自動(dòng)控制原理五章

2024/3/51《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析博觀而約取，厚積而薄發(fā)，吾告子止于此矣。

——宋·蘇軾·稼說(shuō)（送張琥）2024/3/52《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析一、系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度相對(duì)穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右半平面的極點(diǎn)，而且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么Nyquist曲線G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；反之，G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越近，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低；如果G(jω)H(jω)穿過(guò)(－1,j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定裕度：衡量閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)，常用的有相角裕度γ和幅值裕度Kg。5.5穩(wěn)定裕度2024/3/53《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析相角裕度和增益裕度2024/3/54《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析1.相角裕度γ在頻率特性上對(duì)應(yīng)于幅值A(chǔ)(ω)＝1（即L(ω)=0）的角頻率稱為剪切頻率（截止頻率），以ωc表示，在剪切頻率處，相頻特性距－180°線的相位差γ叫做相角裕度。即上圖(a)表示的具有正相角裕度的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲(chǔ)備，它可以在ωc的頻率下，允許相角再增加（遲后）γ度才達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。相角裕度也叫相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備。2024/3/55《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，

(ωc)必在Bode圖－180°線以上，這時(shí)稱為正相角裕度，或者有正相角裕度，如圖(c)所示。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，

(ωc)必在－180°線以下，這時(shí)稱為負(fù)相角裕度，如圖(d)所示;相應(yīng)地，在Nyquist圖中，γ即為Nyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)A對(duì)負(fù)實(shí)軸的相位差值。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，A點(diǎn)必在負(fù)實(shí)軸以下，如圖(a)所示。反之，對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，A點(diǎn)必在負(fù)實(shí)軸以上，如圖(b)所示。2024/3/56《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析2.增益裕度Kg

在相頻特性等于－180°的頻率ωg

（穿越頻率）處，開環(huán)幅頻特性A(ωg)的倒數(shù)，稱為增益裕度，記做Kg

。即（Nyquist圖中）在Bode圖上，增益裕度改以分貝(dB)表示

2024/3/57《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析相角裕度和增益裕度2024/3/58《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，L(ωg)必在Bode圖0dB線以下，這時(shí)稱為正增益裕度，如圖(c)所示。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，L(ωg)必在0dB線以上，這時(shí)稱為負(fù)增益裕度，如圖(d)所示。以上表明，在圖(c)中，對(duì)數(shù)幅頻特性還可上移Kg，即開環(huán)系統(tǒng)的增益增加Kg倍，則閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。在Nyquist圖中，Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即為1/Kg

，它代表在頻率ωg處開環(huán)頻率特性的模。顯然，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，1/Kg＜1，如圖(a)所示；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)有1/Kg＞1，如圖(b)所示。2024/3/59《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析PositiveGainMarginPositivePhaseMargin-11NegativeGainMarginNegativePhaseMargin-11StableSystemUnstableSystem2024/3/510《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析PositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB0dBωgωcωcωg2024/3/511《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析幾點(diǎn)說(shuō)明對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，其相角裕度應(yīng)為正值，增益裕度應(yīng)大于1

；嚴(yán)格地講，應(yīng)當(dāng)同時(shí)給出相角裕度和增益裕度，才能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。但在粗略估計(jì)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)時(shí)，主要對(duì)相角裕度提出要求。為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲(chǔ)備，以及得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng)，在工程實(shí)踐中，一般希望2024/3/512《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析對(duì)于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)幅頻特性和相頻特性之間存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。上述相角裕度意味著，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在剪切頻率處的斜率應(yīng)該大于－40dB/dec，且有一定寬度。在實(shí)際中常?。?0dB/dec。在閉環(huán)穩(wěn)定條件下，穩(wěn)定裕度越大，表示系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。穩(wěn)定裕度也間接反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的平穩(wěn)性，穩(wěn)定裕度大意味著超調(diào)小、振蕩弱，阻尼大。2024/3/513《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析例5-13

單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為分別求取K1=10及K1=100時(shí)的相角裕度和增益裕度。

解：相角裕度可通過(guò)對(duì)數(shù)幅頻特性用圖解法求出。K1=10時(shí)

ω1=1，ω2=5，20lgK=20lg2=6dB。畫出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線2024/3/514《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析由圖

例5-13的Bode圖幅頻特性2024/3/515《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析所以K1＝10時(shí)，剪切頻率和相角裕度為當(dāng)K1從10變到100時(shí)，幅頻特性上移20dB，如上圖中虛線所示，此時(shí)2024/3/516《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析欲求增益裕度，則須先求出ωg，這里給出MATLAB計(jì)算的值。

sys=tf([10],conv(conv([10],[11]),[15]));margin(sys);figuresys=tf([100],conv(conv([10],[11]),[15]));margin(sys);2024/3/517《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析2024/3/518《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析例單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試用Nyquist判據(jù)或?qū)?shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。

解：畫Bode圖如右，

系統(tǒng)不穩(wěn)定。2024/3/519《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析例已知系統(tǒng)的試確定閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的Kh。

解：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

畫Bode圖如下2024/3/520《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析臨界穩(wěn)定時(shí)

由Bode圖

2024/3/521《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析2024/3/522《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析2024/3/523《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析5.6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)一、開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)的單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為若低頻段2024/3/524《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析若高頻段因此，對(duì)于一般單位反饋的最小相位系統(tǒng)，如果輸入的是低頻信號(hào)，則輸出可以認(rèn)為與輸入基本相等，而閉環(huán)系統(tǒng)在高頻的特性與開環(huán)的高頻的特性也近似相同。2024/3/525《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析二、閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)2024/3/526《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析截止頻率（帶寬頻率）ωb:幅頻特性下降到ω=0時(shí)幅值的倍時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率（對(duì)數(shù)幅頻特性下降到頻率為零時(shí)的分貝值以下3分貝）。即當(dāng)ω>

ωb時(shí)輸出衰減的很厲害，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，已經(jīng)不能正常使用了。對(duì)于I型及以上的開環(huán)系統(tǒng)，由于所以2024/3/527《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析帶寬BW:0到ωb的頻率范圍。帶寬反映了系統(tǒng)對(duì)噪聲的濾波特性，閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信號(hào)分量，但可使頻率低于截止頻率的分量通過(guò)?；蛘哒f(shuō)，帶寬表示了這樣一個(gè)頻率，從此頻率開始，增益將從其低頻時(shí)的幅值開始下降。帶寬表示了系統(tǒng)跟蹤正弦輸入信號(hào)的能力。對(duì)給定的ωn，上升時(shí)間隨著阻尼比ζ

的增加而增大。另一方面，帶寬隨著ζ

增加而減小。因此，上升時(shí)間與帶寬之間成反比關(guān)系，即帶寬也反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。帶寬愈大，響應(yīng)速度愈快。反之，帶寬愈小，只有較低頻率的信號(hào)才易通過(guò)，則時(shí)域響應(yīng)往往比較緩慢。2024/3/528《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析帶寬指標(biāo)取決于下列因素：對(duì)輸入信號(hào)的再現(xiàn)能力。大的帶寬相應(yīng)于小的上升時(shí)間，即相應(yīng)于快速特性。粗略地說(shuō)，帶寬與響應(yīng)速度成反比。對(duì)高頻噪聲必要的濾波特性。為了使系統(tǒng)能夠精確地跟蹤任意輸入信號(hào)，系統(tǒng)必須具有大的帶寬。但是，從噪聲的觀點(diǎn)來(lái)看，帶寬不應(yīng)太大。具有大帶寬的系統(tǒng)需要高性能的元件，因此，元件的成本通常隨著帶寬的增加而增大。所以，對(duì)帶寬的要求是矛盾的，好的設(shè)計(jì)通常需要折衷考慮。2024/3/529《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析諧振峰值Mr：閉環(huán)幅頻特性的最大值。它反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。一般而言，Mr值愈大，則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也愈大。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.1至1.4之間，相當(dāng)于二階系統(tǒng)的ζ

為0.4<ζ<0.7。諧振頻率ωr：產(chǎn)生諧振峰值對(duì)應(yīng)的頻率。它在一定程度上反映了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的速度。

ωr愈大，則暫態(tài)響應(yīng)愈快。2024/3/530《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析對(duì)二階系統(tǒng)其頻率特性為由得諧振頻率為則諧振峰值為由得截止頻率為2024/3/531《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析令諧振頻率諧振頻率諧振峰值

諧振峰值

當(dāng)時(shí)，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會(huì)有諧振

2024/3/532《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析2024/3/533《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析*Matlab在系統(tǒng)頻域分析中的應(yīng)用例5-13設(shè)有單位負(fù)反饋，I型系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)為現(xiàn)在系統(tǒng)中附加一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)，其傳遞函數(shù)為分析系統(tǒng)附加零、極點(diǎn)前、后的頻率特性。2024/3/534《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析

解原系統(tǒng)的Bode圖和相角裕度，增益裕度可求得如下：

num=5;den=[1,5,4,0];G=tf(num,den);margin(G);grid;

結(jié)果如圖1所示。2024/3/535《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析圖1.原系統(tǒng)的Bode圖2024/3/536《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析

附加零、極點(diǎn)后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為附加零、極點(diǎn)后系統(tǒng)的Bode圖和相角裕度，增益裕度可求得如下

z=[-1.2];p=[0,-1,-4,-4.95];k=29.7;G=zpk(z,p,k);margin(G);grid;

結(jié)果如圖2所示。2024/3/537《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析圖2.系統(tǒng)附加零、極點(diǎn)后的Bode圖2024/3/538《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析比較可知，附加零、極點(diǎn)后，相角裕度和增益裕量都有所增大。較大的相角裕度對(duì)應(yīng)較小的最大超調(diào)量。這點(diǎn)可以通過(guò)求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)驗(yàn)證。2024/3/539《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析求原系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的基本命令：

num1=5;den1=[1,5,4,0];G1=tf(num1,den1);G=feedback(G1,tf(1,1));step(G);grid;結(jié)果如圖3所示.2024/3/540《自動(dòng)控制原理》第五章頻域分析求附加零、極點(diǎn)后系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的命令：

z=[-1.2];p=[0,-1,-4,-4.95];k=29.7;G1=zpk(z,p,k);G=feedback(G1,tf(1,1));step(G);grid;結(jié)果如圖4所示.2024/3/541《自動(dòng)控