高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）專(zhuān)題8.8空間點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）

專(zhuān)題8.8空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分24分，每小題3分）1．（3分）（2022春·江蘇南京·高一期中）下列命題是真命題的是（

）A．如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合B．若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)C．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)D．三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成七個(gè)部分【解題思路】A.這兩個(gè)平面可能相交或重合，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.該選項(xiàng)正確；C.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)不一定在同一平面內(nèi)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成八個(gè)部分，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【解答過(guò)程】A.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面可能相交或重合，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以該選項(xiàng)正確；C.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)不一定在同一平面內(nèi)，如三棱錐P?ABC,相交于同一點(diǎn)P的三條直線(xiàn)PA,PB,PC不在同一平面內(nèi)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成八個(gè)部分，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.2．（3分）如圖，正四棱臺(tái)中，A'D'所在的直線(xiàn)與BA．相交直線(xiàn) B．平行直線(xiàn) C．不互相垂直的異面直線(xiàn) D．互相垂直的異面直線(xiàn)【解題思路】首先證明A'D'//平面【解答過(guò)程】在正四棱臺(tái)中,A'D'//B'C',又所以A'D'//平面BCC'B所以A'D'又因?yàn)樗倪呅蜝CC'B'是等腰梯形,所以B所以BB'與故選：C.3．（3分）（2022·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個(gè)平面可能的交線(xiàn)有()A．1條或2條 B．2條或3條 C．1條或3條 D．1條或2條或3條【解題思路】根據(jù)平面β與平面γ的位置關(guān)系，分類(lèi)討論，即可求解.【解答過(guò)程】由題意，當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且過(guò)同一直線(xiàn)時(shí)，它們有1條交線(xiàn)；當(dāng)平面β和γ平行時(shí)，它們的交線(xiàn)有2條；當(dāng)這三個(gè)平面兩兩相交且不過(guò)同一條直線(xiàn)時(shí)，它們有3條交線(xiàn)；故選：D.4．（3分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線(xiàn)BD上 B．一定在直線(xiàn)AC上C．既在直線(xiàn)AC上也在直線(xiàn)BD上 D．既不在直線(xiàn)AC上也不在直線(xiàn)BD上【解題思路】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．【解答過(guò)程】如圖，∵EF?平面ABC，GH?平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即點(diǎn)P一定在直線(xiàn)AC上．故選：B．5．（3分）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，E、F、G、H分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中E、F、G、H四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【解題思路】對(duì)于B，證明EH//FG即可；而對(duì)于BCD，首先通過(guò)輔助線(xiàn)找到其中三點(diǎn)所在的平面，然后說(shuō)明另外一點(diǎn)不在該平面中即可.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，如下圖，點(diǎn)E、F、H、M確定一個(gè)平面，該平面與底面交于FM，而點(diǎn)G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)B，連結(jié)底面對(duì)角線(xiàn)AC，由中位線(xiàn)定理得FG//AC，又EH//AC，則EH//FG，故E、F、G、H四點(diǎn)共面對(duì)于選項(xiàng)C，顯然E、F、H所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)G不在該平面內(nèi)，故E、F、G、H四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個(gè)正六邊形，即點(diǎn)E、G、H確定的平面，該平面與正方體正面的交線(xiàn)為PQ，而點(diǎn)F不在直線(xiàn)PQ上，故E、F、G、H四點(diǎn)不共面．故選：B.6．（3分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A．32 B．1010 C．35【解題思路】根據(jù)異面直線(xiàn)夾角的概念平移找角，再結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【解答過(guò)程】解：連接A1C1交B1D1于Q，取由正方體可知，D1C1//DC,D1C1=DC，又A1C即QP//CM,QP=CM，所以四邊形PCMQ為平行四邊形，所以MQ//CP,MQ=CP則直線(xiàn)CP與B1D1在△D1MQ所以cos∠MQ則直線(xiàn)CP與B1D1故選：B.7．（3分）（2022春·四川成都·高二階段練習(xí)）對(duì)于兩條不同直線(xiàn)m，n和兩個(gè)不同平面α，β，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的為（

）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥βC．若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β D．若m⊥α【解題思路】根據(jù)空間中的線(xiàn)面關(guān)系逐一判斷即可.【解答過(guò)程】若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n，故A正確；由m∥α，n∥β，α⊥β推不出若m∥α，α∥β，則若m⊥α，m⊥n，則n∥α或故選：B.8．（3分）（2022秋·黑龍江大慶·高二期中）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．則下列結(jié)論中：①M(fèi)C⊥AN②DB∥平面AMN③平面CMN⊥平面AMN④平面DCM∥平面ABN所有假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】由題可知該幾何體的頂點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)上,再根據(jù)線(xiàn)面平行與垂直以及面面垂直平行的判定逐個(gè)判斷即可.【解答過(guò)程】由題畫(huà)出該幾何體外接的正方體.對(duì)①,因?yàn)镸C//EB,AN⊥EB,故MC⊥AN成立.故①正確.對(duì)②,因?yàn)镈B//MN,MN?平面AMN,故DB∥平面AMN成立.故②正確.對(duì)③,連接AC易得A?MNC為正四面體.故平面CMN⊥平面AMN不成立.故③錯(cuò)誤.對(duì)④,正方體中平面DCM與平面ABN分別為前后兩面,故④正確.故選：B.二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春·廣西桂林·高一期末）如圖所示，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，l?平面A．l與AD平行B．l與AB異面C．l與CD所成的角為30°D．l與BD垂直【解題思路】依次分析每個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)l∥AD，得出矛盾，A錯(cuò)誤；取l為A1C1所在直線(xiàn)，滿(mǎn)足BD；取l與C【解答過(guò)程】假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1可得l∥B1C1，與“取l為A1C1所在直線(xiàn)，滿(mǎn)足B，又因?yàn)閘⊥B1取l與C1D1成30°角，因?yàn)镃1D1∥CD故選：BCD.10．（4分）（2022秋·山東東營(yíng)·高二階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別是棱A．l過(guò)點(diǎn)BB．l不一定過(guò)點(diǎn)BC．DP的延長(zhǎng)線(xiàn)與D1A1D．DQ的延長(zhǎng)線(xiàn)與D1C1【解題思路】連接PB1、DB1，在正方體中可得四邊形DPB1Q是平行四邊形，由點(diǎn)共面得點(diǎn)共線(xiàn)可判斷AB；DP的延長(zhǎng)線(xiàn)與D1由點(diǎn)共面得點(diǎn)共線(xiàn)可判斷CD.【解答過(guò)程】連接PB1、QB1，在正方體ABCD?連接CN，則DP//所以四邊形DPB1Q是平行四邊形，B1∈平面DP所以B1如圖DP的延長(zhǎng)線(xiàn)與D1A1的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)F，DQ的延長(zhǎng)線(xiàn)與D因?yàn)镈F?平面DPB1Q，所以F∈因?yàn)镈1A1?平面A1B1因?yàn)镈Q?平面DPB1Q，所以E∈因?yàn)镈1C1?平面A1B1故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BC.11．（4分）（2023秋·浙江寧波·高三期末）設(shè)a,β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線(xiàn)，（

）A．若m⊥α,n⊥α，則m∥nB．若m?α,n?α,m∥β,n∥β，則α∥βC．若α∥β,m?α,n⊥β，則m⊥nD．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α【解題思路】垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行，A正確；當(dāng)m∥n時(shí)結(jié)論未必成立，B錯(cuò)誤；證明CD正確，得到答案.【解答過(guò)程】對(duì)選項(xiàng)A：垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)m∥n時(shí)結(jié)論未必成立，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：α∥β,n⊥β，故n⊥α，又m?α，故m⊥n，正確；對(duì)選項(xiàng)D：α⊥β，m⊥β，則m∥α或m?α，排除m?α，則m∥α，正確.故選：ACD.12．（4分）（2023秋·遼寧葫蘆島·高三期末）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，其棱長(zhǎng)為3.M，N分別為棱A1B1，BA．截面α和面ABCD的交線(xiàn)與截面α和面ADDB．截面α是一個(gè)五邊形.C．截面α是一個(gè)梯形.D．截面α在頂點(diǎn)D處的內(nèi)角的余弦值為4【解題思路】做出截面α，依次判斷選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】延長(zhǎng)C1C至C2，使CC2=CC連接C2D，DD2，因同理可得△D2D則C2，D，D2三點(diǎn)共線(xiàn).連接CD1，BACD1∥BA1.又M故C2D2∥CD則M，N，C2∈C1C2，則C2N?平面BB1C1C因∠BEN=∠CEC2，∠NBE=∠C同理，可得D2M?平面A1B1C1D1又F∈D則E∈β，F(xiàn)∈β.即順次連接DF，F(xiàn)M，MN，對(duì)于A，如圖可知，截面α和面ABCD的交線(xiàn)為DE，截面α和面ADD1A又幾何體棱長(zhǎng)為3，BEEC=1則DF=DDE=DC2對(duì)于BC選項(xiàng)，由圖可知B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知截面α在頂點(diǎn)D處的內(nèi)角為∠FDE，連接EF，因BE∥A1F，BE=又由A選項(xiàng)分析可知，DE=13，DF=cos∠FDE=故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）13．（4分）（2022秋·上海靜安·高二期中）點(diǎn)A∈平面α，點(diǎn)A∈平面β，平面α∩平面β=直線(xiàn)l，則點(diǎn)A∈直線(xiàn)l（用集合符號(hào)表示）.【解題思路】由題意點(diǎn)A∈平面α∩β，又平面α∩平面β=直線(xiàn)l，分析即得解.【解答過(guò)程】由題意，點(diǎn)A∈平面α，點(diǎn)A∈平面β，故點(diǎn)A∈平面α∩β，又平面α∩平β=直線(xiàn)l，故點(diǎn)A∈直線(xiàn)l.故答案為：∈.14．（4分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中，所有正確命題的序號(hào)是①③④.①兩個(gè)相交平面把空間分成4部分.②有兩個(gè)角是直角的四邊形是平面圖形.③若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).④如果分別在兩個(gè)不同平面上的兩條直線(xiàn)有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)在兩平面的交線(xiàn)上.【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可。【解答過(guò)程】對(duì)①，兩個(gè)相交平面把空間分成4部分，故①正確；對(duì)②，如圖所示：∠ABC=∠ASC=90°，滿(mǎn)足題意，此時(shí)為立體圖形，故對(duì)③，若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上，故③正確；對(duì)④，如果分別在兩個(gè)不同平面上的兩條直線(xiàn)有交點(diǎn)，此時(shí)交點(diǎn)為兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，必在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上，故④正確；故答案為：①③④.15．（4分）（2023秋·廣東廣州·高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AN，CM所成角的余弦值為23【解題思路】作出異面直線(xiàn)所成的角，在三角形中由余弦定理求解．【解答過(guò)程】如圖，連接DN，取DN中點(diǎn)G，連接MG，又M是AD中點(diǎn)，則MG//AN，所以異面直線(xiàn)AN，CM所成角是∠CMG或其補(bǔ)角，由已知AN=CM=3，MG=NG=12DN=32△MCG中，cos∠CMG=∴異面直線(xiàn)AN，CM所成角的余弦值為23故答案為：2316．（4分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，ABCD?A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1①A,M,O三點(diǎn)共線(xiàn)；

②A,M,O,A③A,O,C,M四點(diǎn)共面；

④B,B【解題思路】對(duì)于①，利用公理3，證明A,M,O為兩個(gè)平面的公共部分即可；對(duì)于②，③，利用“直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”判斷；對(duì)于④，根據(jù)異面直線(xiàn)的定義，判定直線(xiàn)BB1，直線(xiàn)【解答過(guò)程】對(duì)于①，兩條平行線(xiàn)確定一個(gè)平面，即A,C,C1,A1共面，顯然平面AB1D1∩平面ACC1A1=A，結(jié)合公理三：兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)，設(shè)平面AB1D1，平面ACC1A1的交線(xiàn)為l，注意到O是B1D1的中點(diǎn)，矩形對(duì)角線(xiàn)互相平分，故O也是A1C1的中點(diǎn)，即O∈A1C1，A1C1?對(duì)于②，由直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面，結(jié)合①正確可知，故A,M,O確定的直線(xiàn)和A1共面，故②對(duì)于③，類(lèi)似②，A,M,O確定的直線(xiàn)和C共面，故③正確；對(duì)于④，BB1?平面AB1D1，OM?平面AB1D1，BB1故答案為：①②③.四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分44分）17．（6分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言．（1）a?α，b∩α＝A，A?a．（2）α∩β＝c，a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P．【解題思路】在集合中，點(diǎn)為元素，直線(xiàn)和平面為集合，根據(jù)題意，正確用集合中的符合即可．【解答過(guò)程】（1）（2）18．（6分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）三個(gè)平面分空間有幾種情況？并說(shuō)明每種情況下能將空間分成幾部分.【解題思路】按照平面的位置關(guān)系分類(lèi)，即可得解.【解答過(guò)程】三個(gè)平面分空間有4種情況，若三個(gè)平面均平行，則將空間分成4部分；若三個(gè)平面交于一條線(xiàn)，則將空間分成6部分；若三個(gè)平面兩兩相交，且交線(xiàn)不平行時(shí)，則將空間分成8部分；若三個(gè)平面兩兩相交，且交線(xiàn)平行時(shí)，則將空間分成7部分.19．（8分）（2022·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）如圖，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a；求證：PQ?α.【解題思路】由已知，根據(jù)PQ∥a，可確定PQ和a屬于平面β，再根據(jù)a?β，點(diǎn)P∈β且P∈b，b?α，得到P∈α，從而得到α與β重合，即可證明PQ?α.【解答過(guò)程】證明：因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β，所以直線(xiàn)a?β，點(diǎn)P∈β，因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α，又因?yàn)閍?α，P?a，所以α與β重合，所以PQ?α.得證.20．（8分）（2022秋·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平面β平行，問(wèn)α∥β是否正確，為什么？（2）平面α內(nèi)的所有直線(xiàn)與平面β都平行，問(wèn)α∥β是否正確，為什么？【解題思路】（1）舉反例說(shuō)明命題是假命題，（2）根據(jù)面面平行定義判斷命題正確.【解答過(guò)程】（1）不正確．如圖所示，設(shè)α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線(xiàn)可以有無(wú)數(shù)條：a1，a2，…，an，…，它們是一組平行線(xiàn)，這時(shí)a1，a2，…，an，…與平面β都平行（因?yàn)閍1，a2，…，an，…與平面β無(wú)交點(diǎn)），但此時(shí)α與β不平行，α∩β＝l．（2）正確．平面α內(nèi)所有直線(xiàn)與平面β平行，則平面α與平面β無(wú)交點(diǎn)，符合平面與平面平行的定義．21．（8分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD?A(1)AA1與(2)點(diǎn)B、C1、D(3)畫(huà)出平面ACC1A1與平面BC【解題思路】（1）由兩平行直線(xiàn)可確定一平面，可得答案；（2）由不共線(xiàn)三點(diǎn)可確定一平面，可