拋物線的簡單幾何性質(zhì)2

8．6拋物線的簡單幾何性質(zhì)1．知識結(jié)構(gòu)2．重點難點分析〔1〕根據(jù)由方程討論曲線性質(zhì)的一般方法，就可以得出拋物線的性質(zhì)．拋物線的性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比擬，差異較大．它的離心率等于1，它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線，它不是中心對稱圖形，因而沒有中心．〔2〕拋物線不是雙曲線的一支，這可以從以下三個方面來理解：①從圓錐曲線的定義來看，雖然雙曲線與拋物線有其共同點，但由于比值的取值不同，從而雙曲線與拋物線上的點的性質(zhì)存在著差異；②曲線的延伸趨勢不相同，當(dāng)拋物線上的點趨于無窮遠(yuǎn)時，它在這一點切線的斜率接近于軸所在直線的斜率，也就是拋物線接近于與軸平行；而雙曲線上的點趨近于無窮遠(yuǎn)時，它的切線的斜率接近于它的漸近線的斜率．③雙曲線有漸近線而拋物線沒有漸近線．〔3〕拋物線的離心率是定值1，它說明所有的拋物線都相似，即所有的拋物線形狀都相同．〔4〕通過拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦AB稱為拋物線的通徑，并且|AB|＝2p．根據(jù)頂點和通徑的兩個端點A，B，結(jié)合上文中提到的拋物線的延伸趨勢，就可以較準(zhǔn)確地畫出拋物線的草圖．由通徑的定義我們還可以看出，p刻畫了拋物線開口的大小，p值越大，開口越寬；p值越小，開口越窄．5〕掌握拋物線的性質(zhì)，重點應(yīng)抓住兩點〔一個頂點、一個焦點〕、兩線〔一條對稱軸和一條準(zhǔn)線〕、一率〔離心率〕、一方向〔開口方向〕．在圖中，常見的關(guān)系式有：,,教法建議〔1〕四種標(biāo)準(zhǔn)方程下拋物線的幾何性質(zhì)，可由學(xué)生列表進(jìn)行比照，并讓學(xué)生區(qū)分哪些是拋物線的固有性質(zhì)，哪些是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)．〔2〕由于橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程都不止一種形式，在根據(jù)條件求圓錐曲線方程時，教師要讓學(xué)生注意根據(jù)條件確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型和判定有幾解的問題．〔3〕要教會學(xué)生怎樣討論曲線的性質(zhì)在中學(xué)里，除了直線這種簡單的情況外，對于較為簡單的曲線，討論其幾何性質(zhì)一般包括以下四個方面：①確定曲線的范圍．由曲線方程F(x,y)＝0分別確x與y的取值范圍，從而分別判斷曲線的左、右與上、下局部的“頂點”的分布情況．②判斷有沒有對稱性，在曲線方程F(x,y)＝0中，如果把x〔或y〕換成－x〔或－y〕，方程不變，那么曲線關(guān)于y〔或x〕由對稱；如果把x與y同時換成－x與－y，方程不變，那么曲線關(guān)于原點對稱〔這時曲線關(guān)于x或y軸去不一定對稱〕．③求出在x軸上的“截距”〔即求出曲線x軸的交點的橫坐標(biāo)〕和y軸上的“截距”〔即求出曲線與y軸的縱坐標(biāo)．〕這可以通過解由F(x,y)＝0與x＝0〔或y＝0〕所組成的方程組求得．注意曲線與坐標(biāo)軸的交點不一定是曲線的“頂點”．④判斷有沒有漸近線，對于橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線，還要研究它的離心率在數(shù)值上有什么特征，等等．〔4〕要和學(xué)生一起小結(jié)求直線與圓錐曲線的交點的一般方法在解析幾何中一般用解方程的方法來求出直線與圓錐曲線的交點的坐標(biāo)．例如為了求直線與橢圓的交點，可以解方程組：這個方程組的解同時滿足兩個方程，因此以方程組的解為坐標(biāo)的點是兩個方程所對應(yīng)的兩條曲線的公共點，如果方程組無實數(shù)解，那么表示直線與橢圓相離〔無交點〕；如果有且只有一個實數(shù)解，那么表示直線與橢圓相切〔有且只有一個交點〕；如果有兩個不同的實數(shù)解，那么表示直線與橢圓相交〔有兩個不同的交點〕．那么，怎樣讓學(xué)生判斷上面方程組的解的個數(shù)呢？可以告訴他們先從兩個方程中消去一個變量〔例如消去y〕，得到關(guān)于另一上變量〔例如x〕的一個一元二次方程，然后利用根的判別式來作判斷，就是說，當(dāng)時，方程組有且只有一個實數(shù)解〔不要說有兩個相聯(lián)系的實數(shù)解，重根只對一元n次方程有意義〕；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解．〔5〕在解決與圓錐有關(guān)的問題時，要幫助學(xué)生運用方程的思想．有些與圓錐曲線有關(guān)的問題，最終歸結(jié)為某些數(shù)值確實定，我們把這些數(shù)看成未知數(shù)，把題目中給定的條件、關(guān)系轉(zhuǎn)換成這些未知數(shù)所滿足的方程〔組〕，通過解此方程〔組〕來確定這些數(shù)的取值，從而解決問題．這里的難點是未知數(shù)確實定、列方程〔組〕及解方程〔組〕．課題：8．6拋物線的簡單幾何性質(zhì)〔一〕教學(xué)目的：1．掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì)；2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論，在此根底上列表、描點、畫拋物線圖形；3．在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化教學(xué)重點：拋物線的幾何性質(zhì)及其運用教學(xué)難點：拋物線幾何性質(zhì)的運用授課類型：新授課教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：

“拋物線的簡單幾何性質(zhì)”是課本第八章最后一節(jié)，它在全章占有重要的地位和作用本節(jié)知識在生產(chǎn)、生活和科學(xué)技術(shù)中經(jīng)常用到，也是大綱規(guī)定的必須掌握的內(nèi)容，還是將來大學(xué)學(xué)習(xí)的根底知識之一對于訓(xùn)練學(xué)生用坐標(biāo)法解題，本節(jié)一如前面各節(jié)一樣起著相當(dāng)重要的作用研究拋物線的幾何性質(zhì)和研究橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)一樣，按范圍、對稱性、頂點、離心率順序來研究，完全可以獨立探索得出結(jié)論拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時，首先要判斷拋物線的對稱軸和開口方向，一次項的變量如果為〔或〕，那么軸〔或軸〕是拋物線的對稱軸，一次項的符號決定開口方向，由條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先要根據(jù)條件確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求出方程中的參數(shù)本節(jié)分兩課時進(jìn)行教學(xué)第一課時內(nèi)容主要講拋物線的四個幾何性質(zhì)、拋物線的畫圖、例1、例2、及其它例題；第二課時主要內(nèi)容焦半徑公式、通徑、例3教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：圖形方程焦點準(zhǔn)線相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即不同點：(1)圖形關(guān)于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為，左端為〔2〕開口方向在X軸〔或Y軸〕正向時，焦點在X軸〔或Y軸〕的正半軸上，方程右端取正號；開口在X軸〔或Y軸〕負(fù)向時，焦點在X軸〔或Y軸〕負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號二、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1．范圍因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．2．對稱性以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．3．頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點．4．離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．對于其它幾種形式的方程，列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點對稱軸焦點準(zhǔn)線離心率軸軸軸軸注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點的性質(zhì)差異，當(dāng)拋物線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時，拋物線在這一點的切線斜率接近于對稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率附：拋物線不存在漸近線的證明．〔反證法〕假設(shè)拋物線y2＝2px存在漸近線y＝mx＋n，A〔x，y〕為拋物線上一點，A0〔x，y1〕為漸近線上與A橫坐標(biāo)相同的點如圖，那么有和y1＝mx＋n．∴當(dāng)m≠0時，假設(shè)x→＋∞，那么當(dāng)m＝0時，，當(dāng)x→＋∞，那么這與y＝mx＋n是拋物線y2＝2px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1拋物線關(guān)于x軸為對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形．分析：首先由點坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p．解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因為它過點，所以，即因此，所求的拋物線方程為．將方程變形為，根據(jù)計算拋物線在的范圍內(nèi)幾個點的坐標(biāo)，得x01234…y022.83.54…描點畫出拋物線的一局部，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一局部點評：在此題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線．例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一局部，光源位于拋物線的焦點處，燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點位置．分析：這是拋物線的實際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點坐標(biāo)，從而求出p值．解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于燈口直徑．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(p＞0)．由條件可得點A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，即所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．例3過拋物線的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比擬簡捷．證明：如圖．設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，那么｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線相切．四、課堂練習(xí)：1．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，如果，那么=〔B〕〔A〕10〔B〕8〔C〕6〔D〕42．為拋物線上一動點，為拋物線的焦點，定點，那么的最小值為〔B〕〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕63．過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，假設(shè)線段、的長分別是、，那么=〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．過拋物線焦點的直線它交于、兩點，那么弦的中點的軌跡方程是______(答案：)5.定長為的線段的端點、在拋物線上移動，求中點到軸距離的最小值，并求出此時中點的坐標(biāo)〔答案：,M到軸距離的最小值為〕五、小結(jié)：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準(zhǔn)線、中心等六、課后作業(yè)：1．根據(jù)以下條件，求拋物線的方程，并畫出草圖．〔1〕頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于8．〔2〕頂點在原點，焦點在y軸上，且過P〔4，2〕點．〔3〕頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P〔m，－3〕到焦點距離為5．2．過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，假設(shè)A、B在準(zhǔn)線上的射