課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

134課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第十三章軸對稱

導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)學(xué)練優(yōu)八年級數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件學(xué)習(xí)目標(biāo)1能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題（難點(diǎn)）2體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．（重點(diǎn)）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短2如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)榇咕€段最短3在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實(shí)？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊4如圖，如何做點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)？AlA′講授新課最短路徑問題“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”AB①②③PlABCD牧馬人飲馬問題如圖，牧馬人從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使ACBC最短問題實(shí)際問題ABl問題1現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點(diǎn)，如何在l上找到一個點(diǎn)，使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個交點(diǎn)即為所求連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C問題2如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′方法揭曉作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．ABlB′C問題3你能用所學(xué)的知識證明ACBC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴ACBC=ACB′C=AB′，∴AC′BC′=AC′B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′B′C′，∴ACBC＜AC′BC′．即ACBC最短．ABlB′CC′造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM，連接AM和BN，從A到B的路徑是AMMNBN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？BAＭＮ2利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維分析我們能否在不改變AMMNBN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見平移到岸邊平移到岸邊相連相連BAＭＮ平移到岸邊BA(Ｍ)ＮAMMNBN長度改變了平移到岸邊BAＭ（Ｎ）AMMNBN長度改變了怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢BA問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AMMNBN最短理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１AMMNBN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１在△A１N１B中，由線段公理知A1N1BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AMMNBNA·BMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A，B兩地的距離：AMMNBN=AMMNEM=AEMN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則AB兩地的距離為：ACCDDB=ACCDCE=ACCEMN,在△ACE中，∵ACCE＞AE,∴ACCEMN＞AEMN,即ACCDDB＞AMMNBN，所以橋的位置建在MN處，AB兩地的路程最短方法歸納解決最短路徑問題的方法1在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇2當(dāng)涉及含有固定線段“橋”的方法是構(gòu)造平行四邊形，從而將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答當(dāng)堂練習(xí)1如圖，直線l是一條河，P、上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD2如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是米ACBD河10003如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′作DD′,EE′即為橋理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點(diǎn)之間線段