)空插入有種.故.滿足題設(shè)排法的另一種解釋：的位置有，，，，，，，，，，共種..已知是半徑為的球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為（）A.B.C.D.答案：A解析：記為所在圓面的圓心，則.又，所以.所以.故選A.2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（）A.B.C.D.答案：D解析：∵為奇函數(shù)，∴關(guān)于中心對(duì)稱，∴.因?yàn)榕己瘮?shù)，故關(guān)于軸對(duì)稱，周期為.∴，.即，.，.故.故選D.二、填空題.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.答案：.解析：，，.切線：.4.已知向量，，.若，則.答案：解析：，.所以.5.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為.答案：解析：如圖，由及橢圓對(duì)稱性可知，四邊形為矩形.設(shè)，，則，得.所以，四邊形面積為.6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)為.答案：解析：由圖可知，的最小正周期，∴.∵，∴，∴，.∴，∴，.∴或.結(jié)合圖像可知，滿足的離軸最近的正數(shù)區(qū)間，無正數(shù)；的離軸最近的正數(shù)區(qū)間為，最小正整數(shù).三、解答題（）必考題7.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：（）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？（2）能否有的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：，答案：見解析解析：（）由表格數(shù)據(jù)得：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為；乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為；（2）由題意.所以有的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.8.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列：③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分，①，答案：見解析解析：①，,證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，所以，則.所以，所以.所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.9.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，.（）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最??？答案：

見解析；解析:

（）連，取中點(diǎn)連，，由為，的中點(diǎn)，則，又，，則共面，故面.又在側(cè)面中，則又，則.（2），則.又則.如圖以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，則，，，，.設(shè)則.則面法向量為，對(duì)面設(shè)法向量為，則，則.要求最小正弦值則求最大余弦值.當(dāng)時(shí)二面角余弦值最大，則時(shí)二面角正弦值最小.20.拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線交于，兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)，且與相切.（）求，的方程；（2）設(shè)，，是上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切，判斷直線，與的位置關(guān)系，并說明理由.答案：

見解析；解析：

（）， .（2）設(shè)，，.，所以①.，所以②.所以，是方程的兩根.又，所以.所以，即直線與相切.2.已知且，函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.答案：

見解析；解析：

（）時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題知在有兩個(gè)不等根；.令，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，.所以且.四、選考題（2選）22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（）將的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷與是否有公共點(diǎn).答案：見解析解析：

（）.（2）設(shè)，，由.又在