數(shù)學(xué)-第十九講 矩形、菱形、正方形（解析版）

第十九講矩形、菱形、正方形命題點(diǎn)1矩形的相關(guān)證明與計(jì)算1．（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【答案】D【解答】解：A．∵?ABCD中，AB＝AD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；B．∵?ABCD中，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；C．?ABCD中，AB＝AC，不能判定?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D．∵?ABCD中，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．（2022?青海）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】6【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，

∴S陰影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC?CD＝＝6，∴S陰影＝6．故答案為6．3．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝．【答案】【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，∴EF為△AOD的中位線，∴EF＝OD＝BD＝．故答案為：．4.（2021?邵陽）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若sin∠ADE＝，AD＝4，則AB的長為．

【答案】3【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的對(duì)邊AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，∴＝，∴AC＝＝＝5，由勾股定理得，AB＝＝＝3，故答案為：3．∴S平行四邊形AGCH＝CG?AB＝3×2＝6．5．（2022?山西）如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線．（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）．（2）猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【解答】解：（1）如圖，

（2）AE＝CF，證明如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF．6．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點(diǎn)為E，過點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的長．【解答】（1）證明：連接OE，

∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝90°，∵OF⊥BC，∴∠OFC＝90°，∴∠OFC＝∠C＝∠OEC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OF＝EC；（2）解：∵BD＝2，∴OE＝1，∵∠A＝30°，OE⊥AC，∴AO＝2OE＝2，∴AD＝AO﹣OD＝2﹣1＝1．命題點(diǎn)2菱形的相關(guān)證明與計(jì)算7．（2022?襄陽）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【答案】D

【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D8．（2022?蘭州）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，則OE＝（）A．4 B．2 C．2 D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E為AD的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故選：C9．（2022?河池）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O

，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，故A、B、D正確，無法得出AC＝BD，故選：C．10．（2022?自貢）如圖，菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A（﹣2，5），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵點(diǎn)A（﹣2，5），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣5）．故選：B．11．（2022?樂山）已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的長分別是8cm和6cm．則菱形的面積為cm2．【答案】24【解答】解：∵菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的長分別是8cm和6cm，

∴菱形的面積是＝24（cm2），故答案為：24．12．（2022?大連）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF．求證：CE＝CF．【解答】證明：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACE和△ACF中，，∴△ACE≌△ACF（SAS）∴CE＝CF．13.（2022?西寧）如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的邊長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：設(shè)菱形的邊長為x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的邊長是5．14．（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．

【解答】（1）證明：∵E為AB中點(diǎn)，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四邊形AECD是菱形；（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．命題點(diǎn)3正方形的相關(guān)證明與計(jì)算15．（2022?雅安）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四邊形AECF的面積．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，又∵DF＝BE，∴OE＝OF，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形，∵AB＝3，∴AC＝BD＝6，∵BE＝DF＝2，∴四邊形AECF的面積＝AC?EF＝×6×2＝6．16.（2022?貴陽）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥AD．（1）求證：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的長．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，又∵M(jìn)F∥AD，∴四邊形AMFD為矩形，∴∠MFD＝∠MFN＝90°，∴AD＝MF，∴AB＝MF，∵BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，∴∠FMN＝∠MBO，在△ABE和△FMN中，∴△ABE≌△FMN（ASA）；（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，∴△BOM∽△BAE，∴OM：AE＝BO：BA，∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝＝10，∴OM：6＝5：8，∴OM＝，∵△ABE≌△FMN，∴NM＝BE＝10，

∴ON＝MN﹣MO＝．17．（2022?遵義）將正方形ABCD和菱形EFGH按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)D與頂點(diǎn)H重合，菱形EFGH的對(duì)角線HF經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)E，G分別在AB，BC上．（1）求證：△ADE≌△CDG；（2）若AE＝BE＝2，求BF的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形HEFG是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠A＝∠C＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDG